小学数学培优：几何问题之立体几何

1、数学培优立体几何【学习内容及预期目标】掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算 公式；学会计算由基本立体图形通过切割、拼接而构成的复杂立体图形的体积和 表面积；掌握平面图形通过折叠、旋转所得立体图形的计算。长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式C长方体的表面积S=2ab+2ac+2bc;长方体的体积V=abc.正方体的表面积S=6a2;正方体的体积V=a3圆柱的表面积S=22+2h;圆柱的体积V= 2h.圆锥的表面积S= 2+ l ；1圆锥的体积V=-32h.2附：扇形的面积S=n360-Ir2例题解析：1、一个长方体的长、宽、高分别为 3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和

2、等 于另一个正方体的棱长总和，则长方体和正方体的表面积之比是多少？长方体体 积比正方体体积少多少立方厘米？解析：长方体的棱包含4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(3+2+1) ×=24 厘米，由此可求出正方体的棱长 =24*12=2厘米.所以长方体的表面积=(3 >2+3×1+2×1) ×=22平方厘米；正方体的表面积 =2&0=24平方厘米.因此长方体和正方体的表面积之比是 22:24=11:12.而长方体的体积=长×宽 >高=3×2×1=6立方厘米；正方体的体积=棱长3 =23=8立方厘米.因此长

3、方体的体积比正方体的体积少 2立方厘米.2、将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为 2厘米的正方 形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角 去掉边长为3厘米的正方形呢？ 解析：(1)将长方体的长、宽、高标在展开图中，不难发现，折叠成的长方体容 器的长是13-2- 2=9厘米，宽是9- 2- 2=5厘米，高2厘米，因此容器的体积就是9×5×2=90立方厘米.(2)同理，折叠成的长方体容器的长是13-3- 3=7厘米，宽是 9-3-3=3厘米，高3厘米，因此容器的体积就是 7×3×3=63立方厘米.2、用棱长是

4、1厘米的小立方体拼成 如图所示的立体图形，这个图形的 表面积是多少平方厘米？ 解析：如图，从立体图形上方和下方看去，看到的都是 9 块小正方形，面积是 9 平方厘米 .从四个侧面看去，看到的是图 2 形式的 7块小正方形，面积是 7 平方 厘米.故立体图形的表面积是 9X2+7×4=46平方厘米.4、 (1)将一个棱长为 6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的 长方体，剩余部分的表面积是多少？解析：从上、下、左、右、前、后这 6个方向去观察条件所给的图形，从各个方 向看过去，都是6× 6的正方形.所以切割后立体图形的表面积为：62× 6=216.

5、(2)将一个棱长为 5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3 的长方体，它的表面积减少了百分之几？解析： 同样地，从 6 个方向去观察条件所给的图形 .切割前立方体的棱长是 5， 表面积为： 52× 6=150.切割后，减少的面积是图中前后面的虚线部分，减少的 总面积为2× (3×4)=24.所以，表面积减少了 24÷ 150=16%.5、 有一个棱长为 2 厘米的正方体 .从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1 厘米 的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 0.5厘米的小洞；第 三个小洞的挖法与前面两个相同，棱长为 0.25厘

6、米.最后得到的立体图形的表面 积是多少平方厘米？解析：这个图形是由一个正方体挖掉三个正方体后得到的， 因此我们可以来计算 每挖一个正方体后表面积的变化 .在挖第一个洞后，上表面除了减少了一个边长 为1厘米的正方形， 还多出来了 5个边长为 1厘米的正方形， 因此表面积增加了 4平方厘米；挖第二个洞，多出来了 4个0.5× 0.5的面，表面积增加了 0.5× 0.5 × 4=1平方厘米；挖第三个洞，多出来了 4个0.25× 0.25的面，表面积增加了 0.25 × 0.25× 4=0.25平方厘米；原立方体的表面积是 2× 2

7、× 6=24平方厘米.最后，总的表面积是 24+4+1+0.25=29.25平方厘米.6、 有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米和 2米.三 个池子都装了半池水 .现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的 水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米.如果将这堆碎石都沉没在大水池的水里，大水 池的水面会升高多少厘米？ (结果精确到小数点后两位 )解析： 先求投在中水池中的碎石体积：中水池底面正方形边长 3米，水面升高 6 厘米，这堆碎石的体积=300×300×3=540000立方厘米.再求投在小水池中的碎石体积：小水池底面正方形边长 2米，

8、水面升高 4厘米， 这堆碎石的体积=200× 200× 4=160000立方厘米.所以两堆碎石的体积一共为： 540000+160000=700000立方厘米.把它们投进大水 池，水池升高部分的体积就是 700000立方厘米.由于大水池底面正方形边长为 6 米，所以大水池上升的高度为 700000÷ (600× 600)=3518 1.94厘米.7、有一个高 24厘米，底面半径为 10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水 .现有 一根长 30 厘米，底面半径为 2 厘米的圆柱体木棒 . 将木棒竖直放入容器中，使棒 的底面与容器的底面接触 .这时水面升高了多少

9、厘米？解析：木棒浸入水之前，容器里水是底面半径为10厘米，高为24÷ 2=12厘米的圆柱体.所以水的体积为102×× 12=1200立方厘米.木棒浸入水之后，水是从半径为10厘米的大圆柱体挖掉半径为2厘米的小圆柱 体后余下的部分，体积为两个圆柱体之差由于两个圆柱体的高相同，所以这部 分水的体积就等于底面积乘以公共的咼.水的底面是一个环形，即两个圆的差，其中大圆半径是 10厘米，小圆半径是2 厘米，则底面面积是102× -22× =96 平方厘米.因此木棒浸入水中后，水的新高度是1200÷ 96 =12.5厘米，比原来升高了 12.5-

10、12=0.5厘米.巩固练习：一、填空：1、(1)将4块棱长为1的正方体木块排成一排,拼成一个长方体.那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了 (2) 一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示， 将其切成两个长方体.这两部分的表面积总和是;如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块 长方体.这18块长方体表面积总和是.2、有一个圆柱，底面直径和高均为 8厘米；有一个圆锥，底面直径和高均为 4厘米.请问：圆锥体积与圆柱体积的比是 I3、如图所示一块二层蛋糕，由二个咼都为 1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成.请问：(1) 这个蛋糕的表面积是 平方分米.(取3.14)(2) 如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是、解答题:1、 有一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3 厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米. 求这个长方体的表面积.2、有一块长、宽、高