管理统计学11时间序列和指数

1、第十一章第十一章 时间序列时间序列 和指数和指数对时间序列的分析方法有哪几种？它们对时间序列的分析方法有哪几种？它们 分别有什么优点和缺点？分别有什么优点和缺点？如何进行时间序列的预测？如何进行时间序列的预测？什么是指数？它有何作用？什么是指数？它有何作用？现实中指数是怎样的？现实中指数是怎样的？第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1 11.1 时间序列的成分时间序列的成分 一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四种独立的成分种独立的成分趋势、循环、季节和不规则。下面我趋势、循环、季节和不规则。下面我们仔细研究其中的每一种成分。

2、们仔细研究其中的每一种成分。时间序列的时间序列的四种独立成分四种独立成分趋势趋势循环循环季节季节不规则不规则第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.1 11.1.1 趋势成分趋势成分 在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐渐增加在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐渐增加或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变的性态称为时或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变的性态称为时间序列的趋势。间序列的趋势。趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变化、方法的变化等等化、方法的变化等等趋势成分趋势成分时间序列的时间序列的长期动向长期动向长期长期影响因素影

3、响因素第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.2 11.1.2 循环成分循环成分 时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、下波任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、下波动，都可归结为时间序列的循环成分。动，都可归结为时间序列的循环成分。循环成分循环成分围绕长期趋势线围绕长期趋势线的上下波动的上下波动第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.3 11.1.3 季节成分季节成分许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这通常由季节因素引起，因此

4、称为季节成分。通常由季节因素引起，因此称为季节成分。季节成分季节成分季节因素引起的一年内季节因素引起的一年内有规则的运动有规则的运动第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.3 11.1.3 季节成分季节成分例如，一个游泳池制造商在秋季和冬季各月有较低的例如，一个游泳池制造商在秋季和冬季各月有较低的销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。铲雪设备和防寒衣物的制造商的销售却正好相反。铲雪设备和防寒衣物的制造商的销售却正好相反。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.3 11.1.3 季节成分季节成分季节成分也可用来描述任何持

5、续时间小于一年的、有季节成分也可用来描述任何持续时间小于一年的、有规则的、重复的运动。规则的、重复的运动。例如，每天的交通流量资料显示在一天内的例如，每天的交通流量资料显示在一天内的“季节季节”情况，在上、下班拥挤时刻出现高峰，在一天的休息时情况，在上、下班拥挤时刻出现高峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量，在午夜到清晨出现小流量。刻和傍晚出现中等流量，在午夜到清晨出现小流量。季节成分的扩展季节成分的扩展第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.4 11.1.4 不规则成分不规则成分 时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用来说明在分离时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用来说明在

6、分离了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不可预期的不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预测的。和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预测的。不规则成分不规则成分短期的，不可预期和短期的，不可预期和不重复出现的因素引不重复出现的因素引起的随机变动起的随机变动第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.1.4 11.1.4 不规则成分不规则成分 时时间间序序列列不不规规则则成成分分分离出趋势成分分离出趋势成分分离出循环成分分离出循环成分分离出

7、季节成分分离出季节成分第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2 11.2 利用平滑法进行预测利用平滑法进行预测 本节我们讨论三种预测方法：移动平均法、加权移动本节我们讨论三种预测方法：移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要平均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除消除”由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们被称为平滑方法。被称为平滑方法。三三种种平平滑滑方方法法移动平均法移动平均法加权移动平均法加权移动平均法指数平滑法指数平滑法第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2 11.2 利用

8、平滑法进行预测利用平滑法进行预测 平滑方法对稳定的平滑方法对稳定的时间序列时间序列即没即没有明显的趋势、循有明显的趋势、循环和季节影响的时环和季节影响的时间序列间序列是合适是合适的，这时平滑方法的，这时平滑方法很适应时间序列的很适应时间序列的水平变化。但当有水平变化。但当有明显的趋势、循环明显的趋势、循环和季节变差时，平和季节变差时，平滑方法将不能很好滑方法将不能很好地起作用地起作用平滑方法很容易使用，平滑方法很容易使用，而且对近距离的预测，而且对近距离的预测，如下一个时期的预测，如下一个时期的预测，可提供较高的精度水可提供较高的精度水平。平。预测方法之一的指数平滑法预测方法之一的指数平滑法对

9、资料有最低的要求对资料有最低的要求平平滑滑方方法法缺点缺点优点优点第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.1 11.2.1 移动平均法移动平均法移动平均法使用时间序列中最近几个时期数据值的平移动平均法使用时间序列中最近几个时期数据值的平均数作为下一个时期的预测值。移动平均数的计算公均数作为下一个时期的预测值。移动平均数的计算公式如下：式如下：= nn最近 期数据之和移动平均数（11111 1）第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.2 11.2.2 加权移动平均法加权移动平均法移移动动平平均均法法加权加权移动移动平均平均法法计算移动平均数时每个计算移动平均数时每个观

10、测值权数权数相同观测值权数权数相同对每期数据值选择不同的权数，然后计算对每期数据值选择不同的权数，然后计算最近最近n n个时期数值的加权平均数作为预测值个时期数值的加权平均数作为预测值通常，最近时期的观测值应取得最大的通常，最近时期的观测值应取得最大的权数，而比较远的时期权数应依次递减权数，而比较远的时期权数应依次递减第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.3 11.2.3 指数平滑法指数平滑法 指数平滑法指数平滑法加权移动平均法加权移动平均法属于属于只选择一个权数（最近时期观只选择一个权数（最近时期观测值的权数），其他时期数据值测值的权数），其他时期数据值的权数可以自动推算出来

11、。的权数可以自动推算出来。当观测值离预测时期越久远时，当观测值离预测时期越久远时，权数变得越小权数变得越小第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.3 11.2.3 指数平滑法指数平滑法 指数平滑法模型：指数平滑法模型：1(1) 11-2tttFYF（）式中式中F Ft+t+1 1t+t+1 1期时间序列的预测值；期时间序列的预测值； Y Yt tt t期时间序列的实际值；期时间序列的实际值； FtFtt t期时间序列的预测值；期时间序列的预测值； 平滑常数（平滑常数（0011）。）。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.3 11.2.3 指数平滑法指数平滑法 12

12、223)1 ()1 (YYFYF2 2期的预测值：期的预测值： 111112)1 ()1 (YYYFYF3 3期预测值：期预测值： 最后，将最后，将F F3 3的表达式代入的表达式代入F F4 4的表达式中，有的表达式中，有 1223123334)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (YYYYYYFYF第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.3 11.2.3 指数平滑法指数平滑法 因此，因此，F F4 4是前三个时间序列数值的加权平均数。是前三个时间序列数值的加权平均数。Y Y1 1，Y Y2 2和和Y Y3 3的系数或权数之和等于的系数或权数之和等于1 1。 由此可以得到一个结

13、论，即任何预测值由此可以得到一个结论，即任何预测值F Ft t+1+1是以是以前所有时间序列数值的加权平均数。前所有时间序列数值的加权平均数。 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.2.3 11.2.3 指数平滑法指数平滑法 指数指数平滑法平滑法特点特点指数平滑法提供的预测值是以前所指数平滑法提供的预测值是以前所有预测值的加权平均数，但所有过有预测值的加权平均数，但所有过去资料未必都需要保留，以用来计去资料未必都需要保留，以用来计算下一个时期的预测值。算下一个时期的预测值。一旦选定平滑常数一旦选定平滑常数，只需要二，只需要二项的信息就可计算预测值。项的信息就可计算预测值。式（式（1

14、1-211-2）表明，对给定的）表明，对给定的，我们只要知道我们只要知道t t期时间序列的实期时间序列的实际值和预测值，即际值和预测值，即Y Yt t和和F Ft t，就可，就可计算计算t t+1+1期的预测值。期的预测值。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 本节我们将说明如何对拥有长期线性趋势的时间序本节我们将说明如何对拥有长期线性趋势的时间序列进行预测。列进行预测。不稳定，随时间不稳定，随时间呈现持续增加呈现持续增加或减少的形态或减少的形态长期长期线性线性趋势趋势数列数列趋势推测法可行趋势推测法可行平滑法不合适平滑法

15、不合适第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 例题例题11.111.1 考虑一某超市过去考虑一某超市过去1010年的自行车销售量时间序列，年的自行车销售量时间序列，资料见表资料见表11-111-1。注意，第。注意，第1 1年销售了年销售了2160021600辆，第辆，第2 2年年销售了销售了2290022900辆，辆，第，第1010年（即最近一年）销售了年（即最近一年）销售了3 314001400辆。尽管图辆。尽管图11-111-1显示在过去显示在过去1010年中销售量有上、年中销售量有上、下波动，但时间序列总的趋势是增长的

16、或向上的。下波动，但时间序列总的趋势是增长的或向上的。 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 图图11-1 11-1 自行车销售时间序列的图形自行车销售时间序列的图形 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 图图11-2 11-2 用线性函数对自行车销售量的趋势描述用线性函数对自行车销售量的趋势描述 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1

17、1.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 被估计的销售量可表示为时间的函数，其表被估计的销售量可表示为时间的函数，其表达式如下：达式如下：线性趋势方程线性趋势方程01 11-3tTbbt（）上式中上式中 T Tt tt t期时间序列的趋势值；期时间序列的趋势值； b b0 0线性趋势的截距；线性趋势的截距； b b1 1线性趋势的斜率；线性趋势的斜率； t t 时间。时间。 例例11.111.1解析解析 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 其中其中: :122()/ 11-4() /tttTtTnb

18、ttn （）01 11-5bTb t（） 例例11.111.1解析解析( (续续)第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 式中式中 T Tt tt t期时间序列的值；期时间序列的值； n n 时期的个数；时期的个数； T时间序列的平均值，即时间序列的平均值，即 nTTt/tt t的平均值，即的平均值，即 t=t t/n/n。 例例11.111.1解析解析( (续续)第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 根据计算根据计算b b0 0和和b b1 1的关系式

19、及表的关系式及表11-111-1的自行车销售量的自行车销售量资料，我们有如下计算结果：资料，我们有如下计算结果： 4 .205 . 510. 145.2610. 110/5538510/5 .264555 .154545.26105 .2645 . 51055021bbTt 例例11.111.1解析解析( (续续)第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.3 11.3 利用趋势推测法进行预测利用趋势推测法进行预测 因此，自行车销售量时间序列的线性趋势成分的因此，自行车销售量时间序列的线性趋势成分的表达式为：表达式为：T Tt t= =20.4+1.1t 20.4+1.1t （11-61

20、1-6） 例例11.111.1解析解析( (续续)第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.411.4利用趋势和季节成分进行预测利用趋势和季节成分进行预测 前面我们已经介绍了如何对有趋势成分的时间序列前面我们已经介绍了如何对有趋势成分的时间序列进行预测。本节我们将把这种讨论扩展到对同时拥有趋进行预测。本节我们将把这种讨论扩展到对同时拥有趋势和季节成分的时间序列进行预测的情形。势和季节成分的时间序列进行预测的情形。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.411.4利用趋势和季节成分进行预测利用趋势和季节成分进行预测 商业和经济中的许多情形是一期与一期的比较。商业和经济中的许多情

21、形是一期与一期的比较。例如，我们想研究和了解失业人数是否比上个月上例如，我们想研究和了解失业人数是否比上个月上升升1%1%，钢产量是否比上个月上升，钢产量是否比上个月上升5%5%等问题。在使用等问题。在使用这些资料时，必须十分小心。因为每当描述季节影这些资料时，必须十分小心。因为每当描述季节影响时，这样的比较会使人产生误解。响时，这样的比较会使人产生误解。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.411.4利用趋势和季节成分进行预测利用趋势和季节成分进行预测 例如，例如，9 9月份电能消费量比月份电能消费量比8 8月份下降月份下降3%3%，可能，可能仅仅是由于空调使用减少这一季节影响引

22、起的，而仅仅是由于空调使用减少这一季节影响引起的，而不是因为长期用电量的减少。事实上，在调整季节不是因为长期用电量的减少。事实上，在调整季节影响后，我们甚至可以发现用电量是增加的。影响后，我们甚至可以发现用电量是增加的。 9 9月份电能月份电能消费量比消费量比8 8月份下降月份下降3%3%的原因的原因属于长期属于长期用电量的减少？用电量的减少？空调使用空调使用减少引起的？减少引起的？第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.1 11.4.1 乘法模型乘法模型 11-7ttttYTSI（）基本模型：基本模型：上式中：上式中：Y Yt t-时间序列的数值时间序列的数值 T - T -趋

23、势成分趋势成分 S -S -季节成分季节成分 I -I -不规则成分不规则成分 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.1 11.4.1 乘法模型乘法模型 下述资料是某公司在过去下述资料是某公司在过去4 4年中台式电脑的销年中台式电脑的销售量（单位：千台）数据。售量（单位：千台）数据。 例例11.211.2第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.1 11.4.1 乘法模型乘法模型表表11-2 11-2 台式电脑销售量的季度资料台式电脑销售量的季度资料 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.1 11.4.1 乘法模型乘法模型第十一章时间序列和指数第十一

24、章时间序列和指数11.4.2 11.4.2 季节指数的计算季节指数的计算 第一步，计算中心化移动平均数第一步，计算中心化移动平均数 例例11.211.2解析解析 表表11-3 11-3 台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.2 11.4.2 季节指数的计算季节指数的计算表表11-311-3（续）台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果（续）台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.2 11.4.2

25、 季节指数的计算季节指数的计算表表11-311-3（续）台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果（续）台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.2 11.4.2 季节指数的计算季节指数的计算第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.2 11.4.2 季节指数的计算季节指数的计算第二步第二步 计算季节不规则值计算季节不规则值表表11-4 11-4 台式电脑销售量时间数列的季节不规则值台式电脑销售量时间数列的季节不规则值第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.2 11.4.2 季节指数的计算季节

26、指数的计算第三步第三步 计算季节指数计算季节指数 例例11.211.2解析（续）解析（续） 表表11-5 11-5 台式电脑销售量时间数列的季节指数计算结果台式电脑销售量时间数列的季节指数计算结果第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.3 11.4.3 消除时间序列的季节影响消除时间序列的季节影响ttttITSY表表11-6 11-6 台式电脑销售量时间数列消除季节影响后的数据台式电脑销售量时间数列消除季节影响后的数据第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.3 11.4.3 消除时间序列的季节影响消除时间序列的季节影响图图11-511-5消除季节影响的台式电脑销售量

27、时间序列消除季节影响的台式电脑销售量时间序列第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.4 11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势利用消除季节影响的时间序列确定趋势T Tt t= =b b0 0+ +b b1 1t t式中式中 T Tt tt t期台式电脑销售量的趋势值；期台式电脑销售量的趋势值；b b0 0趋势线的截距；趋势线的截距；b b1 1趋势线的斜率；趋势线的斜率；第四步第四步, ,进行趋势预测进行趋势预测 基本模型基本模型: :第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.4 11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势利用消除季节影响的时间序列确定

28、趋势计算计算b b0 0和和b b1 1的公式如下的公式如下 122()/() /tttTtTnbttn 01 bTb t（11118 8）（11119 9）第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.4 11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势利用消除季节影响的时间序列确定趋势计算结果：计算结果： 101. 55 . 8148. 0359. 60148. 016/2136149616/ )74.101136(98.9141359. 61674.1015 . 816136bbTt 例例11.211.2解析（续）解析（续） 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.

29、4 11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势利用消除季节影响的时间序列确定趋势T Tt t=5.101+0.148t=5.101+0.148t 因此，时间序列的线性趋势成分的表达式为：因此，时间序列的线性趋势成分的表达式为： 由趋势方程可分别产生第由趋势方程可分别产生第1717、1818、1919和和2020季度的季度的台式电脑销售量预测值为台式电脑销售量预测值为76177617，77657765，79137913和和80801616台。台。 例例11.211.2解析（续）解析（续） 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.5 11.4.5 季节调整季节调整季节调整季节调

30、整表表11-7 11-7 台式电脑销售量时间数列的季度预测值台式电脑销售量时间数列的季度预测值 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.6 11.4.6 基于月度资料的模型基于月度资料的模型 在前面台式电脑销售量的例子中，我们利用季度资在前面台式电脑销售量的例子中，我们利用季度资料来说明季节指数的计算，但是许多商业情况的预测使料来说明季节指数的计算，但是许多商业情况的预测使用月度资料多于季度资料。用月度资料多于季度资料。联系现实联系现实第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.6 11.4.6 基于月度资料的模型基于月度资料的模型 在这种情况下，首先用在这种情况下，首

31、先用1212个月的移动平均数代替个月的移动平均数代替4 4个个季度的移动平均数，然后是计算每个月的季节指数，而季度的移动平均数，然后是计算每个月的季节指数，而不是每个季度的季节指数。除了这些改变以外，计算和不是每个季度的季节指数。除了这些改变以外，计算和预测方法都是一样的。预测方法都是一样的。 联系现实联系现实1212个月的移动个月的移动平均数代替平均数代替4 4个个季度的移动平均数季度的移动平均数计算每个月计算每个月的季节指数，的季节指数，而不是每个季而不是每个季度的季节指数度的季节指数解决解决方案方案的的差别差别第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.7 11.4.7 循环成

32、分循环成分 有时，式（有时，式（11-811-8）的乘法模型可扩展到包括循环）的乘法模型可扩展到包括循环成分在内，即成分在内，即 (11-10)tttttYTCSI第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.4.7 11.4.7 循环成分循环成分 同季节成分一样，循环成分也可表示为趋势的百同季节成分一样，循环成分也可表示为趋势的百分比。循环成分相对比较复杂：分比。循环成分相对比较复杂： 本节将不对循环成分做进一步的讨论。本节将不对循环成分做进一步的讨论。 循环循环成分成分的复的复杂性杂性循环成分是由于时循环成分是由于时间序列的多年循环间序列的多年循环而出现的，与季节而出现的，与季节成分类

33、似，但是它成分类似，但是它的时间周期更长一的时间周期更长一些。些。获得比较恰当的资料获得比较恰当的资料来估计循环成分常常来估计循环成分常常是困难的是困难的循环的长度是变化的循环的长度是变化的第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1 指数最早起源于物价指数的编制，英国人Rice Vaughan 1965年首创物价指数，用于度量物价的变化。随后指数的应用范围不断扩大，其度量的内容和编制的方法日益丰富，形成了一个较大的体系。指数的概念： 概括而言，描述报告期或报告点价格、数量或价值与基期或基准点相比的相对变化程度的指标称为指数。 指数是一种对比性的统计指标，是总体各变量在不同时空的数量对比形成

34、的相对数。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5 11.5 指数指数 指数实际上就是相对比率。对于时间序列指数实际上就是相对比率。对于时间序列 y y1 1，y y2 2，y yi i，y yn n 如选其中如选其中y yb b为基准，那么第为基准，那么第i i时期的指数时期的指数100biiyyI指数的概念指数的概念第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.1 11.5.1 指数的作用指数的作用 指数可以用做衡量同一变量在不同时期变化的方向指数可以用做衡量同一变量在不同时期变化的方向和程度，也可提供比较有关变量变化的情况的根据。和程度，也可提供比较有关变量变化的情况

35、的根据。衡量同一变量在不同衡量同一变量在不同时期变化的方向和程度时期变化的方向和程度提供比较有关变量变化提供比较有关变量变化情况的根据情况的根据指指数数第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.1 11.5.1 指数的作用指数的作用 指数可以用来调整在不同时期变量变化的实际情况。指数可以用来调整在不同时期变量变化的实际情况。例如某人经过一段时间，其收入由例如某人经过一段时间，其收入由10001000元增到元增到15001500元，元，但消费指数在同期由但消费指数在同期由100100增到增到130130，那么他的真实收入实，那么他的真实收入实际是：际是：15001001001153.

36、8130名义收入真实收入（元）消费指数以下只考虑物价指数和物量指数。以下只考虑物价指数和物量指数。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.2 11.5.2 指数的分类指数的分类 从研究对象的品种数目来看，可以分为单一品种的从研究对象的品种数目来看，可以分为单一品种的指数和多品种的综合指数。指数和多品种的综合指数。 从比率的基准来看，指数可分为定基指数和环比指数从比率的基准来看，指数可分为定基指数和环比指数指数的分类指数的分类从对象的品从对象的品种数目来看种数目来看从比率的从比率的基准来看基准来看定基指数定基指数环比指数环比指数单一品种指数单一品种指数多品种指数多品种指数第十一章时

37、间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.2 11.5.2 指数的分类指数的分类表表11-8 11-8 我国农副产品收购牌价分类指数（以我国农副产品收购牌价分类指数（以19801980年价格为年价格为100100）第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式单品种的价格指数和数量指数都是容易计算的。单品种的价格指数和数量指数都是容易计算的。以基期价格为以基期价格为p p0 0，报告期价格为，报告期价格为p p1 1，报告期价格指，报告期价格指数：数：10/100 11-11pIpp（）以基期数量为以基期数量为q q0 0

38、，报告期数量为，报告期数量为q q1 1，报告期数量，报告期数量指数：指数： I Iq q=q=q1 1100/q100/q0 0 (11-12) (11-12) 单品种价格指数单品种价格指数第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式多品种的情形复杂得多。例如，根据下列资料，多品种的情形复杂得多。例如，根据下列资料，作出学校办公用消耗品价格指数。作出学校办公用消耗品价格指数。 多品种价格指数多品种价格指数第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式求

39、综合价格指数时，不能简单相加如求综合价格指数时，不能简单相加如 因为：因为：各各p p1i1i的单位不同，它们分别是元的单位不同，它们分别是元/ /箱，元箱，元/ /盒，盒，元元/ /桶等等；桶等等；各品种作为办公用消耗品，它们的重要性也不同。各品种作为办公用消耗品，它们的重要性也不同。 1200,iiiipppp第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式 为了解决这个问题，常用的方法是加权。以消耗数为了解决这个问题，常用的方法是加权。以消耗数量量q q加权，这样得到的指数公式称为加权，这样得到的指数公式称为Laspey

40、resLaspeyres价格指数价格指数（为了比较不同报告期的指数，报告期下标用（为了比较不同报告期的指数，报告期下标用n n表示）表示） 000100nnp qIp q（11-1311-13） LaspeyresLaspeyres价格指数价格指数第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式现在计算上例的现在计算上例的LaspeyresLaspeyres价格指数：价格指数：第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式 由此得学校办公用消耗品由此得学校办

41、公用消耗品LaspeyresLaspeyres价价格指数（格指数（19981998年为年为100100）19991999年，年， 20002000年，年， 5 .12110013407162891I2 .13010013407174522I第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数课堂练习：下表为美国某地区一组水果2000年和2005年的单位价格和销售量，若以2000年为基期，计算该组水果2005年的拉氏指数。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数解：计算拉氏数量指数为： 计算拉氏质量指数为： 100026.8874105.80%25.4143qq pIq p100039.176315

42、4.15%24.4143Pp qIp q第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式 有时不以基期消耗有时不以基期消耗q q0 0加权，而以报告期加权，而以报告期q qn n加权，加权，所得指数称为所得指数称为PaaschePaasche价格指数价格指数PaaschePaasche价格指数价格指数0100nnnnp qIp q(11-14) (11-14) 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.311.5.3定基综合价格指数计算公式定基综合价格指数计算公式 Paasche Paasche价格指数的不同价格指

43、数的不同PaaschePaasche价格指数与价格指数与LaspeyresLaspeyres价格指数价格指数数值不同，它的数值不同，它的经济意义也不同。经济意义也不同。它表示学校要购买它表示学校要购买各品种的当前消耗各品种的当前消耗数量时，价格的变动情况数量时，价格的变动情况和多花或少花多少钱。和多花或少花多少钱。PaaschePaasche价格指数价格指数的不同的不同第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数例题：下表为美国某地区一组水果2000年和2005年的单位价格和销售量，若以2000年为基期，计算该组水果2005年的帕氏指数。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数解：计算帕氏

44、数量指数为： 计算帕氏质量指数为： 110139.5120100.86%39.1763qq pIq p1 10139.5120146.95%26.8874Pp qIp q第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数拉氏指数与帕氏指数的比较 （1）从经济意义考虑： 数量指数一般使用拉氏数量指数计算； 质量指数一般使用帕氏质量指数计算。 （2）当价格和销售量呈反方向变动的某段时间内，根据同一项资料计算的拉氏指数大于帕氏指数； （3）假如某段时间内价格与销售量呈同方向变动，那么，根据同样一项资料计算的拉氏指数小于帕氏指数。 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.4 11.5.4 综合

45、数量指数综合数量指数 像工业产品生产量指数，农产品收获量指数和像工业产品生产量指数，农产品收获量指数和商品销售量指数都是多品种综合数量指数。和价格商品销售量指数都是多品种综合数量指数。和价格指数一样，各品种的数量指数一样，各品种的数量q q不能直接相加，必须用不能直接相加，必须用加权的方法。以价格加权的方法。以价格p p为权，可能有三种形式。为权，可能有三种形式。 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.4 11.5.4 综合数量指数综合数量指数 用报告期价格为权，得用报告期价格为权，得 三种三种加权加权方法方法（11111515） 10111pqpqI用基期价格用基期价格p p

46、0i0i为权，得为权，得 00011pqpqI（11111616） 用固定价格用固定价格p pkiki为权，得为权，得 KKpqpqI011（11111717） 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.4 11.5.4 综合数量指数综合数量指数 上式中上式中p pkiki表示第表示第i i品种在某一段时期的固定价格（不变品种在某一段时期的固定价格（不变价格）。例如：我国在计算工业生产量指数和农业产量价格）。例如：我国在计算工业生产量指数和农业产量指数时就用这种方法。我国工业统计中曾使用过指数时就用这种方法。我国工业统计中曾使用过19521952年、年、19571957年、年、19

47、701970年和年和19801980年的不变价格。年的不变价格。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.5 11.5.5 基期的变换和指数序列的拼接基期的变换和指数序列的拼接 当两个不同基期的指数序列需要彼此前后对照时，当两个不同基期的指数序列需要彼此前后对照时，就要换成共同的基期。但这并不需要重新用公式计算。就要换成共同的基期。但这并不需要重新用公式计算。 例如，对于下述以例如，对于下述以19991999年为基期的指数序列：年为基期的指数序列： 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.5 11.5.5 基期的变换和指数序列的拼接基期的变换和指数序列的拼接要换成以要

48、换成以19961996年为基期：年为基期： 但相对的比率关系不变。但相对的比率关系不变。第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.5 11.5.5 基期的变换和指数序列的拼接基期的变换和指数序列的拼接 在编制较长时期的指数序列时，使用同一基期，在编制较长时期的指数序列时，使用同一基期，如果指数不断增加，数值可能很大，使用并不方便。如果指数不断增加，数值可能很大，使用并不方便。因此常常改变基期。因此常常改变基期。现实中的问题和解决办法现实中的问题和解决办法第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.5 11.5.5 基期的变换和指数序列的拼接基期的变换和指数序列的拼接 例例

49、11.3 11.3 日本政府机关就规定，各指数每日本政府机关就规定，各指数每5 5年（公元年末年（公元年末位为位为0 0或或5 5的年份）改变一次，这样便于短时期的比的年份）改变一次，这样便于短时期的比较。但有时有必要做长时期的观察，这就需要拼接较。但有时有必要做长时期的观察，这就需要拼接成同一基期的指数序列。成同一基期的指数序列。现实中的问题和解决办法现实中的问题和解决办法第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数11.5.5 11.5.5 基期的变换和指数序列的拼接基期的变换和指数序列的拼接表表11-9 11-9 日本消费者物价指数日本消费者物价指数 第十一章时间序列和指数第十一章时间序

50、列和指数 平均指数是以某一时期的价值指标为权数，对个体指数加权平均计算得到的总指数。 其中，作为权数的价值指标通常是两个变量（如销售量和价格的乘积)，个体指数可以是个体数量指标指数，即也可以是个体质量指标指数，即 。10qkq q10pkpp 当所知资料为全面资料时，可以采用综合指数和平均指数两种方法来编制总指数，但是在得不到全面资料得情况下必须运用平均指数法来编制总指数。 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1加权算术平均法编制数量指标指数适用范围： 已知数量指标个体指数和基期总量权数，求数量指标指数时应采用加权算术平均数指数的计算形式。计算方法： 加权算术平均法使用基期价值量指标

51、作为权数，通常是对个体指标指数加权算术平均计算得出。因为突出其经济意义，多用于计算数量指标。 00p q（数量指标）计算公式一般为： 式中， 是数量加权算术平均指标指数； 是个体数量指标指数。 1000000000qqqp qk p qqIp qp qqIqk第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数例：表13-3给出了中国某地区三种水果的有关资料，计算其销售量的加权算术平均数指数。解：三种水果销售量的加权平均数指标为： 计算结果表明，报告期与基期相比，销售量平均提高了24.92%。 00001.25 600001.33 375001.2 62500199875124.92%16000016

52、0000qqk p qIp q第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1 加权调和平均法编制质量指标指数适用范围： 加权调和平均法是以报告期价值量指标 作为权数，对个体质量指标指数加权调和平均计算得出。 从指数经济意义出发，加权调和平均法通常用于编制质量指数。 1 1p q（质量指标）计算公式一般为： 式中， 是质量加权调和平均指标指数； 是个体质量指标指数。 1 11 11 11 11011Ppp qp qIp qp qkpppIpk第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数例题13-6：表13-3给出了中国某地区三种水果的有关资料，计算其销售量的加权调和平均数指数。解：三种水果单位价

53、格的加权调和平均数指标为： 计算结果表明，三种水果的价格报告期比基期平均降低了2.5%。1 11 119500019500097.5%175000600006000020000011.20.8ppp qIp qk第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1指数体系概念和应用 在实际中，为了更深入研究社会经济相互关系的现象，除了确定单个指数的计算方法，更重要的是确定几个指数组成的指数体系。 指数体系是指相互联系且在数值上具有一定数量对等关系的一系列指数所形成的体系。每一个指数体系中，一个指数称为总变动指数，其余的称为因素指数。 总变动指数是反映现象总量变动的指数，等于报告期与基期总量之比。 指

54、数间的这种数量对等关系最典型的表现形式是：一个总变动指数等于若干个（两个或两个以上）因素变动指数的乘积。例如：销售额指数 = 销售量指数价格指数。（1）进行因素分析，即分析各种因素指数对总变动指数影响的方向和程度；（2）进行指数间的相互推算，即根据已知的指数推算未知的指数。 指数体系的主要作用：第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1指数体系的因素分析因素分析的分类：（1）按影响因素的多少：两因素分析和多因素分析；（2）按分析指标的表现形式：总量指标变动因素分析和平均指标变动因素分析。 因素分析是借助指数体系来分析社会经济现象变动中各种因素变动发生作用的影响程度。 总量指标变动因素分析

55、：总量指标变动因素分析总量指标变动因素分析 两因素分析两因素分析 多因素分析多因素分析 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1指数体系的因素分析 总量指标变动因素分析 ：两因素分析 在指标体系中，若某个总量指标（结果指标）是两个因素指标的乘积，则可以根据指标关系构造指数体系，它是总量指标因素分析法的基础。 总体总量指标 = 数量指标质量指标1 1101 100001op qq pp qp qq pp q 总量指标指数中的对等关系除了乘法关系外还有加法关系，即结果指数的分子分母之差等于各因素指数分子分母之差的和。 总量指标变动额数量指标变动额质量指标变动额 1 10010001 101p

56、 qp qq pq pp qp q第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数例题：根据例13-2数据资料，结合上面得出的计算结果，利用指数体系分析价格和销售量变动对销售额的影响。解：销售额指数 价格指数146.95% 销售量指数105.8% 三者的乘法数量关系为： 由此也可以看出，2005年与2000年相比，三种水果的销售额提高了55.47%，其中由于价格变动而使得销售额提高了46.95%，由于销售量变动而使得销售额提高了5.8%。 110039.5120155.47%25.4143p qp q155.47%146.95%105.8%第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数例题：根据例1

57、3-2数据资料，结合上面得出的计算结果，利用指数体系分析价格和销售量变动对销售额的影响。解：（续上页） 销售额变动39.512025.4143=14.0977 价格变动的影响额39.512026.8874=12.6246 销售量变动的影响额26.887425.4143=1.4731 三者的加法数量关系为：14.097712.6246+1.4731 表明2005年与2000年相比，三种水果的销售额增长了14.0977美元，其中由于价格变动而使得销售额增加了12.6246美元，由于销售量变动而使得销售额增加了1.4731美元。 第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1指数体系的因素分析 总量

58、指标变动因素分析：多因素分析 根据分析研究问题的需要，还可建立多个因素指数组成的指数体系，对总量变动作多因素分析。 例如，分析工业总产值的变动，可以按全体职工人数，工人占全部职工人数的比重，与工人劳动生产率等三个因素的组合，进行三因素分析。用乘法关系表示如下： 工业总产值全体职工人数 全部职工人数比重 工人劳动生长率第十一章时间序列和指数第十一章时间序列和指数1指数体系的因素分析总平均数指数因素分析： 指数因素分析，除了采用综合指数的形式对总量指标的变动进行外，还可结合总平均数指数进行。平均指标是反映社会经济现象总体一般水平的指标。总体一般水平决定于两个因素：（1）总体内部各部分的水平，（2）总体的结构，即各部分在总体中所占的比重。平均指标的变动是这两个因素变动的综合结果。 总平均数指数因素分析总平均数指数因素分析固定构成指数固定