立体几何大题训练及答案

1、1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形,(1)线段的中点为，线段的中点为, 求证：；(2)求直线与平面所成角的正切值解：(1)取AB的中点为N ,连MN , PN ,则PMN EBC PM /平面 BCE FE EBCAB/DE (1)求证：AO 平面 CDE(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值3、如图，在 ABC中,C 90 , AC BC 3a,点 P 在 AB 上，PEBC 交 AC 于ABC ;沿PF将 BPF翻折成B'PFE , PF AC 交 BC 于 F .沿 PE 将4APE翻折成 A'PE,使平面 A'PE 平面

2、，使平面B'PF 平面ABC.(1)求证：(2)若 APB'C平面 A'PE;2PB,求二面角A'PC解：(1)因为FC / PE , FC 平面A' PE ,所以FC /平面 A' PE .因为平面 A' PE 平面PEC，且A'E PE ,所以A'E 平面 ABC .2分同理，B'F 平面ABC ,所以B'F A'E ,从而B'F/平面A'PE . 一分 所以平面B'CF 平面 A'PE ,从而B'C/平面A' PE .一十 分(2)因为 AC B

3、C 3a , AP 2BP ,所以 CE a, EA 2a, PE 2a, PC V5a.8 分过E作EM PC ,垂足为M,连结A M .B'EA由（1）知（第20题）A' E 平面ABC，可得A E PC，所以PC 面A EM ,所以 AM PC .所以 A'ME即为所求二面角 A' PC E的平面角，可记为12分在RtA PCE中，求得EM2.5所以tanA EEM2a2Tz515分4、如图，DA平面ABC ED平面 BCD DE=DA=AB=AC. BAC(2)P求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；为线段DM±一点，且 AP DM求证：AP解

4、:ED 平面BCD，为在平面上的射影,为与平面所成角.Q DA 平面 ABC ,设，又Q DA在 ABC中, 又Q为中点，ABAC1BM BC2Q ,DM, 3a2在 RtA EDM中，EM DE 2 DM 2Bsin EMD DEEMa3 a2(2) AB AC , M 为 BC 中点,BC AM .又 DA 平面 ABC ，11分13分14分10分BC DA ,平面.又平面，又，平面.又ED 平面BCD5、如图，已知 ABC比边长为1的正方形，AFL平面(1)证明：BDL EF;(2)若AF= 1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为返，求的值.10解：(1)连结BD AC交点为OABC

5、D是正方形. AH平面 ABCD，AH BD .BDL平面 ACEF BDL EF(2)连结OE由(1)知，BDL平面 ACEF所以/BEO即为直线BE与平面AC即成的角. AF，平面 ABCD CE/ AF , CEL平面 ABCD CELBC. BC =1, AF= 1,贝U CE=,BE= .12BO=立,2.Rt"EO 中,sin BEOBOBE3，, 2"Tq-，13分15分因为 1 ,解得6、如图，在几何体中,AA1 平面ABCAB BC,CC1 / AA1, AB BC AA12,CCi 1,D, E分别是AB, AAi的中点.求证：BC1平面CDEC1EAC

6、(2)求二面角E DC A的平面角的正切值.解：(1)连接ACRR交EC于点F,由题意知四边形 ACCRRE是矩形，则F是ACRR的中点, 连接DF, 皿AB的中点，.二DFABCRR的中位线，BCRR7分(2) 作AH，直线CD,垂足为H,连接HE AARR1 平面 ABC 1 AARiRX DCCD，平面 AHECD，EHAHE是二面角E - CD - A的平面角.11 分D是AB的中点，AH等于点B至ij CD的距离，在 BCD43,求得：AH= 45 ,5在 4AEH 中，tan AHE 生AH 2即所求二面角的正切值为 .27、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且(1)求证：平面

7、；(2)若，求与平面所成角的正弦值 .解：(1)证明：过点作于点，平面，平面，平面2分又，平面/,2 分又平面/平面6分(2)二.平面,又丁 8分点是的中点，连结，则，平面/ ,.四边形是矩形10分设又，, 从而，过作于点，则： ，是与半囿所成角，与平回所成角的正弦值为8、如图，在直二棱柱 ABC A1B1cl中，AA=2, D, E分别为CC与AB的中点，点(1)求证：DE 12分 14分ABC是等腰直角三角形，ACB 90O ,侧棱E在平面ABD上的射影是 ABD的重心.Ai 3GCB9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱/ B=90° ,D为棱BB的中点。ABC- A1B1C1中，

8、底面 ABC为等腰直角三角形,(1)求证：面DAC，面 AACC;(2)若也AB求二面角 A AiD- C的大小。10在四棱锥 P-ABCD 中PA，平面ABCD ,AB ABCD AB/DCE F AB DE AB CFABCF,3,EF FB P2 G FBAE t ADE, BCF DE,CF A B P PEFCD(2)当EG 面PFC时，求DG与平面(1)求证:CPD 平C : MFDBPED所成角的正切值(1)证明：连接DF交EC于点M ,连接MGM,G为中点 PD/MG又 PD 面EGCMG 面 EGCPD 平面 EGC5 分(2)当EG 面PFC时，EG PF又 G为FB的中点

9、，EF EP 2 , t 27 分过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为 N,连接DN .DE 面 PEF 面 PED 面 PEF GN 面 PEDGDN即为DG与平面PED所成角.11分3217易求得GN , DN "1,所以DG与平面PED所成角的正切值为 .14分22712、如图，在四边形 ABCD中，AB AD 4, BC CD J7 ,点为线段上的一点现将 DCE沿线段EC翻折到PAC,使得平面 PAC 平面ABCE ,连接PA , PB.证明：BD 平面PAC ;（2）若 BAD 60,且点E为线段的中点，求直线 PE与平面ABCE所成角的正弦值解：（1）连接AC ,

10、AB AD 4,BD交于点O,在四边形ABCD中,BC CD 7ABC ADC , DAC BAC, . . AC BD又.平面PAC 平面ABCE,且平面PAC 平面ABCE = ACBD 平面 PAC 6 分(2)如图，过点P作AC的垂线，垂足为 H ,连接EH , EC并取AO中点F ,连接EF ,.平面PAC 平面ABCE ,且平面PAC 平面ABCE = AC, PH AC PH 平面ABCE, PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，由（I ）可知，AC BD ,且 AO 2V3 , CO 33 , 又PE 2, PC 百，设CH x,则有PH V7 x2 , EH CPE2 PH2 Jx2 3又F为AO的中点，在Rt EFH中，FH 2/3 x , EF 1由勾股定理得，(2/3 x)2 1 x2 3,解得x 4J3,3 EH 273, PH 5V3 33，直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即 sin PEH 里 PE 313、在三棱柱 ABC-A1B1G 中，AB=AC=AA=2,平面 ABC,平面 AACC, / AAG=/BAC=60° ,设AC与AC相交于点O,如图.(1)求证：BOL平面AACC;(