平面几何难题及解答

1、经典难题（一）1、已知：如图，。是半圆的圆心,C E是圆上的两点，CD!AB, EF，AR EGL CQ求证：CD= GF.2、已知：如图，P是正方形ABCD3一点，/ PA求证：PBCM正三角形.3、如图，已知四边形ABCD AiBCD都是正方形,是AA、BB、CG、DD的中点.求证：四边形A2B2GD是正方形.（初二）4、已知：如图，在四边形 ABC时,AD= BC1、中点，AD BC的延长线交求证：/ DEI / F.已知： ABC中，H为垂心，BC于 M(1)求证：AH= 2QM(2)若/ BAC= 60°,求证:2、设MN圆。外一直线，过MNf? E、难题（二）D=BADA

2、iBCCB MF.BDA2、F、D2分别DC（各边高线的交点）一/ Q为外厄、且'QMAH= AQ (初二)线，交圆于B、C及D E,直线EB及CM别交/NQ。作 QAL MNT A,中求证：A之AQ （初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN圆O的弦，过MN勺中点A任作两弦BG DE设CDEB分别交MNT P、Q求证：AP= AQ （初二）NOB4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在 ABC的处侧作正方形ACD昏口正方形CBFG点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一至经典难DPFDE/ AQ AE= A（A AE苞 CDB交于E

3、题（二）1、如图,四边形ABC的正方形,F.求证:C& CF.（初二）2、如图,四边形ABC时正方形,ADE/ AQ且CE=Cak直线日延长线于F.CC，A求证：AE= AF.（初二）g3、设P是正方形ABCD-边BC上的任frPF，求证：PA= PF.（初二）A、4、如图，PC切圆。于C, AC为圆的直径，PEF为序的害U线，A& AFpE与直线PO相交于B、D.求证：AB= DC BC= AD经典难题业1、已知：zABCM正三角形，P是三角形内一点、PBEC求：/ APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形ABCD3部的一点，且/ PBA= Z PDA求证：/ PAB= /

4、PCB （初二）3、设ABC的圆内接凸四边形，求证：AB- CA AD匹三）4、平行四边形ABC。，设E、F分别是BC相交于P,且BBAB上的BCAE= CF.求证:/ DPA= /DPC （初二）1、设P是边长为经典难题（五）B1的正 ABC内任一点，L=PL PB+ PQ 求证:<L<2.BDDCC2、已知：P是边长为1的正方形 ABCDJ的一点，求 PM PB+ PC的最小值.3、P为正万形ABCDg的一点，并且 PA= a, PB= 2a, PC 3a,求正 方形的边长.AV/P"一4、如图， ABC中，/ ABO/ACB= 80、D> E分别用a AC弋的

5、点，/ DCA= 300, /EBA= 200,求/ BED的度数.JA、经典难题解答：一 E经典难题（一）DY1 .如下图做GHLAB,连接EO由于GOFE3点共圆，所以/gFQOeG,B C即ag吁AOGE可得GF=GO嘿，又CO=E 0所以CD=G得证。2 .如下图做 DGCg与zAD睦等，可得 PDG等边,从而可得 DG葭AAPfD4CGP得出 PC=AD=DC/ DCG= PCG= 150所以/ DCP=30,从而得出 PBC是正三角形3 .如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接GF与AE并延长相交于Q点, 连接EB并延长交GQ于H点，连接FB并延长交4Q于G点，由 A2E=9

6、AB=9BCi= FB2 , EE2=2AB=i BC=ICi ,又/GFQ+Q=90和/GE2+/Q=90,所以/ GE2=/GF（X/RFG=/AEB ,可得ARFC二ZAEB ,所以 A2B2=BC2 ,又/ GFQ + HBF=900和/ GFQ= EBA ,从而可得/ AB C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形ABGD是正方形4 .如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得/ QMF = F, / QNM=/DENffi /QMN =QNM 从而彳#出/ DENk / F。经典难题(二)1.(1)延长 AD到 F 连 BF,彳ft OGL AF,又/ F=/

7、ACBN BHD可得BH=BF从而可得HD=DF又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB OC既得 / BOC=120从而可得/ BOM=600所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3 .作 OF, cd OGL BE,连接 OP OA O5 AF, OG AQ OQ由于殷二 AC= CD = 2FD = FDAB AE BE 2BG BG '由此可得AADmAAB(G从而可得/ AFCh AGE又因为PFOA< QGOA3点共圆，可得/ AFCh AO济口 / AGEM AOQ/AOPM AOQ 从而可得 AP=AQ4 .过E,

8、C,F点分别作AB所在直线的高EG CI, FH可得PQ=EG+ FH 。2由EGAeAIC,可得 EG=A| 由 BFHCBI,可得 FH=BI。从而可得PQ= AI + BI =胆，从而得证。 22经典难题(三)1 .顺时针旋转4ADE到AB。连接CG.由于 / ABG= ADE=9O+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上，可得 AG尻ACGB推出AE=AG=AC=GCI4 AG6等边三角形。/AGB=3。既彳EA. EAC=30,从而可得/ A EC=750 又/ EFC= DFA=45+300=750.可证：CE=CF2 .连接BD乍CKDE可得四边形CGD谑正方形。由

9、AC=CE=2GC=2CH可得/CEH=30,所以/ CAEh CEAh AED=l5,又/ FAE=9(0+45o+l5o=1500,从而可知道/ F=15°,从而得出AE=AF3 .作FG±CD FEE± BE,可以得出GFE正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X。tan,可得 YZ=XY-X+X乙/ BAP=tanZ EPF=X =ZY Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB% APEF ,得到PA= PF ,得证。经典难题(四)1 .顺时针旋转4ABP 600 ,连接PQ,则APBO是正三角

10、形可得PQO直角三角形。所以/ APB=150。2 .作过P点平行于AD的直线，并选一点 E,使AE/ DC BE/ PC.可以得出/ABP之ADPW AEP可得：AEB时圆(一边所对两角相等)。可得/ BAPh BEPh BCP 得证。3 .在 BD取一点 E,使/BCEh ACD 既彳# BES AAD(C 可得:些二处即AD?BC=BE?ACBC AC又/ACBh DCE 可得 AABS DEC 既得任二匹，即 AB?CD=DE?ACAC DC由 + 可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE尸 A(BD ,得证c4 .过 D作 A" AE , AGL CF ,由 se =

11、 SYA晅 二与口尸。，可得：2把侬二把妙由AE=FC 22可得DQ=DG可得/ DPA= / DPC(角平分线逆定理)。经典难题(五)1 . (1)顺时针旋转4BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE嚏使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=(2)过P点作BC的平行线交AB,AC亍点D, F由于 / APD» ATP4 ADP推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FC>PC又DF=AF由可得：最大L< 2 ;<L<2。由(1)和(2)既得:2 .顺时针旋转4BPC 6(0 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+E最小只要 AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF既得AF1小亭1尸= 月;尾鼻2逅=:( 3；1)2一 = "3+1) 226+ <2=。23 .顺时针旋转4ABP 900 ,可得如下图：既得正方形边长L = )(2+争+ (争ga =)5+2&ga。4 .在AB上找一点F,使/ BCF=60