第2章-离散时间信号和系统-序列、系统

1、邬霞邬霞 教授教授北京师范大学北京师范大学 信息学院信息学院 电子系电子系OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 离散时间信号离散时间信号 离散时间系统离散时间系统 离散时间线性时不变系统的分析离散时间线性时不变系统的分析 由差分方程描述的离散时间系统由差分方程描述的离散时间系统2OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲离散时间信号离散时间信号序列序列 离散时间系统离散时间系统 离散时间线性时不变系统的分析离散时间线性时不变系统的分析 由差分方程描述的离散时间系统由差分方程描述的离散时间系统3OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM

2、评价评价序列序列_序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 4概念概念 离散时间信号离散时间信号 时间离散、幅值连续时间离散、幅值连续 又称：又称：序列序列 产生产生 对模拟信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，可得到，可得到离散时间信号（序列）离散时间信号（序列）( )()( ) at nTaxtxnTnx nn取整数，非整数时无定义取整数，非整数时无定义OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_5表示方法表示方法 公式法公式法 集合法集合法 单位采样序列的移位加权和表示法单位采样序列的移位加权和表示法0.02( )c

3、os(0.5 )nx nen( )00.4700.8080.9390.542x n 1,( )() ()()0,mnmx nx mnmnmnm，其其中中序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_6表示方法表示方法 图示法图示法 例如：例如：( )( 1)nx n 为了醒目，常常在为了醒目，常常在每一条竖线的顶端每一条竖线的顶端加一个小黑点加一个小黑点序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_7几种典型的序列几种典型的序列 单位采样序列单位采样序列1

4、0( )00nnn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_8几种典型的序列几种典型的序列 单位阶跃序列单位阶跃序列10( )00nu nn与单位采样序与单位采样序列的关系？列的关系？( )( )(1)nu nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_9几种典型的序列几种典型的序列 矩形序列矩形序列与上述序列的与上述序列的关系？关系？101( )0nNnNRn其它( )( )()NRnu nu

5、 nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_10几种典型的序列几种典型的序列 实指数序列实指数序列 ( )( )nx na u na为实数为实数序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_11几种典型的序列几种典型的序列 正弦序列正弦序列0( )sin()x nAn( )( )sin()at nTx nx tAnT0/ sTf0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf ：采样频率( )sin

6、() ax tAt 模拟正弦信号：模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列 系统系统 差分方程差分方程 信号抽样信号抽样 序列序列_12几种典型的序列几种典型的序列 复指数序列复指数序列00()( )jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0为数字域频率为数字域频率3( )0.9jnnx neOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_13几种典型的序列几种典型的序列 周期序列周期序

7、列则称序列则称序列x(n)是周期性序列，周期为是周期性序列，周期为N。( )sin()sin(8)44x nnn例：例： 因此，因此，x(n)是周期为是周期为N=8的的周期序列周期序列若对所有若对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，满足，满足( )() x nx nNn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_14几种典型的序列几种典型的序列 任意序列任意序列x(n)( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nn( )2 (1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5 (3)n例：序列序列

8、系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_15序列的运算序列的运算1）加法）加法x(n)=x1(n)+x2(n)x(n)=x1(n)x2(n)序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 序列序列_16序列的运算序列的运算3）移位）移位记作记作x(n-n0)，当，当n0为正整数，为正整数，则有：则有：减延迟，加超前减延迟，加超前4）翻转）翻转记作记作x(-n)即，将序列即，将序列x(n)以以n=0的纵轴为对称轴翻转。的

9、纵轴为对称轴翻转。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_17序列的运算序列的运算()nxm( )( )()( )at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 -4-3-2-10123456-1012n x(n)-4-3-2-10123456-1012nx(n/2)OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_18序列的运算序列的运算( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh n6）卷积（线性卷积）卷积（线性卷积）( )( )( )( )()x nx mh nh mh

10、m1）翻转：）翻转：()()hmh nm2）平移：）平移： n( )()x m h nmm() ()mx m h nm3）相乘：）相乘：4）相加：）相加：序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_19序列的运算序列的运算n-2, y(n)=0序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_20序列的运算序列的运算n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM

11、背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_21序列的运算序列的运算n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_22序列的运算序列的运算结结果果序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_23序列的运算序列的运算231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3得到线性卷积线性卷积结果的示意图14265ny(n)2014830 5 4 3 2 1 1 2 3 1

12、5 12 9 6 3 10 8 6 4 2 5 4 3 2 1 5 14 26 20 14 8 3N=7N=N1+N2-1序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价序列序列_24序列的运算序列的运算( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( ) n kx nk h knmkmnk令 则 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n 结论：卷积和与两序列的前后次序无关结论：卷积和与两序列的前后次序无关序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 O

13、FDM评价评价序列序列_25序列的运算序列的运算7 7）差分）差分前向差分：前向差分： 后向差分：后向差分：( )(1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n( )(1) x nx n( )(1) x nx n序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 离散时间信号离散时间信号离散时间系统离散时间系统 离散时间线性时不变系统的分析离散时间线性时不变系统的分析 由差分方程描述的离散时间系统由差分方程描述的离散时间系统26OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统

14、27离散时间系统T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T记为：序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统28序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 系统描述：1.关系式OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统29序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 系统描述：2. 结构图加法器常数乘法器信号乘法器OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统30序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程

15、单位延迟单位超前系统描述：2. 结构图OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统31序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 例： 利用上面介绍的基本运算单元，画出离散时间系统的结构图表示，已知输入-输出关系为)1(21)(21)1(41)(nxnxnyny是输出。)(是输入，)(其中，nynx解：OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类32序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 如果一个离散时间系统在任意时刻 输出至多依赖于同一个时刻的输入样本，而与过去或者将来的输入样本无关，那么该系统

16、就称为静态的或者无记忆的。对于其他任何情况，则该系统称为动态的或者有记忆的。nn1. 如果系统在时刻 的输出完全由 到 内的输入样本确定，那么称该系统具有持续时间为N的记忆。2. 如果N=0，那么系统是静态的。3. 如果 ，那么系统称为有限记忆的4. 如果 ，那么系统称为无限记忆的)0(NNnnN0NOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类33序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 003)()()()()1(3)()(动态：)()()()()(静态：knkknxnyknxnynxnxnynbxnnxnynaxnyOFDM背景背景 O

17、FDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类34序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 Tx(n)( ) ()()y nT x nmy nmm对非时变系统，若则 ， 为任意整数 若系统响应与激励加于系统的时刻无关，若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为则称为时不变系统时不变系统（或移不变系统）（或移不变系统）OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类35序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T

18、x nm2( )( )sin()97y nx nn例：试判断例：试判断是否是时不变系统是否是时不变系统该系统是时变系统OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类36序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 所以系统是时不变系统所以系统是时不变系统000( )( )()()()y nax nby nnax nnbT x nnOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类37序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 1 1221122( )( )( )( )T a x na x na y n

19、a y n11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T若系统若系统当且仅当：当且仅当：比例性比例性12,a a为任意常数其中：则此系统为则此系统为线性系统线性系统。叠加性叠加性OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类38序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 2( )( )sin()97y nx nn例：判断系统是否线性1112( ) ( )( )sin()97y nT x nx nn解：设2222( )( )( )sin()97y nT x nx nn12122( )( )( )( )sin()97T ax

20、 nbx nax nbx nn1222( )sin()( )sin()9797ax nnbx nn12( )( )ay nby n该系统是线性系统OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类39序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 ( )( )y nax nb, a b为常数111( ) ( )( )y nT x nax nb解：设222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n该系统是非线性系统12( )( )ax nax nb是否线性

21、系统？是否线性系统？不满足叠加性不满足叠加性 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统线性时不变系统(LTI：Linear Time Invariant) OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类40序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 。否则，系统为非因果的是任意函数其中，),.2(),1(),()(y 果的。么这个系统就称为是因无关，那),.2(x),1(x即而与将来的输入),.,2(x),1(x),(x即当前和过去的输入仅依赖于)(即的输出n刻如果一个系统在任意时Fnxnx

22、nxFnnnnnnnyOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类41序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 )()(:)()2()(:)()()(:)()4(3)()(:)()()(:)()(:)()1()()(:)(例：判断系统的因果性2nxnygnxnyfnxnyenxnxnydnaxnycnybnxnxnyank因果非因果因果因果非因果非因果非因果OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类42序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 稳定系统：每个有界输入产生有界的输出 例：

23、已知一个非线性系统，它的输入-输出方程为)()1()(2nxnyny判断此系数是否稳定。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间系统离散时间系统_分类分类43序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 解：选择有界信号 作为输入序列， 其中C是常数。 同时假设 。 则输出序列为为： 显然，当 ，输出无界，则系统不稳定 )()(nCnx0)1(ynCnyCyCyCy242)(,.,)2(,)1(,)0(C1OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 离散时间信号离散时间信号 离散时间系统离散时间系统离散时间线性时不变系统的分析离散时间线性时

24、不变系统的分析 由差分方程描述的离散时间系统由差分方程描述的离散时间系统44OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_45LTI系统输入输出关系系统输入输出关系 单位抽样响应单位抽样响应( ) ( )h nTnT ( )n( )h n完全表征了系统的时域特征完全表征了系统的时域特征( )n 序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_46LTI系统输入输出关系系统输入输出关系 对对LTI系统，讨论对任意输入的系统输出系统，讨论对任意输入的系统输出( )( ) ()

25、mx nx mnm任意输入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系统输出：( ) ()mx m Tnm ，线性( )( )x nh nT ( )n( )h n序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 时变OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_47LTI系统输入输出关系系统输入输出关系LTIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n卷卷积积的的计计算算翻转、平移、相乘、相加一个一个LTI系统可以用单位抽样响应系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单

26、位抽样响应的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积。的卷积。序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_48LTI系统输入输出关系系统输入输出关系( )( )* ( )y nx nh n解：( ) ()mx m h nm( )( )01nh na u na( )( )()x nu nu nN序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 例：某LTI系统，其单位抽样响应为：OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_49LTI系统输入输出关系系统输

27、入输出关系0 nN当时0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n当时序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_50LTI系统输入输出关系系统输入输出关系nN当( )( ) ()my nx m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统

28、线性时不变系统_51LTI系统输入输出关系系统输入输出关系h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )( )( )y nx nh nh nx n序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_52LTI系统输入输出关系系统输入输出关系h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*( )( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )*

29、( )y nx nh n序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_53LTI系统输入输出关系系统输入输出关系h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh n序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_54因果因果LTI系统系统( )00h nnLTI系统是因果系统的充要条件：系统是因果系

30、统的充要条件： 因果系统因果系统反证法反证法序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_55稳定稳定LTI系统系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统( ) x nM( ) y nP则若若BIBO（Bounded input bounded output）( ) nh nPLTI系统是稳定系统的充要条件：系统是稳定系统的充要条件：即单位取样响应绝对可和。即单位取样响应绝对可和。反证法反证法序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM

31、原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_56因果稳定因果稳定LTI系统系统 因果稳定的因果稳定的LTI系统的单位取样响应是因果系统的单位取样响应是因果的（单边的）且是绝对可和的，即的（单边的）且是绝对可和的，即 结论结论( )( ) ( )( )nh nh n u nh n 序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_57因果稳定因果稳定LTI系统系统稳定性。试讨论系统的因果性和统，其单位抽样响应为例：设某线性移不变系)()(nuanhn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方

32、程 时，系统是稳定的。所以）讨论稳定性：（。，故此系统是因果系统时，）讨论因果性：（解：11,1,11)(20)(010aaaaanhnhnnnnOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性时不变系统线性时不变系统_58因果稳定因果稳定LTI系统系统稳定性。并检验系统的因果性和的输出，求对于任意序列响应例：设系统的单位脉冲),()()()(nynxnunh序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 。因此系统是非稳定系统则）如果（因此系统为因果系统。时刻以前的输入有关，时刻的输出只和因为解：nkknkkkxnyMnxnnkxknukxnhnxnynunh)()(,)(2)

33、 1 ()()()()()()()()(OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲59 离散时间信号离散时间信号 离散时间系统离散时间系统 离散时间线性时不变系统的分析离散时间线性时不变系统的分析由差分方程描述的离散时间系统由差分方程描述的离散时间系统OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价差分方程差分方程_60表示表示差分方程用来描述离散时间系统的输入输出关系差分方程用来描述离散时间系统的输入输出关系kmab，是常数其中：其中：一个一个N阶常系数线性差分方程表示为：阶常系数线性差分方程表示为：01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni或

34、或000()(),1NMiiiia y nib x ni a阶数？阶数？序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法：和求解微分方程解法类似，齐次解特解2）递推解法：由初始值和输入值递推解出系统以后输出值3）变换域方法：Z变换解法（后面学习）差分方程差分方程_求解求解序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 61OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价差分方程差分方程_62递推法递推法求解差分方程求解差分方程23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1

35、)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0ny nay nx nyayxyayxayayxayayxay nan由，得，23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0ny nay nx nyayxyayxayayxayayxay nan由，得，( )(1)( )y nay nx n( 1)0y0) 1()()(ynnx，解：因为输入( )( )x nn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价差分方程差分方程_63递推法递推法求解差分方程求解差分方程1(1) ( )(

36、 )1( 2) ( 1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，( )( )( )nh ny na u n序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价差分方程差分方程_64递推法递推法求解差分方程求解差分方程( )(1)( )y nay nx n(0)0y( )( )x nn序列序列 系统系统 LTI系统系统 差分方程差分方程 1231(1) ( )( )11( 1) (0)(0)1( 2) ( 1)( 1)1( 3) ( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，1231(1) ( )( )11( 1) (0)(0)1( 2) ( 1)( 1)1( 3) ( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，0)0()()(ynnx，解