同济第3版-高数-(4.1) 第一节 不定积分的概念及性质

1、 研究物体运这动需知其位移函数。研究物体运这动需知其位移函数。实际问题中，确实际问题中，确定质点定质点位移位移函数常常是不便的，较方便的倒是测定质点函数常常是不便的，较方便的倒是测定质点运动的速度。因此，需研究如何由已知质点运动的速度运动的速度。因此，需研究如何由已知质点运动的速度函数函数 V( t )，去求质点运动的路程函数，去求质点运动的路程函数 S( t ). .抽象成一般问题就是：已知抽象成一般问题就是：已知 f ( x )求求 f( x ). 在船舶制造中，需根据船体表面受力情况选择船体在船舶制造中，需根据船体表面受力情况选择船体形状形状 y = f( x ). . 来自前方的阻力可

2、分解为沿船体表面法来自前方的阻力可分解为沿船体表面法线方向和切线方向的两个分力。由于正压力不阻碍船的线方向和切线方向的两个分力。由于正压力不阻碍船的前进，因此减小阻力关键在于减小沿切线方向的分力。前进，因此减小阻力关键在于减小沿切线方向的分力。 切线方向就是切线方向就是 f ( x )的方向，切线方的方向，切线方向阻力的大小取决于曲线向阻力的大小取决于曲线 y = f( x )的形状，的形状，若能根据流体力学原理确定沿若能根据流体力学原理确定沿 f ( x )方方向的阻力的大小，则可选择船体形状。向的阻力的大小，则可选择船体形状。 抽象成一般问题就是抽象成一般问题就是： 已知已知 f ( x

3、)求求 f( x ). . 水池有水池有 100100 L 溶有污染物的水溶液溶有污染物的水溶液，其中污染物为其中污染物为15kg. 15kg. 现准备用清水冲洗现准备用清水冲洗，计划每分钟注入清水计划每分钟注入清水 5 5 L，混合均匀溶液每分钟流出混合均匀溶液每分钟流出 4 4 L ，问问: : 1 1 小时后水池中的污小时后水池中的污染物还有多少染物还有多少？ 由于清水的不断注入和由于清水的不断注入和混混合溶液合溶液的不断排出，的不断排出，水池中的污水池中的污染物的量染物的量 W 及及和和混合溶液混合溶液的体积的体积V 都随时间都随时间 t 而不断改变，即有而不断改变，即有 W = W(

4、 t )，V = V( t ). .所求为：所求为：W( 60 )= ? 设时刻设时刻 t 水池中含污水池中含污染物染物的量为的量为W( t )( 单位单位: kg ), ,水池中的水池中的混合溶液混合溶液的体积为的体积为V( t )( 单位单位: L ). 由变化率概念，每分钟排出的污由变化率概念，每分钟排出的污染物染物 4W( t )/V( t ). . 由条件易求得由条件易求得混合溶液混合溶液排出的速度为排出的速度为 dV( t )/ /d t = 5 - - 4 = 1. 于是由导数运算的逆转可求得于是由导数运算的逆转可求得 V( t )= t + C ，其中，其中 C 为任意常数。为

5、任意常数。 由已知当由已知当 t = 0 时，时，V( 0 )= 1000 . . 因此求得：因此求得： V( t )= t + 1000 . 由导数概念可得由导数概念可得污染物的排出的速度为污染物的排出的速度为 dW( t )/ /d t = - - 4W( t )/V( t )= - - 4W( t )/( t + 1000 ). . 由微商概念，可对应地写出在时间段由微商概念，可对应地写出在时间段 t , ,t t + d t 内内污染物的排出量为污染物的排出量为 因此有因此有 由于上式两边都可看成是某个函数的微分，于是由于上式两边都可看成是某个函数的微分，于是由由微分微分运算的逆转可求

6、得运算的逆转可求得 dlnW( t )= d-4ln( t + 1000 )+ C . . 4dd1000WtW ttt. . d4d1000W ttWtt. . 由式子由式子 dlnW( t )= d-4ln( t + 1000 )+ C 可得可得 lnW( t )= - - 4ln( t + 1000 )+ C . 由已知当由已知当 t = 0 时，时，V( 0 )= 1000 ，W( 0 )= 15 . 代入上式有代入上式有 ln 15 = - - 4 ln 1000 + C ，解得，解得 C = ln( 15 1012 ).因此因此 lnW( t )= - - 4ln( t + 100

7、0 )+ ln(15 1012). 于是求得，当于是求得，当 t = 60 分时，分时， 12415 101000W tt . .即即 12415 106011.88 kg1060W. .f( x )f ( x )，要求，要求 f( x )， 或或f( x )， F ( x )f( x ) f ( x )d x，F ( x )d x f( x )d x 如果在区间如果在区间 I 上，可导函数上，可导函数 F( x )的导数为的导数为 f( x )，即对任一即对任一 x I 都有都有 F ( x )= f( x )或或 dF( x )= f( x )d x，那末那末 F( x )就称为就称为 f

8、( x )或或 f( x )d x 在区间在区间 I 上的原函数。上的原函数。 定义实际以双重形式给出的，即若在区间定义实际以双重形式给出的，即若在区间 I I 上有上有F ( x )= f( x )，则称，则称 F( x )为为 f( x )在在 I I 上的原函数。上的原函数。同时，若在区间同时，若在区间 I I 上有上有 dF( x )= f( x )d x，也称，也称 F( x )为为 f( x )在在 I I 上的原函数。上的原函数。 由定义，只有对某区间由定义，只有对某区间 I 内的每一点内的每一点 x 都有都有 F ( x )= f( x )或或 d F( x )= f( x )

9、d x ，才可说函数，才可说函数 F( x )是是 f( x )在区间在区间 I 内的原函数。因此，如果上述关系式内的原函数。因此，如果上述关系式仅对仅对 I 内的某些点成立，并不能称内的某些点成立，并不能称 F( x )是是 f( x )的原的原函数。函数。 从理论上讲，对于所定义的原函数，为进行原函数从理论上讲，对于所定义的原函数，为进行原函数的计算需进一步需考虑的问题是：的计算需进一步需考虑的问题是： 对任意给定的函数对任意给定的函数 f( x )： f( x )的原函数是否总存在？的原函数是否总存在？ 如果如果 f( x )的原函数存在，其原函数是否唯一？的原函数存在，其原函数是否唯一

10、？ 如果如果 f( x )不一定总存在原不一定总存在原 函数，那么函数，那么 f( x )在什么条在什么条 件下存在原函数？件下存在原函数？ 研究发现，并非任何函数总存在原函数。为说明这研究发现，并非任何函数总存在原函数。为说明这一结果，可考察如下的例：一结果，可考察如下的例：例例：讨论符号函数讨论符号函数 的原函数。的原函数。 从直观考虑，符号函数在其定义域从直观考虑，符号函数在其定义域 R 上的原函上的原函数似乎应是数似乎应是 F( x )= x . . 但由于但由于 F( x )= x 在点在点 x = 0处不可导，故它不可能是符号函数在处不可导，故它不可能是符号函数在 R 上的原函数。

11、上的原函数。 进一步研究还可发现，任何函数均不可能成为符号进一步研究还可发现，任何函数均不可能成为符号函数函数 y = sgn( x )在在 R 上的原函数。上的原函数。 10sgn0010 xyxxx,. 假设函数假设函数 y = G( x )是符号函数是符号函数 y = sgn( x )在在 R上上的原函数，则的原函数，则 G( x )在点在点 x = 0 处导数存在，即应有处导数存在，即应有 G - -( 0 )= G + +( 0 )= G ( 0 ). . 具体计算有具体计算有 0000limlim0hhGhGGGh 0lim sgn1h , 0000limlim0hhGhGGGh

12、0lim sgn1h . .即即 G ( 0 )不存在，这与假设函数不存在，这与假设函数 y = G( x )在在 x = 0 处可处可导矛盾。故任何函数均不可能成为符号函数导矛盾。故任何函数均不可能成为符号函数 sgn( x )在在 R 上的原函数。上的原函数。 由上例还可推得如下一般结果：由上例还可推得如下一般结果： 如果某函数如果某函数 y = f( x )在区间在区间 I 上有跳跃间断点，则上有跳跃间断点，则 f( x )在区间在区间 I 上不存在原函数。上不存在原函数。 由于并非任意函数总存在原函数，因此需考虑原函由于并非任意函数总存在原函数，因此需考虑原函数存在的条件问题。通过研究

13、，人们发现原函数存在性数存在的条件问题。通过研究，人们发现原函数存在性问题涉及到许多更深入的理论，对这些理论问题此处不问题涉及到许多更深入的理论，对这些理论问题此处不作更多的介绍，仅给出一个充分性结果。作更多的介绍，仅给出一个充分性结果。 原函数存在性定理原函数存在性定理： 如果某函数如果某函数 f( x )在区间在区间 I 上连续，则在上连续，则在 I 上存在上存在可导函数可导函数 F( x )，使得对一切，使得对一切 x I，都有，都有 F( x )= f( x ). . 由定义容易看出，若某函数由定义容易看出，若某函数 f( x )存在原函数，则存在原函数，则其原函数一定不是唯一的。因为

14、若其原函数一定不是唯一的。因为若 F( x )是是 f( x )在区在区间间 I 上的一个原函数，则上的一个原函数，则 F( x )+ C 也是也是 f( x )在区间在区间 I上的原函数。因此，若函数上的原函数。因此，若函数 f( x )的原函数如果存在，的原函数如果存在，就必定有无穷多个。就必定有无穷多个。 尽管原函数不具有唯一性，但如果尽管原函数不具有唯一性，但如果 f( x )在区间在区间 I上的原函数都具有形如上的原函数都具有形如 F( x )+ C 的形式，则也可认为的形式，则也可认为原函数具有一种原函数具有一种“广义的广义的”唯一性。唯一性。 接下来的问题是接下来的问题是 f(

15、x )除了具有除了具有形如形如 F( x )+ C 的原的原函数外，是否还存在其它形式的原函数？函数外，是否还存在其它形式的原函数？ 由上分析原函数的唯一性问题归结为如下命题：由上分析原函数的唯一性问题归结为如下命题： 因为显然有因为显然有 左集合左集合 右集合右集合 ，故只需证，故只需证 左集合左集合 右集合右集合. 设设 ( x) 左集合左集合 是是 f( x )在在 I 上的任一原函数，上的任一原函数，则有则有 ( x)= f( x ). . 由于由于 F( x )是是 f( x )在在 I 上的一个原函数，故有上的一个原函数，故有 ( x)- - F( x )= ( x)- - F (

16、 x )= f( x )- - f( x )= 0 . 由拉格朗日中值定理推论由拉格朗日中值定理推论 ( x)- - F( x )= C , , 即有即有 ( x)= F( x )+ C . 因此知因此知 ( x) 右集合右集合 ，于是证得，于是证得 左集合左集合 = 右集合右集合.即即 f( x )在在 I 上的任一原函数上的任一原函数都都具有具有 F( x )+ C 的形式的形式C. P. U. Math. Dept 杨访杨访 在区间在区间 I 上，函数上，函数 f( x )带有任意常数项的原函数带有任意常数项的原函数称为称为 f( x ) 或或 f( x )d x 在区间在区间 I 上的

17、不定积分，记作上的不定积分，记作 f( x )d x 其中，记号其中，记号称为不定积称为不定积分号，分号，f( x )称为被积函数称为被积函数，f( x )d x 称为被积表达式，称为被积表达式，x 称为积分变量。称为积分变量。 不定积分定义为带有任意常数不定积分定义为带有任意常数 C 的原函数，因而的原函数，因而它它实际表示某函数实际表示某函数 f( x )的原函数的全体，即有的原函数的全体，即有 f( x )d x = F( x )+ C 不定积分概念不仅给出了函数的全体原函数的一种不定积分概念不仅给出了函数的全体原函数的一种表示法，实际也定义了一种关于函数的运算。因为式子表示法，实际也定

18、义了一种关于函数的运算。因为式子 f( x )d x = F( x )+ C 可理解为函数可理解为函数 f( x )或或 f( x )d x 经经不定积分不定积分“运算运算”后得到函数簇后得到函数簇 F( x )+ C 容易看出，不定积分的这种运算，实际是导数运算容易看出，不定积分的这种运算，实际是导数运算或微分运算的一种逆运算。或微分运算的一种逆运算。 例如，对于函数例如，对于函数 f( x )= x ，由导数运算公式有，由导数运算公式有 当当 = - -1 时，时，f( x )= x 的一个原函数。于是由不定积分概念有的一个原函数。于是由不定积分概念有 上式可理解为，函数上式可理解为，函数

19、 f( x )= x 或或 x d x 经不定积经不定积分运算后得到一个函数簇分运算后得到一个函数簇 1111xxxFx 即即 是是,1 d.1xxxC 1 .1xF xC 不定积分与导数或微分运算的关系可归结为如下形式不定积分与导数或微分运算的关系可归结为如下形式 dddffxxxx dddfxfxxx dFxFCxx dFFCxx 原函数簇原函数簇 F( x )+ C 表示表示 I 上的一簇上的一簇“平行曲线平行曲线”, , 即这些曲线在同一点即这些曲线在同一点 x 处的切线相互平行。处的切线相互平行。 dfxFCxx FxfxxyO yFCx tanFfxx x 从运算角度讲，不定积分并

20、不是一种独立的计算，从运算角度讲，不定积分并不是一种独立的计算，其计算过程实际是将导数公式反过来加以应用，但反过其计算过程实际是将导数公式反过来加以应用，但反过来应用导数公式就大大增加了计算的难度和复杂性，而来应用导数公式就大大增加了计算的难度和复杂性，而这正是不定积分计算的特点。因此，为进行不定积分的这正是不定积分计算的特点。因此，为进行不定积分的计算必需熟练掌握导数的计算公式。计算必需熟练掌握导数的计算公式。 将导数公式将导数公式“反过来反过来”书写就书写就成了积分公式，常用的积分公式可成了积分公式，常用的积分公式可列表如下：列表如下： 11 xx 0k 1lnxx1d1xxxC dk x

21、kxC1dlnxxCx 21arcsin1xx 2darcsin1xxCxsincosxx cos dsinx xxCcossinxx sin dcosx xxC 2tansecxx 22dsecdtancosxx xxCx2cotcscxx 22dcscdcotsinxx xxCx secsectanxxx sectan dsecxx xxCcsccsccotxxx csccot dcscxx xxC eexx e dexxxClnxxaaa dlnxxaaxCashchxx ch dshx xxCchshxx sh dchx xxC 基本积分表提供了一些最基本的积分结果，它是计基本积分表提

22、供了一些最基本的积分结果，它是计算各类积分的基础。由于初等函数形式是无穷尽无的，算各类积分的基础。由于初等函数形式是无穷尽无的，不可能将所有函数的积分都用列表形式表出。所谓计算不可能将所有函数的积分都用列表形式表出。所谓计算函数的积分，实际是对给定积分作相应变形和转换，使函数的积分，实际是对给定积分作相应变形和转换，使其转化为基本积分表上形式，再由基本积分求出积分。其转化为基本积分表上形式，再由基本积分求出积分。 因此，基本积分实际只是提供了因此，基本积分实际只是提供了进行积分变形和化简的方向。熟练进行积分变形和化简的方向。熟练掌握基本积分的意义就在于它可为掌握基本积分的意义就在于它可为各类积

23、分计算提供积极的思路。各类积分计算提供积极的思路。 例如，通过基本积分表可作如下计算：例如，通过基本积分表可作如下计算： 由此积分可见，直接应用基本积分表仅能求出一些由此积分可见，直接应用基本积分表仅能求出一些简单函数的不定积分，如果被积分函数稍稍复杂一点，简单函数的不定积分，如果被积分函数稍稍复杂一点，按基本积分表就难以求出积分了。因此必需考虑对给定按基本积分表就难以求出积分了。因此必需考虑对给定积分作变形和转换，使其化为基本积分表上的形式。为积分作变形和转换，使其化为基本积分表上的形式。为对给定积分作各种所需的变形，需先研究积分的性质。对给定积分作各种所需的变形，需先研究积分的性质。 44

24、13333d13d.413xxxxCCxxx eee dd.elnln1exxxxxxaaaxxCCaaa sinecos d?xx x 不定积分运算是由导数运算定义的，它可看成是导不定积分运算是由导数运算定义的，它可看成是导数或微分运算的逆运算，因此其性质和计算规则和导数数或微分运算的逆运算，因此其性质和计算规则和导数运算有着密切的联系。运算有着密切的联系。 对于不定积分性质的讨论，对于不定积分性质的讨论，可考虑通过导数运算性质和可考虑通过导数运算性质和规则导出不定积分相应的规则导出不定积分相应的性质及运算规则。性质及运算规则。 C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访 不定积分运

25、算是由导数运算定义的，它可看成是导不定积分运算是由导数运算定义的，它可看成是导数或微分运算的逆运算，其性质和计算规则和导数运算数或微分运算的逆运算，其性质和计算规则和导数运算有着密切的联系。因此，可考虑通过导数运算性质和规有着密切的联系。因此，可考虑通过导数运算性质和规则导出不定积分相应的性质及运算规则。则导出不定积分相应的性质及运算规则。 ddd.xfxgxfgxxxx dd .kfxkfxxx 由不定积分定义，不定积分等式就是原函数等式，由不定积分定义，不定积分等式就是原函数等式，因此只需证明等式两边的导数相等。因此只需证明等式两边的导数相等。 分别计算等式两边的导数分别计算等式两边的导数因此有因此有 dxfgfgxx