大学物理第4章-2

1、第第4 4章章动量和角动量动量和角动量( (一）一）1、质量为、质量为m 的物体的物体,以以 从地面抛出。抛射角从地面抛出。抛射角 ，忽略，忽略 空气阻力。则从抛出到刚要接触地面的过程中空气阻力。则从抛出到刚要接触地面的过程中 1) 物体动量增量物体动量增量大小大小为（为（ ） 2) 物体动量增量物体动量增量方向方向为（为（ ）0v030v0300v0v0v0300300mv竖直向下竖直向下2、两质量分别为、两质量分别为m1 、m2的小球，用一倔强系数为的小球，用一倔强系数为k 的轻弹簧相的轻弹簧相 连，放在水平光滑桌面上，今以等值反向的力分别作用于两连，放在水平光滑桌面上，今以等值反向的力分

2、别作用于两 小球时，若以两小球和弹簧为系统，则系统的小球时，若以两小球和弹簧为系统，则系统的A）动量守恒，机械能守恒。）动量守恒，机械能守恒。B）动量守恒，机械能不守恒。）动量守恒，机械能不守恒。C）动量不守恒，机械能守恒。）动量不守恒，机械能守恒。D）动量不守恒，机械能不守恒。）动量不守恒，机械能不守恒。1m2mFF练习题练习题 例题例题4-5 两个带理想弹簧缓冲器的小车两个带理想弹簧缓冲器的小车A 和和 B，质量分别为，质量分别为m1 、m2，B不动，不动，A 以速度以速度 与与B 碰撞，已知两车的的倔强系碰撞，已知两车的的倔强系数分别为数分别为k1 、k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对

3、静止时，其，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多少？间的作用力为多少？ 0vA1m0vB2m2k1k解解 以两小车为研究对象。以两小车为研究对象。其碰撞过程中，系统的其碰撞过程中，系统的机机械能守恒械能守恒；动量守恒动量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：2211xkxk 2112kxkx 联立上式：联立上式：)(2121122101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 补充例题补充例题用一轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，用一轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这

4、时弹簧伸长这时弹簧伸长l1=10cm, 一个质量和盘相同的泥一个质量和盘相同的泥球从高于盘球从高于盘h30cm处由静止下落到盘，求盘处由静止下落到盘，求盘向下运动的最大距离向下运动的最大距离l2.h1l解：不能用一个守恒定律求解，而要分阶段。解：不能用一个守恒定律求解，而要分阶段。泥球自由下落过程：泥球自由下落过程：机械能守恒机械能守恒22/mvmgh泥球和盘的完全非弹性碰撞过程：泥球和盘的完全非弹性碰撞过程：动量守恒动量守恒V)mm(mv 泥球和盘向下运动的过程：泥球和盘向下运动的过程：机械能守恒机械能守恒。设盘的最低点为。设盘的最低点为重力势能零点，向下运动最大距离重力势能零点，向下运动最

5、大距离l2.221222121222121)ll (kgl)m(V)m(kl 平衡条件平衡条件1klmg 联立解得：联立解得：l2=0.3m2l4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理4.3.1 质心质心N 个质点组成的系统个质点组成的系统 Njimmmm.1、位矢分别为位矢分别为 Njirrrr.1、NNNcmmmrmrmrmr .212211定义：质点系质心的位矢定义：质点系质心的位矢即即对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 Mmrrc dx1mzy Nmjmim OirMrmmrmriiNiiiNiic 11MmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐标系中：在直角坐标系

6、中：1）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。）有些物体的质心可能不在所求的物体上。4.3.2、质心运动定理、质心运动定理由质心位矢由质心位矢Mrmriic对对 t 求导，得：求导，得：MvmMtrmtrviiiicc dddd iivmpccvMpp 质心的动量质心的动量等于质点系的总动量等于质点系的总动量 注意注意由两个质点组成的质点系由两个质点组成的质点系2121111dd:trmfFm 2222222dd:trmfFm 021 ffN 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系： 22ddtrm

7、Fiii2222212121ddddtrmtrmFF )(dd22 iirmtMrmtMii)(dd22 质心运动定理质心运动定理caMF FFi 22ddtrMc 1f2F1F2m1m2f说明说明 质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的运动不产生影响。运动不产生影响。质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能质点系各质点由于内力和外力的

8、作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。很复杂，但质心的运动可能很简单。当当0 合合外外F时，时，质心的加速度与把全部质量集中在质心质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。的质点的加速度相同。把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了物体中各质点相对质心的运动。物体中各质点相对质心的运动。上 例题例题4-64-6 一长为一长为L L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度 , , 为常量，为常量，x 从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。L/x0 0 解：解：取质元取质元xdLx

9、xdmd0 L21xdLxmdM0L00 L32MxdLxMmxdXL002c 比较：质量均匀分布、长度为比较：质量均匀分布、长度为L细棒的质心位置。细棒的质心位置。oxdxxL21ML21MxdxMmxdX2L0c 例题补充例题补充 如图所示，浮吊的质量如图所示，浮吊的质量M = 20 t，从岸上吊起从岸上吊起m = 2 t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由由600转到转到300 ，设杆，设杆长长l = 8 m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。动的距离。 取质心为坐标原点。设取质心为坐标原

10、点。设 在由在由600 转到转到300 时，吊车在水平方向上移动的距离为时，吊车在水平方向上移动的距离为x1 ，重物移动的距离为重物移动的距离为x2 。 解解 取吊车和重物组成的系统为研究取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外力为零，质点对象。由于系统所受的合外力为零，质点系的质心保持原来的静止位置不动。系的质心保持原来的静止位置不动。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在 = 60 0 时时0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266. 0)30sin60(sin001 mMmlx在在 = 30 0 时：时：0)(

11、)(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x0604.4 角动量定理角动量定理 sinmvrL 大小：大小：方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。SI 中中 ： kgm 2 / s质点的角动量与质点的角动量与参考点的选择参考点的选择有关。有关。定义定义:r质量为质量为m的质点以速度在空间运动，某时刻对的质点以速度在空间运动，某时刻对O 点点的位矢为的位矢为 ，则它，则它对对O 点的角动量点的角动量( 动量矩动量矩 ) 为为：vrxyzom vvrL4.4.14.4.1、角动量、角动量vmrprL1）矢量性矢量性2）相对性）相对性 原点原点O 选取

12、的不同，则位置矢量选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。不同，角动量也不同。1、质点角动量、质点角动量质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL 3） 的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式L4）两个特例）两个特例做圆周运动质点做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL 2rmmvrL 大大小小：rvOmzL方向：方向： 与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系。右手螺旋关系。L L做做匀速率圆周运动匀速率圆周运动的质点的质点对圆心的角

13、动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。vmrprL11sin1mvrL 方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。质点对质点对O点的角动量为：点的角动量为：vmrprL3）若）若O 取在直线上，则：取在直线上，则：。0 L说明说明 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。 t 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：2)、作直线运动质点的角动量、作直线运动质点的角动量1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则，则。CL 2 2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量11sinr mp1r2

14、 omp1 2r大小：大小：rosinr谈质点的角动量，谈质点的角动量，必须指明参考点。必须指明参考点。2、质点系的角动量、质点系的角动量 iLL)( iipr质点系的角动量等于质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。各质点对同一参考点的角动量的矢量和。iiiprL 二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理1、力矩、力矩FdFrM sin1）大小）大小 ： ， d 为力臂。为力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。 质量为质量为 m 的质点在力的质点在力 的作用的作用下作曲线运动。力下作曲线运动。力 对参考点对参考点O 的的力矩力矩 为为:FFMFrMSI 中中

15、 ：NmOr MF sinr2）在直角坐标系中）在直角坐标系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 3）相对性：依赖于参考点）相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。zyxFFFzyxkjiFr niFrFrFrM 214）作用于质点的）作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。合外力矩等于合外力的力矩。MFrFFFrn 合合)(212、质点的角动量定理、质点的角动量定理prL 将角动量将角动量 对时间求导，可得：对时间求导，可得：tPrPtrdddd FrPv )(ddddPrttLtLFrMdd 质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。质点

16、所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。FrtL dd0 pv微分形式微分形式LtMdd 积分形式积分形式 2121ddttLLtML 21dtttML 21tttM d 表示作用于质点上的力矩在（表示作用于质点上的力矩在（t 2t 1）内的内的时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。)Pr(ttL ddddFrPv 和和 是对同一惯性系中同一参考点而言的是对同一惯性系中同一参考点而言的ML说明说明 例题例题4-8 质量为质量为m、线长为线长为l 的单摆，可绕点的单摆，可绕点O 在竖直平面在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求内摆动

17、，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: : 摆线摆线与水平线成与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量；的角动量； 摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；张力。任意位置时受力为：重力；张力。由由角动量定理角动量定理 cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬时角动量瞬时角动量：gm重力对重力对O 点的力矩：点的力矩： cosmglM 方向：方向：张力对张力对O 点的力矩为零。点的力矩为零。 ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBATr 垂直于纸面向里。垂直于纸面向里。

18、sin232glmL 。点点时时，当当小小球球到到达达2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 olBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL niiiiitprptrtL1)dddd(dd niiii)fF(r1 niiiniii)fr()Fr(11 niiiFrtL1)(dd niiiFrM1)(令令4.4.3、质点系的角动量定理：、质点系的角动量定理：0)(1 niiifr作用力和反作用力对同一点力矩的作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。矢量和等于零。 niiiprL1质点系的角动量：质点系的角动量：质点系角动

19、量质点系角动量的时间变化率的时间变化率 质点系所受的合外力矩质点系所受的合外力矩 质点系所受的合内力矩质点系所受的合内力矩 FrM 方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向外，大小：FdM FrM FddFM 方向：垂直板面向里，大小：方向：垂直板面向里，大小：作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。0 MMoFF rdr FF 设：设：2、积分形式：、积分形式：LtMLttLL 2121dd质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。1、微分形式：、微分形式：LtMdd 质点系所受的合外力矩等于系统

20、角动量对时质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率间变化率 质点系的角动量定理。质点系的角动量定理。说明说明tLMdd 分分量量式式为为是是一一个个矢矢量量方方程程，直直角角MdtLd统的总角动量统的总角动量的角动量，但不影响系的角动量，但不影响系矩只改变系统内各质点矩只改变系统内各质点关，内力关，内力矩之和，而与内力矩无矩之和，而与内力矩无只取决于系统所受外力只取决于系统所受外力dtLddtdLM,dtdLM,dtdLMzzyyxx 4.5.1、 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩。，则则CLtL,M0dd0 若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 4.5 角动量守恒定律角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的