混沌时间序列分析

1、 科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它能否对事物的客观规律作出一定的预测。能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系根据混沌系统提取的非线性时间序列对系统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于从时间序列研究混沌，始于Packard等等1980提出的重构相空间理论。提出的重构相空间理论。 对于决定系统长期演化的任一变量的时间演对于决定系统长期演化的任一变量的时间演化，均包含了系

2、统所有变量长期演化的信息。因化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因此，我们可以通过决定系统长期演化的此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变任意单变量时间序列量时间序列来研究系统的混沌行为。来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理：的延迟嵌入定理：对于一个非线性系统对于一个非线性系统,通过观测通过观测,可以得到一组测量值可以得到一组测量值x ( n)，n=1,2,N利用此测量值可以构造一组利用此测量值可以构造一组m 维向量维向量X( n) = ( x ( n) , x ( n +) , ,x ( n +(

3、 m - 1) ) n= 1,N- ( m - 1)如果参数如果参数, m 选择恰当选择恰当,则则X( n) 可描述原系统。可描述原系统。称为延迟时间，称为延迟时间，m称为嵌入维数。称为嵌入维数。由由x(n)构造构造X(n) 称为称为相空间重构。相空间重构。相空间重构例vHenon 映射nnnnnxyyxx3 . 04 . 11121该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变量Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1) 由Zn 可以重构原来的系统延迟时间间隔延迟时间间隔的选取的选取主要方法v 线性自相关函数法v平均互信息法（课后自行查阅）

4、平均互信息法（课后自行查阅）线性自相关函数法NnnNnnNnnnxNxxxNxxxxNC11211,)(1)(1)(其中定义自相关函数为 选择使得自相关函数C()第一次为零时的的值为延迟时间嵌入维数嵌入维数m的选取的选取主要方法（课后查阅）虚假邻点法关联积分法奇异值分解法Lorenz系统bzxydtdzyzrxdtdyxydtdx)()(91.37,68.13,34.1538,2810000zyxbr初值，取Lorenz系统的吸引子(x-y-z）-40-20020400204060-20-1001020如果只观测到变量x的值，利用x作相空间重构取延迟时间为9，嵌入维数为3即令 (x(1),y(

5、1),z(1)=(x(19),x(10),x(1) (x(2),y(2),z(2)=(x(20),x(11),x(2) (x(3),y(3),z(3)=(x(21),x(12),x(3) -20-1001020-20-1001020-20-1001020-40-20020400204060-20-1001020重构后的相图(x-y-z)原始系统相图(x-y-z)1 时间序列分析模型简介时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述一、时间序列分析模型概述1、自回归模型、自回归模型2、移动平均模型、移动平均模型3、自回归移动平均模型、自回归移动平均模型非线性时间序列预测基本思想设时间序列来自确定

6、性系统X(n)=F(X(n-1),F(.)为连续函数。若 X(n)和X(j)距离很小，则F(X(n)和F(X(j)距离也应很小，即X(n+1)和X(j+1)间的距离很小，从而 可以用X(j+1)作为X(n+1)的预测值。 ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间些时间序列是依赖于时间 的一族随机变量，构成该时的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变

7、化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. t tX自回归序列 ： tX1122tttptptXXXXu如果时间序列 是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为【1】pp【1】式称为 阶自回归模型，记为AR（ ） 注注1：实参数：实参数 称为自回归系数，是待估参数称为自回归系数，是待估参数.随机项随机项 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为是相互独立

8、的白噪声序列，且服从均值为0、方差为方差为 的正态分布的正态分布.随机项与滞后变量不相关。随机项与滞后变量不相关。 12,p tu2注注2：一般假定：一般假定 均值为均值为0，否则令，否则令 tXttXX kBkktt kB XX212ptttpttXBXB XB Xu记 为 步滞后算子，即 ，则模型【1】可表示为212( )1ppBBBB 令 ，模型可简写为( )ttB XuAR（ ）过程平稳的条件是滞后多项式 p( )B的根均在单位圆外，即 ( )0B的根大于1 【2】 tXtX1122ttttqt qXuuuu 如果时间序列 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为 【3】qq

9、式【3】称为阶移动平均模型，记为MA（ ）注：实参数12,q 为移动平均系数，是待估参数 引入滞后算子，并令212( )1qqBBBB 则模型【3】可简写为 ( )ttXB u注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式( )B的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程能相互表出，即过程可逆，【4】21201itittiw Bw BXwBXu 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即21201jttjtjXv Bv Buv Bu 自回归移动平均序列自回归移动平均序列 ：tXtX11221122tttpt ptt

10、tq t qXXXXuuuu 如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为【5】( , )p q式【5】称为阶的自回归移动平均模型，记为ARMA( , )p q12,p 12,q 注1：实参数称为自回归系数，为移动平均系数，都是模型的待估参数注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为( )( )ttB XB u【6】注4：ARMA过程的平稳条件平稳条件是滞后多项式 ( )B的根均在单位圆外 可逆条件可逆条件是滞后多项式( )B的根都在单位圆外 12,tttt kXXXXkk构成时间序列的每个序列值构成时间序列的每个序列值相关关系称为

11、自相关。自相关程度由自相关系数相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数表示时间序列中相隔表示时间序列中相隔期的观测值之间的相关程度。期的观测值之间的相关程度。 之间的简单之间的简单度量，度量，121()()()n ktt ktknttXXXXXX注1：nkX是样本量，为滞后期，代表样本数据的算术平均值 注2：自相关系数 k的取值范围是 1,1 且|k越接近1，自相关程度越高 tX121,ttt kXXX tXt kX偏自相关是指对于时间序列，在给定的条件下， 与之间的条件相关关系。 kk11kk 其相关程度用度量，有 偏自相关系数111,111,112,3,1kkkjkjjkkkkjjjkk

12、kk其中是滞后期的自相关系数， 1,1,1,2,1kjkjkkkkjjk 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进行判定。 在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评价模型的优劣。若时间序列 tX满足 1）对任意时间t，其均值恒为常数； 2）对任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔 ts有关，而与 的起始点无关。 那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。 和st 序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要需要注意的是，

13、在注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求求 在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以平稳列通过差分可以平稳 判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序列的自相关系数自相关系数 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额比如地区降雨量、旅游收入和空调销

14、售额等时间序列都具有明显的季节变化等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月； 季度资料的时间序列，季节周期为4个季. 判断时间序列季节性的标准为：判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察月度数据，考察 12,24,36,k 时的自相关系数是否与与0有显著差异；有显著差异；季度数据，考察季度数据，考察 4,8,12,k 系数是否与系数是否与0有显著差异。有显著差异。 时的自相关时的自相关说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则存在季节性存在季节性. 若自相关系数与若自相关系数与0无显著不

15、同，无显著不同， 实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，这时必须这时必须再用上述方法再用上述方法，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误. 包含季节性的时间序列也不能直接建立包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致致. , ,d D p q,P Q在需要对一个时间序列运用在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的方法建模时，应运用序列的自相关与偏自相关对

16、序列适合的模型类型进行识别，确定适自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶数宜的阶数以及以及 （消除季节趋势性后的平稳序列）（消除季节趋势性后的平稳序列） （1 1）MAMA（q）的自相关与偏自相关函数）的自相关与偏自相关函数自协方差函数自协方差函数 22212111,0,10,qkkkq kqkkqkq2tDu是白噪声序列的方差是白噪声序列的方差 样本自相关函数 1122011,0,110,kkq kqkkqkkqkqqkkqqMA（）序列的自相关函数在这种性质称为自相关函数的步截尾性； 以后全都是0，随着滞后期 k这种特性称为偏自相关函数的拖尾性 的增加，呈现指数或者正弦

17、波衰减，趋向于0，偏自相关函数 （2 2）ARAR（p）序列的自相关与偏自相关函数）序列的自相关与偏自相关函数偏自相关函数 ,10,kkkkpkp是p步截尾的 ；自协方差函数 k满足 ( )0kB自相关函数 k满足 ( )0kB它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性 （3 3）ARMAARMA（, p q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的 自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k在q步截尾，则判断 tX是MA（ q）序列 kkp若样本偏自相关函数在步截尾，则可判断是AR（

18、tXp）序列 若，都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定. k在kkk，tX是但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是 k和kk的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于 k和kk不可能的，的截尾性 只能借助于统计手段进行检验和判定。 （1）k的截尾性判断q1,qq MMN对于每一个 ，计算（ 一般取左右），考察其中满足22011|2qkllN22012|2qkllN或 的个数是否为 M的68.3%或95.5%。 如果当01kq时， k明显地异于0，而 001,qqM近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例， 则可近似地认为 k在0q步截尾 （2）kk的截尾性判断作如下假设检验： 0,:0,1,p k p kHkMMN1:Hk0kkpkMp存在某个，使，且 统计量2221p MkkMkpN 2( )MM2表示自由度为的分布 的上侧分位数点 对于给定的显著性