第九章《图形的相似》复习课

1、1、了解比例的基本性质，黄金分割；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方；3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题；6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。知识要点：知识要点：相似图形定义性质相似三角形定义判定性质应用画法坐标AASASSSS定义对应边成比例对应角相等影子平面镜位似图形平移旋转轴对称相似等基本变换在坐标的反映生活中我们会碰到许多这样形状相同

2、的生活中我们会碰到许多这样形状相同的大小不一定相同的图形，大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：相似形相似形对于四条线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相，段的长度的比与另两条线段的长度的比相，即即 = ，那么这四条线段叫做，那么这四条线段叫做成比例线成比例线段，段，简称简称比例线段比例线段（proportional segments）abcdad=bcb2=acab=cdab=bc(1)比例基本性质比例基本性质dbca.A AP PB B点点B B把线段把线段ACAC分

3、成两部分分成两部分, ,如果如果那么称线段那么称线段ACAC被点被点B B 黄金分割黄金分割, ,点点P P为线段为线段AB AB 的的 黄金分割点黄金分割点, , APAP与与ABAB的比值约为的比值约为0.6180.618, ,这个比值称这个比值称为为 黄金比黄金比. .PBAPAPAB=思考思考:如何应用二次方程的知识求出如何应用二次方程的知识求出黄金比黄金比的数值的数值?1若若 a:3=b:7, 则则(a+3b):2b= ；2若若a=2，b=6，c=4，且，且a，b，c，d成比成比例，则例，则d= ；3 4若若x:4=y:5=z:6,且且3x+2y+z=56,则则x为为（ ） A 8

4、B 10 C 12 D 16 457xyzyzx如果；则l相似三角形的判定l（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。这两个三角形相似。l（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。l（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两个角对应相等，那么这两个三角形相似。l相似三角形的性质l（1）对应边成比例，对应角相等对应边成比例，对应角相

5、等l（2）相似三角形的周长比等于相似比）相似三角形的周长比等于相似比l（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方）相似三角形的面积比等于相似比的平方l（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比平分线的比等于相似比一一. .填空、选择题填空、选择题: :1 1、如图，、如图，DEBC, AD:DB=2:3, DEBC, AD:DB=2:3, 则则 AEDAED和和 ABCABC 的相似比为的相似比为. .ABCDE2:552cm2、 已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的和它相似的三角形乙的最大边为三角形乙的最大边

6、为10cm，则三角形乙的最短边，则三角形乙的最短边为为_cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在腰在腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 则则DC=_.4.4. 如如图图，ADE ADE ACB,ACB, 则则DE:BC=_ DE:BC=_ 。5. 5. 如如图图，D D是是ABCABC一一边边BCBC 上一点，上一点，连连接接AD,AD,使使 ABC ABC DBADBA的的条条件是件是（ ）. . A. AC:BC=AD:BD A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD B. AC:BC=AB:AD C. AB C

7、. AB2 2=CDBC=CDBC D. AB D. AB2 2=BDBC=BDBC6. 6. D D、E E分分别为别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的点，且的点，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每把每两个两个相似的三角形相似的三角形称为称为一一组组，那，那么图么图中共有相似三角形中共有相似三角形_组组。DACBACBDE27331:31:3D D4 4ABEDC7.7.下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ）A.A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。B.B.ABCABC的三边长为的三边长为3 3，4 4，

8、5. 5. ABCABC的三边为的三边为 a+3,a+4,a+5.a+3,a+4,a+5.则则ABC ABC ABCABC。C.C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的 相似比为相似比为1.1.D.D.都有一内角为都有一内角为100100的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。D二、证明题：1 1. . D为ABC中AB边上一点， ACD= ABC. 求证：AC2=ADAB.2. ABC中, BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD MEE EA AB BC

9、CD DM MABCD相似三角形的应用：l、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；l、利用三角形相似，求线段的长等l 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。DBACEHFG5 5、如图，已知：、如图，已知：ABDBABDB于点于点B B ，CDDBCDDB于点于点D D，AB=6AB=6，CD=4CD=4，BD=14.BD=14.问：在问：在DBDB上是否存在上是否存在P P点，使以点，使以C C、D D、P P为顶点的三角形为顶点的三角形与以与以P P、B B、A A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出为顶点的三角形相似？如

10、果存在，计算出点点P P的位置；如果不存在，请说明理由。的位置；如果不存在，请说明理由。4614ADCB解解（1）假设存在这样的点）假设存在这样的点P，使，使ABPCDP 设设PD=x，则，则PB=14x，6：4=（14x）:x则有则有AB:CD=PB:PDx=5.6P6x14x4ADCBP（2）假设存在这样的点）假设存在这样的点P,使使ABPPDC,则则则有则有AB:PD=PB:CD设设PD=x，则，则PB=14x，6： x =（14x）: 4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6时，以时，以C、D、P为顶点的三为顶点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形相似为顶点的三角形

11、相似46x14xDBCAp分析：分析：由于由于PBQ与与ABC有公共角有公共角B；所以；所以若若PBQ与与ABC相似，则有两种可能一种情况相似，则有两种可能一种情况为为 ,即即PQAC;另一种情况为另一种情况为 CBQBABPBABQBCBPBB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒巩固提高：巩固提高： 在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向边向B点以点以2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开开始沿始沿BC向点向点C以以4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B同时出发，经几秒钟同时出发

12、，经几秒钟BPQ与与BAC相似？相似？。1任取一点任取一点O；2以点以点O为端点作射线为端点作射线OA、OB、OC、；3分别在射线分别在射线OA、OB、OC、 上取点上取点A、 B、C、 ，使：，使： OA:OA=OB:OB=OC:OC= =1.5;4连接连接AB、BC、 ，得到所要画的，得到所要画的 多边形多边形ABCDE.两图形中对应边有何关系？对应角呢两图形中对应边有何关系？对应角呢? ?这两个多边形相似吗？相似比是多少？这两个多边形相似吗？相似比是多少？要画四边形要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点的位似图形，还可以任取一点O，如，如图图18.4.2，作直线，作直线OA、OB、OC、OD，在点，在点O的另一侧的另一侧取点取点A、B、C、D，使，使OA OAOB OBOC OCOD OD2，也可以得，也可以得到放大到到放大到2倍的四边形倍的四边形ABCD图 18.4.2 观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，并指出位似图形的位似中心并指出位似图形的位似中心1、已知：如图，三角形AB C中，D 是AC的中点，AEBC，ED交AB 于点F、ED的延长线与BC的延长线相交于点G,若BF:FA=3:1