第2章_矩量法

1、矩矩 量量 法法 矩量法 根据线性空间的理论，根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子可化为矩阵方程求解。子方程，这类算子可化为矩阵方程求解。设有算子方程：设有算子方程：( )L fg=式中式中L为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程；为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程；g是已知函数如激励源；是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。为未知函数如电流。2.1 矩量法原理矩量法原理假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子假定上述方程的解

2、存在且是唯一的，则有逆算子 的的存在，使存在，使 成立。成立。 互为逆算子。互为逆算子。 1L)(1gLf1LL与 算子算子L的定义域为算子作用于其上的函数的定义域为算子作用于其上的函数f的集合。算的集合。算子子L的值域为算子在其定义域上运算而得的函数的值域为算子在其定义域上运算而得的函数g的集合。的集合。 矩量法 内积：在希尔伯特空间内积：在希尔伯特空间H中两个元素中两个元素f和和g的内积的内积是一个标量（实数或复数），记为，内积的运算满足是一个标量（实数或复数），记为，内积的运算满足下面的关系：下面的关系： 212*(1),(2)1,(3),00,00f gg faL fa g haf h

3、ag hf fff ff 若若对于所有算子对于所有算子L定义域中的定义域中的f，若有下面的关系成立，若有下面的关系成立 ：gLfgLfa,则则 称为称为L的伴随算子。若，则的伴随算子。若，则L叫做自伴算子。且有：叫做自伴算子。且有： aLLgfgLf,矩量法矩量法矩量法 假设有一算子方程为第一类假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：积分方程： )() () ,(zgdzzfzzGba式中式中 为核，为核， 为已知函数，为已知函数， 为未知函数。为未知函数。 ) ,(zzG) (zf)(zg矩量法Nnnnzfazf1) () (首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数首先用线性的独立

4、的函数来近似表示未知函数由于是用近似式表示，故有误差，为：由于是用近似式表示，故有误差，为： 其中其中 为待定系数（可为复数），为待定系数（可为复数）， 为算子域内为算子域内的基函数，的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：为正整数。代入上式并整理得：na) (zfn)()(1zgzfLaNnnn)()()(1zgzfLazNnnn称为残数称为残数矩量法 现选取检验函数现选取检验函数 ，将上表示式两端与检验函，将上表示式两端与检验函数求内积：数求内积： mw)(,)(,)(,1zgwzfLwazwmNnnmnm若令残数矢量对检验函数的内积为零：若令残数矢量对检验函数的内积为零： 0)(,zwm

5、这就意味着这就意味着 正交。随着正交。随着N的增加，误差也趋于最小。的增加，误差也趋于最小。矩量法是一种使误差化为最小的方法。矩量法是一种使误差化为最小的方法。 与mw矩量法内积，则可写出下列矩阵方程：内积，则可写出下列矩阵方程： I ZV= =式中式中 , ( ),mnmnmmmmZwL fzVWgIa= = = = = = 求解上矩阵方程。求解上矩阵方程。 矩量法对于电磁场问题，算子方程：对于电磁场问题，算子方程： iopEJL)(1.设基函数为设基函数为Jn (n=1,2,N)，则有：，则有： nnnJIJ基函数有全域基和子域基。基函数有全域基和子域基。 3.代入第一式，并利用其线性特性

6、：代入第一式，并利用其线性特性： 2.权函数为权函数为Wm（m=1,2,N）；）； inopnnEJLI 用权函数对上式两边取内积（内积为两矢量的用权函数对上式两边取内积（内积为两矢量的点积在表面积分所得到的标量）：点积在表面积分所得到的标量）： imnopmnnEWJLWI,矩量法4.矩阵方程为：矩阵方程为： VIZ NopNopNopNNopopopNopopopJLWJLWJLWJLWJLWJLWJLWJLWJLW,212221212111Z NIIII21 iNiiEWEWEWV,21广义阻广义阻抗矩阵抗矩阵 广义电流广义电流 广义电压广义电压 用求逆方法求解，可利用用求逆方法求解，可

7、利用Z的对称性，以节省计算时间：的对称性，以节省计算时间： VZI1矩量法2.2 基函数与检验函数的选择基函数与检验函数的选择 1基函数：基函数： 对于给定问题，选取的基函数越接近实际解，则方对于给定问题，选取的基函数越接近实际解，则方程组的要求越简单，计算量越小，收敛越快。程组的要求越简单，计算量越小，收敛越快。 在天线问题中，在天线问题中，基函数基函数Jn越接近于辐射体上的实际越接近于辐射体上的实际电流分布，那么方程组的收敛性越好，计算量越少，而电流分布，那么方程组的收敛性越好，计算量越少，而且在某些条件下，阻抗矩阵的条件且在某些条件下，阻抗矩阵的条件(稳定性稳定性)就越好就越好。 基函数

8、的选择对阻抗矩阵的稳定性有显著的影响。基函数的选择对阻抗矩阵的稳定性有显著的影响。 基函数有两大类：基函数有两大类：第一类是第一类是全域基函数全域基函数(整域基函数整域基函数)，即在整个定义域内，即在整个定义域内定义基函数。定义基函数。第二类是第二类是子域基函数子域基函数(分域基函数分域基函数)，它在定义域内的一，它在定义域内的一部分定义，而在其它部分定义域内为零。部分定义，而在其它部分定义域内为零。 矩量法1) 全域基函数全域基函数 在在J所及的整个定义域内定义并为非零的基函所及的整个定义域内定义并为非零的基函数数Jn，则，则J为全域基函数为全域基函数 1nnnJIJ式中式中In 是待定系数

9、。是待定系数。优点：收敛快。优点：收敛快。缺点：未知函数的特性往往事先并不了解或很难用一缺点：未知函数的特性往往事先并不了解或很难用一个函数在全域上描述它，因此无法选择合适的个函数在全域上描述它，因此无法选择合适的全域基函数。有时即使找到了合适的全域基函全域基函数。有时即使找到了合适的全域基函数，由于算子本身很复杂，同时求内积运算会数，由于算子本身很复杂，同时求内积运算会使积分变得更复杂，大大的增加了计算量。使积分变得更复杂，大大的增加了计算量。 矩量法常见的全域基函数有：常见的全域基函数有： 付里叶级数：付里叶级数： 2/5cos2/3cos2/cos212cos3211xIxIxIxnIz

10、Inn幂级数幂级数 ： 43221112xIxIIxIzINnnn切比雪夫：切比雪夫： xTIxTIxTIxTIzINnNN432201112勒让德：勒让德： xTPxTPxPIxPIzInnn432201112多项式：多项式： niinzIzI11对称振子的电流分布接近正弦分布：对称振子的电流分布接近正弦分布： NnnzLnkIzI12sin矩量法2) 子域基函数子域基函数 在在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零所及的域内存在但在该域的部分地方为零的基函数的基函数Jn，则，则J为子域基函数为子域基函数 在其它地方以内时在当0)(iizzIfzJ此方法适合于分段处理此方法适合于分段处理 ，

11、即用，即用N个线段来逼近个线段来逼近 。优点：简单、灵活，不受未知函数特性的约束，使用方便。优点：简单、灵活，不受未知函数特性的约束，使用方便。缺点：收敛比效慢，欲得到同全域基一样的精度，需要更缺点：收敛比效慢，欲得到同全域基一样的精度，需要更多的分段数目。多的分段数目。 矩量法常见的子域基函数有：常见的子域基函数有： 分段均匀函数分段均匀函数（脉冲函数）：（脉冲函数）： 以外时在当以内时在当iiizzzzIzJ0三角波函数：三角波函数： 以外时在当以内时在当iiiiiiizzzzzzzIzzIzJ011分段正弦：分段正弦： 以外时在当以内时在当iiiiiiizzzzzkzzkIzzkIzJ0

12、sinsinsin11二次插值法：二次插值法： 以外时在当以内时在当iiiiiiizzzzzzCzzBAzJ02正弦插值法：正弦插值法： 以外时在当以内时在当iiiiiiizzzzzzkCzzkBAzJ0sinsin2矩量法 对于一般的线天线，最重要的分域基近似是对于一般的线天线，最重要的分域基近似是分段常分段常数近似数近似，分段线性近似分段线性近似与与分段正弦近似分段正弦近似，其中后两种近，其中后两种近似有可能使构成的基函数在广义导线的终端及连接连接似有可能使构成的基函数在广义导线的终端及连接连接处自动满足连续性方程。处自动满足连续性方程。 对于三角形函数，为得到精度适宜的电流分布结果，对于

13、三角形函数，为得到精度适宜的电流分布结果，这种展开在一个波长的长度上约需十个未知量。这种展开在一个波长的长度上约需十个未知量。 对于正弦函数近似，在一个波长的长度上需对于正弦函数近似，在一个波长的长度上需四个未四个未知数知数（匹配点）。（匹配点）。 矩量法2检验函数检验函数 检验函数的选取：检验函数的选取： 点匹配法：点匹配法： Wm = (sm) 伽略金法：伽略金法： Wm = Jm 最小二乘法：最小二乘法： Wm = Lop(J)注意：点匹配法有全域基点匹配法、脉冲基点匹配、注意：点匹配法有全域基点匹配法、脉冲基点匹配、分段基点匹配。分段基点匹配。矩量法伽略金法：伽略金法： 当检验函数的选

14、择与基函数相同时，该表示当检验函数的选择与基函数相同时，该表示法称为伽略金法。即：法称为伽略金法。即： mmJW则阻抗矩阵与电压矩阵分别为：则阻抗矩阵与电压矩阵分别为： NopNopNopNNopopopNopopopJLJJLJJLJJLJJLJJLJJLJJLJJLJZ,212221212111 其内积为感应量其内积为感应量 iNiiEJEJEJV,21矩量法伽略金法具有平稳特性。伽略金法具有平稳特性。 在用矩阵求逆的方法对其进行计算机求解时，在计在用矩阵求逆的方法对其进行计算机求解时，在计算中阻抗矩阵算中阻抗矩阵Z中的中的N2个阻抗元素时需要两个积分，个阻抗元素时需要两个积分，一个是一个

15、是LOP积分算子，另一个是内积所要求的积分。因积分算子，另一个是内积所要求的积分。因此计算量相当大。此计算量相当大。 矩量法点匹配法：检验函数选择为狄拉克函数。即：点匹配法：检验函数选择为狄拉克函数。即： )(mmSSW则有则有 NopNopNopNNopopopNopopopJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSZ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111 iNiiESSESSESSV),(),(),(21上式中上式中S是从基本一参考点算起的距离，而是从基本一参考点算起的距离，而Sm表示到施加边界条表示到施加边界条件的那点

16、的距离。这里，件的那点的距离。这里，Ei1表示匹配点是在点表示匹配点是在点“1”上进行的，上进行的，而而Ein表示匹配点是在点表示匹配点是在点“n”上进行的。上进行的。 矩量法由于狄拉克函数有：由于狄拉克函数有： mmmxfdxxfxf,因此选择狄位克函数做权函数时，阻抗矩阵元素的计因此选择狄位克函数做权函数时，阻抗矩阵元素的计算可以算可以减少减少一个一个积分运算积分运算。 狄拉克函数的这种应用，在物理问题中被理解为边界狄拉克函数的这种应用，在物理问题中被理解为边界条件只施于表面条件只施于表面S上的离散点上，而不是连续地施于整个上的离散点上，而不是连续地施于整个表面上。故称此方法为点匹配法。同

17、时也可以看出此方法表面上。故称此方法为点匹配法。同时也可以看出此方法求解的精确度不仅依赖于点的数目，同时还依赖于点的位求解的精确度不仅依赖于点的数目，同时还依赖于点的位置。用等间距的点能给出较好的结果。对于远场计算较好，置。用等间距的点能给出较好的结果。对于远场计算较好，但对于近场数据的计算时对匹配点的数目和位置则较为敏但对于近场数据的计算时对匹配点的数目和位置则较为敏感。感。矩量法2.3 算子的近似算子的近似 广义矩阵中的元素很难用解析解求出，可用数值广义矩阵中的元素很难用解析解求出，可用数值近似的方法近似。近似的方法近似。 若积分算子中有微分算子，可用有限差分近似。若积分算子中有微分算子，

18、可用有限差分近似。 积分当中奇异点的处理，如略去。积分当中奇异点的处理，如略去。 对算子的近似与对未知量的近似应相适应。对算子的近似与对未知量的近似应相适应。如当选取简单的脉冲函数为基函数的情况下，采如当选取简单的脉冲函数为基函数的情况下，采用精确的算子近似并不一定能提高计算精度。因用精确的算子近似并不一定能提高计算精度。因此，对所研究的问题，应预先考虑好采用什么样此，对所研究的问题，应预先考虑好采用什么样的基函数、检验函数与算子近拟方法相配合。的基函数、检验函数与算子近拟方法相配合。 矩量法2.4 线性方程组的解与解的稳定性线性方程组的解与解的稳定性 线性方程组的解：线性方程组的解： 矩阵方

19、程的求解方法：矩阵方程的求解方法：直接求逆法；直接求逆法；分解法；分解法；迭代法；迭代法；迭代法求解矩阵方程要进行迭代法求解矩阵方程要进行N2数量级的运算，数量级的运算，N为矩阵的阶数，即未知量的个数。当改变源矢量时，为矩阵的阶数，即未知量的个数。当改变源矢量时，迭代程序必须重复一次。大型矩阵常用。迭代程序必须重复一次。大型矩阵常用。直接求逆法是求取其逆矩阵，即导纳矩阵。直接求逆法是求取其逆矩阵，即导纳矩阵。分解法和直接求逆法都与源无关，因此求得的导分解法和直接求逆法都与源无关，因此求得的导纳矩阵可以用于辐射问题和散射问题。纳矩阵可以用于辐射问题和散射问题。利用利用Z矩阵的对称性来节省计算机运算时间。矩阵的对称性来节省计算机运算时间。 解的稳定性解的稳定性对于矩阵，当对于矩阵，当V中值变化很小时，可引起中值变化很小时，可引起I中的值剧烈变中的值剧烈变化，则称该矩阵为病态矩阵。化，则称该矩阵为病态矩阵。 矩量法矩量法示例：矩量法示例： 1. 求下列微分方程的解：求下列微分方程的解： 222(14)(0)(1)0d fxdxff-=+-=+=其解为：其解为： 42312165)(xxxxf选择基函数：选择基函数： 11,2,.nnfxxnN+ +=