变换与离散时间傅里叶变换

1、第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 1第2章 z变换与离散时间傅里叶变换2.2 z变换的定义与收敛域变换的定义与收敛域 2.3 z反变换反变换2.4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 2.5 序列的序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变变换与连续信号的拉普拉斯变 换、傅里叶变换的关系换、傅里叶变换的关系2.6 离散时间傅里叶变换（序列的傅里叶变换）离散时间傅里叶变换（序列的傅里叶变换）2.9 傅里叶变换的一些对称性质傅里叶变换的一些对称性质2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应离散系统的系统函数、系统的频率响应第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 2一一z变换的定义变换的定义2.2

2、z变换的定义与收敛域变换的定义与收敛域nnznxzX)()( ( )( )( )nnZ x nX zx n z一个离散序列一个离散序列x(n)的的z变换定义为幂级数的形式，即变换定义为幂级数的形式，即其中：其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面称为标构成的平面称为z平面平面。常用。常用Zx(n)表示对序表示对序列列x(n)进行进行z变换，也即变换，也即 (2-1)双边双边z变换变换 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 3与此相应的单边与此相应的单边z z变换的定义如下：变换的定义如下： 0)()(nnznxzX 这种单边这种单边z z变

3、换的求和限是从零到无穷，因此变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，用两种对于因果序列，用两种z z变换定义计算出的结果是变换定义计算出的结果是一样的。单边一样的。单边z z变换只有在少数几种情况下与双边变换只有在少数几种情况下与双边z z变换有所区别。比如，需要考虑序列的起始条件，变换有所区别。比如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边其他特性则都和双边z z变换相同。书中如不另外说变换相同。书中如不另外说明，均用双边明，均用双边z z变换对信号进行分析和变换。变换对信号进行分析和变换。 (2-2)第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 4二二z变换的收敛域变换的收敛域1收敛域的定义：

4、收敛域的定义：对任意给定序列对任意给定序列x(n)，使其，使其z变换收敛的所有变换收敛的所有z值的集合称为值的集合称为X(z)的收敛域。的收敛域。 2. 收敛条件：收敛条件：( )( )nnX zx n znnznx|)(| 的级数收敛的充的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求 (2-3)第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 5nnznx|)(|要满足此不等式，要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。而且由于个范围就是收敛域。而且由于 因此因此z平面上的收敛域一般可用环状域表示，即平面上的

5、收敛域一般可用环状域表示，即 Rx-|z|Rx+收敛域是分别以收敛域是分别以Rx-和和Rx+为半径的两个圆所围成的环为半径的两个圆所围成的环状域，状域， Rx-和和Rx+称为收敛半径。称为收敛半径。Rx-可以小到零，可以小到零，Rx+可以大到无穷大。可以大到无穷大。( )( )nnnnx n zx nz 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 6图图 环形收敛域环形收敛域|z| RxojImzRez|z| Rx第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 7（1 1）有限长序列）有限长序列: : 3几种序列的收敛域几种序列的收敛域12( ),( )0,x nnnnx nn其他21( )( )nnn nX z

6、x n z其其z变换为变换为X(z)是有限项之和，故只要级数的每一项有界，则是有限项之和，故只要级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求级数就收敛，即要求(2-4)由于由于x(n)为有界序列，故只需为有界序列，故只需12( )nx n znnn ，12nznnn ，第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 8平面”。即所谓“有限，外的开域也就是除所以收敛域，则只要时，同样，当，则只要时，因此，当zzzzzzzznzzzznnnnnnn), 0(, 00,00,/10图图2-1 有限长序列及其收敛域有限长序列及其收敛域 120,00,nnzz ；（ 除外）除外） 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 9另

7、外另外 ，由，由21)()(nnnnznxzX 可见，可见，0与与两点是否收敛与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关，取值情况有关，如果如果n10，则收敛域不包括，则收敛域不包括|z|=0；如果；如果n20，则，则收敛域不包括收敛域不包括|z|=。具体有限长序列的收敛域表。具体有限长序列的收敛域表示如下：示如下： 12120 |,00 |,00 |,0,0znznznn 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 1001)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX(2-5)（2 2）右边右边序列序列: : 11, 0),()(nnnnnxnx其其z变换为变换为1）第一项为有限长序列的）

8、第一项为有限长序列的z变换变换,其收敛域为其收敛域为0|z|; 2）第二项为）第二项为z的负幂次级数，由的负幂次级数，由阿贝尔定理阿贝尔定理可知可知, 其收敛域为其收敛域为 Rx-|z|; 两个收敛域的交集即为两个收敛域的交集即为右边序列的收敛域，即：右边序列的收敛域，即：Rx-|z| 其中：其中：Rx-为为收敛域的收敛域的最小半径。最小半径。 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 11图图2-2 右边序列及其收敛域右边序列及其收敛域（n1|a| 这是一个无穷项的等比级数求和，只有在这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|a|处收敛处收敛如图如图2-7所示所示。 由于由于 ， 故在故在z

9、=a处有一极点处有一极点(用用“”表示表示)，收敛域为极点所在圆，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。的外部。 111zazza第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 14图图2-7 的收敛域的收敛域 ( )( )nx na u n 收敛域上函数必须是解析收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，点存在。所以，注意：注意：右边序右边序列的列的z变换如果有变换如果有N个有限极点个有限极点 存在，那么收敛存在，那么收敛域一定在模值最大的有限极点域一定在模值最大的有限极点所在圆以外，也即所在圆以外，也即但在但在 处是否收敛，则需处是否收敛，则需视序列存在

10、的范围另外加以讨视序列存在的范围另外加以讨论。对于因果序列，论。对于因果序列，处也不处也不能有极点。能有极点。12,Nz zz12max|,|,|xNRzzzz 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 152210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX（3 3）左边左边序列序列: : 22( ),( )0,x nnnx nnn其其z变换为变换为(2-7)1）第二项为有限长序列的）第二项为有限长序列的z变换变换,其收敛域为其收敛域为0|z|; 2）第一项为）第一项为z的的正正幂次级数，由幂次级数，由阿贝尔定理阿贝尔定理可知可知, 其收敛域为其收敛域为 0|z| Rx+; 两个收敛域的

11、交集即为两个收敛域的交集即为左边序列的收敛域，即：左边序列的收敛域，即： 0 |z| Rx+其中：其中：Rx+为收敛域的最大半径。为收敛域的最大半径。注意：注意：若若 n2 0，收敛域包括，收敛域包括|z|=0，即，即|z| 0，故，故 z=0除外）除外）第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 17 例例2-3： x(n)=-anu(-n-1), 求其求其z变换及收敛域。变换及收敛域。 解：解： 这是一个左边序列。其这是一个左边序列。其z变换为变换为 1111( )(1)()nnnnnnnnnnnX za unza za za z 此等比级数在此等比级数在|a-1z|1，即，即|z|Rx-; 2)

12、第二项为左边序列，其收敛域为第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx+。如果如果Rx-Rx+，则存在公共收敛区域，则存在公共收敛区域，X(z)有收敛域有收敛域Rx-|z|Rx+，则无公共，则无公共收敛区域，收敛区域，X(z)无收敛域无收敛域,故不存在故不存在z变换的解析式。变换的解析式。第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 20图图2-5 双边序列及收敛域双边序列及收敛域 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 21定义定义:已知函数已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的及其收敛域，反过来求序列的变换称为变换称为z反变换反变换，表示为，表示为xxnnRzRznxzX|)()(2-9)则则 ),()

13、(21)(1xxncRRcdzzzXjnx(2-12)2.3 z反变换反变换一、一、 z反变换的定义反变换的定义2. z反变换的一般公式反变换的一般公式1( )( )x nZX z若若第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 22图图2-11 围线积分路径围线积分路径 ojImzRez|z| Rxc|z| Rx 积分路径积分路径c为环形解析域（即收敛域）内为环形解析域（即收敛域）内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。环绕原点的一条逆时针闭合单围线。第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 23围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）;部分分式展开法部分分式展开法;幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）.

14、二二z反变换方法反变换方法 直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求求z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求一般求z反变换的常用方法有三种：反变换的常用方法有三种：第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 24111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj 根据留数定理，若函数根据留数定理，若函数X(z)zn-1在围线在围线c以内有以内有K个极点个极点zk，而在，而在c以外有以外有M个极点个极点zm（M、K为有限为有限值），则有值），则有(2-18a)(2-18b)留数法留数

15、法111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 其中：其中： 表示函数表示函数X(z)zn-1在极点在极点z=zk（c以内极点）上的留数。以内极点）上的留数。 表示函数表示函数X(z)zn-1在极点在极点z=zm（c以外极点）上的留数。以外极点）上的留数。1Re ( )knz zs X z z1Re ( )mnz zs X z z第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 25如何求如何求X(z)zn-1在任一极点在任一极点zr处的留数？处的留数？ 1. 设设zr是是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有的单（一阶）极点，则有 (2-19)2. 如果如果zr是是

16、X(z)zn-1的多重极点，如的多重极点，如l阶极点，则有阶极点，则有 (2-20)11Re ( )()( )rrnnz zrz zs X z zzzX z z11111Re ( )()( )(1)!rrlnlnz zrz zlds X z zzzX z zldz第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 26注意：注意：以上两式都可以用于计算以上两式都可以用于计算z反变换，应根据具反变换，应根据具体情况来选择。例如，如果当体情况来选择。例如，如果当n大于某一值时，函大于某一值时，函数数X(z)zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，

17、而通常选的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内的内部极点求留数则较简单。如果当部极点求留数则较简单。如果当n小于某一值时，小于某一值时，函数函数X(z)zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选在围线的内部可能有多重极点，这时选用用c外部的极点求留数就方便得多。外部的极点求留数就方便得多。 111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 27例例2-5：已知：已知 |11)(1azazzX求求z反变换。反变换。 解：解： 1111(

18、 )1nnnzX z zzazza围线围线c以内包含极点以内包含极点a，如图如图1-29所示所示。当。当n0时时,在在z=a处有一个单极点；当处有一个单极点；当n|a| jImzRezcoa第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 29在在z=a处有一个单极点，应用公式处有一个单极点，应用公式(2-19)，则，则 Re()|nnnnz az az azzszazazaza在在z=0处有一个处有一个-n阶极点（阶极点（n0）,应用公式应用公式 (2-20)，则，则 1100101Re(1)!( 1)() |nnnnnzznnnzzdzszzandzzazaa 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 30(

19、 )( )nx na u n注意：注意：在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑列是因果的，就可以不必考虑n0时出现的极点了，时出现的极点了， 因为它们的留数和一定总是零。因为它们的留数和一定总是零。因此因此 0Re,0( )ReRe0,0nnz annnnz azzsanz ax nzzssaanz az a即即 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 31例例2-6 已知已知 |11)(1azazzX求求z反变换。反变换。 解解 由于极点由于极点a处在围线处在围线c以外以外(见图见图2-13），当），当n0时围线时围线c内无极点；而

20、内无极点；而n0时只在时只在z=0处有一个处有一个-n阶极点。因此阶极点。因此 00,0( )Re,0nnznx nzsanza ( )(1)nx na un 1111( )1nnnzX z zzazza第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 32第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 330,0( )Re,0nnz anx nzsanza 上例中，在上例中，在n0时，也可用围线外极点时，也可用围线外极点a的留数来求，的留数来求，即即 即即 ) 1()(nuanxn注意：注意：在应用留数法时，收敛域是很重要的。在应用留数法时，收敛域是很重要的。 同一个同一个函数函数X(z)，若收敛域不同，则对应的序列

21、就完全不同，若收敛域不同，则对应的序列就完全不同.第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 342.4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 1. 1. 线性线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: Zx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ Zy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么对于任意常数那么对于任意常数a、b，z变换都能满足以下等式变换都能满足以下等式： Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ (2-28)注意：注意：1）通常两序列和的）通常两序列和的z变换的收敛域为它们各自变换的收敛域为它们各自收敛

22、域的公共区域，即收敛域的公共区域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+)2）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消， 则收敛则收敛域可能扩大。域可能扩大。 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 352. 序列的移位序列的移位() ()( ),|mxxZ x nmzX zRzR式中：式中：m为正为延迟为正为延迟(右移右移)， m为负为超前为负为超前(左移左移)。 (2-29)若序列若序列x(n)的的z变换为变换为 ( )( ),xxZ x nX zRzR则有则有 nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()(证明：证

23、明： 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 3610232221 ( )( ),111 (3),1111 ( ),111nnnnzZ u nu n zzzzzzzZ u nzzzzzzzzZ x nzzzz例：例：求序列求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的的z变换。变换。解：解：第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 37( ),| |nxxzZ a x nXa Rza Ra3. 乘以指数序列（乘以指数序列（z域尺度变换）域尺度变换） 若若( ) ( ),xxX zZ x nRzR则则4. 序列的线性加权（序列的线性加权（z域求导数）域求导数）xxRzRdzzdXznnxZ|)()(若已知若已知

24、则则( ) ( ),xxX zZ x nRzR第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 385. 共轭序列共轭序列xxRzRzXnxZ|)()(*式中，符号式中，符号“*”表示取共轭复数。表示取共轭复数。 若若( ) ( ),xxX zZ x nRzR则则111 (),|xxZ xnXzzRR6. 翻褶序列翻褶序列 若若( ) ( ),xxX zZ x nRzR则则第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 39对于因果序列对于因果序列x(n)，即，即x(n)=0, n0, 有有 )0()(limxzXz7. 初值定理初值定理 8. 终值定理终值定理 设设x(n)为因果序列，且为因果序列，且X(z)=Zx(

25、n)的全部极的全部极点，除有一个一阶极点可以在点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在处外，其余都在单位圆内，则单位圆内，则 1( )lim ( )lim(1)( )nzxx nzX z 1Re ( )zs X z第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 40九、有限项累加特性九、有限项累加特性设设x(n)为因果序列，即为因果序列，即( )0,0 x nn( ) ( ),xX zZ x nzR则则0( )( ),max,11nxmzZx mX zzRz第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 4110. 序列的卷积和（时域卷积和定理）序列的卷积和（时域卷积和定理）()mmnhmxnhnxny)()

26、()()()(则则 ( ) ( )( )( ),max, | min,xhxhY zZ y nX z H zRRzRR设设( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR注意：注意：1）若时域为卷积和，则若时域为卷积和，则z变换域是相变换域是相乘的关系；乘的关系；2） 乘积乘积Y(z)的收敛域为的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部收敛域的公共部分。分。 若有极点被抵消，收敛域可扩大。若有极点被抵消，收敛域可扩大。 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 42 在线性时不变系统中，如果输入为在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系，系统的单位脉冲响应为统的

27、单位脉冲响应为h(n)，则输出，则输出y(n)是是x(n)与与h(n)的卷积的卷积;利用利用时域卷积和定理时域卷积和定理，通过求出，通过求出X(z)和和H(z)，然后求出乘积，然后求出乘积X(z)H(z)的的z反变换，从而反变换，从而可得可得y(n)。具体步骤如下：。具体步骤如下：时域卷积和定理的应用时域卷积和定理的应用 求线性移不变系统输出响应求线性移不变系统输出响应1( ), ( )( ),( )( )( )( )( )( )x n h nX z H zY zX z H zy nZY z第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 43例例 2-12： 设设x(n)=anu(n), h(n)=bnu

28、(n)-abn-1u(n-1)求求y(n)=x(n) * h(n) 。 解：解： 1011( ) ( ),| |1( ) ( ),| |nnnzX zZ x na zzaazzazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzb所以所以 ( )( )( )|zzazY zX z H zzbza zbzb其其z反变换为反变换为1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 44 显然，在显然，在z=a处，处，X(z)的极点被的极点被H(z)的零点所抵消，的零点所抵消，如果如果|b|a|，则，则Y(z)的收敛域比的收敛域比X(z)与

29、与H(z)收敛域的重叠部收敛域的重叠部分要大。分要大。 obajImzRez图图 2-15 Y(z)的零极点及收敛域的零极点及收敛域 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 4511. 序列相乘（序列相乘（z域复卷积定理）域复卷积定理） 若若( )( )( )y nx nh n( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( ),hhH zZ h nRzR则则111( ) ( ) ( ) ( )( )( )21( )( ),2cczY zZ y nZ x n h nXH v v dvjvzX v Hv dvjvxhxhR RzR R式中式中c是哑变量是哑变量v平面上平面上X(v)与与Y(z/v

30、)的公共收敛域内的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线. (2-38)第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 46v平面收敛域为：平面收敛域为：yxyxRzRvRzR|,min|,max说明：说明：若令围线是一个以圆点为圆心的圆，即令若令围线是一个以圆点为圆心的圆，即令,jjvezre则则(2-38)式式变为变为()1()()()2jjjjjcrdeY reHeXeje 由于由于c是圆，故是圆，故 的积分限为的积分限为 到到 ，则上式变为，则上式变为()1()()2jjjrY reHeXed 这可看成是卷积积分，由于积分在这可看成是卷积积分，由于积分

31、在 一个周期一个周期内进行，故称为圆周卷积。内进行，故称为圆周卷积。(, ) 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 4712. 帕塞瓦（帕塞瓦（Parseval）定理）定理 X(z)=Zx(n) Rx-|z|Rx+Y(z)=Zh(n) Rh-|z|Rh+它们的收敛域满足以下条件：它们的收敛域满足以下条件： Rx-Rh-10 （ s的右半平面）的右半平面） ()Tre =0 （s平面虚轴）平面虚轴）r =1（z平面单位圆上）平面单位圆上）0 （ s的左半平面）的左半平面）r 1 (z平面单位圆外部）平面单位圆外部）jsjImzzRez1第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 53 2）与与的关系（的关

32、系（=T）=0 （s平面的实轴）平面的实轴） =0 （z平面正实轴）平面正实轴） =0(常数常数) （s平面平行于实轴的直线）平面平行于实轴的直线） =0T（z平面始于原点幅角为平面始于原点幅角为=0T的射线）的射线）(,)T T (s平面上宽为平面上宽为 的水平条带的水平条带) (, ) （整个（整个z平面）平面） 2T第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 54图图 2-18 s平面与平面与z平面多值映射关系平面多值映射关系 RezjImzj3/ T3/ T/ T/ TS平面 1Z平面o1o第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 55)(1)(skaajksXTsX将此式代入到将此式代入到112(

33、 )()sTasaz ekkX zXsjkXsjkTTT(2-53)3z变换与连续信号的拉普拉斯变换的关系变换与连续信号的拉普拉斯变换的关系( )()( )sTsTaz eX zX eXs即得即得X(z)与与Xa(s)的关系：的关系：(2-52)第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 56二二z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系 傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即即s=j，映射到，映射到z平面上是单位圆平面上是单位圆z=ejT，则，则( )|()()j Tj Taz eX zX eXj上式说明：采样序列在单位圆上的上式说明：采样序列在单位圆

34、上的z变换，就等于变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换其理想采样信号的傅里叶变换 （频谱）。（频谱）。()aXj112asakkXjjkXjjkTTT 由于由于=T, 故故具有频率的意义，称为具有频率的意义，称为数字频数字频率率， 它与模拟域频率它与模拟域频率的关系是的关系是 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 57sfT（2-56）注意：注意：数字频率是模拟角频率对采样频率数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一的归一化值，它代表了序列值变化的速率。化值，它代表了序列值变化的速率。 jTjzee由于由于kaTajezTkjXTjXeXzXj21)()()(/则则说明：称单位圆上序列的说明：

35、称单位圆上序列的z变换为序列的傅里叶变变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。换，也称为数字序列的频谱。第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 58 2.6 离散时间傅里叶变换（序列傅里叶变换）离散时间傅里叶变换（序列傅里叶变换）一一. 正变换：单位圆上序列的正变换：单位圆上序列的z变换变换()DTFT ( )( )jj nnX ex nx n e其中：其中：DTFT表示离散时间傅里叶变换。表示离散时间傅里叶变换。说明：说明：1) 是以是以 为周期的正交周期性函数为周期的正交周期性函数; ()jX e22) 时域时域x(n)是非周期的，则频域是非周期的，则频域 一定是以一定是以为变量的连续函

36、数。为变量的连续函数。()jX e3) 是是的周期函数，上式可看成是周期函数的的周期函数，上式可看成是周期函数的傅氏级数展开，而傅氏级数展开，而x(n)是傅氏级数的系数，这个概是傅氏级数的系数，这个概念在以后数字滤波器的设计中是有用的。念在以后数字滤波器的设计中是有用的。()jX e（2-59） 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 59 二反变换二反变换 根据根据z反变换的公式，并将积分围线取在单位反变换的公式，并将积分围线取在单位圆上就可得到圆上就可得到序列的傅里叶反变换公式：序列的傅里叶反变换公式：1| | 1(1)1( )IDTFT()( )211()()()22jnzjjnjjj nx

37、 nX eX z zdzjX eed eX eedj三序列的傅立叶变换的存在条件三序列的傅立叶变换的存在条件 序列的傅里叶变换存在的序列的傅里叶变换存在的充分条件充分条件是是X(z)在单在单位圆上收敛，即序列位圆上收敛，即序列x(n)绝对可和，也即绝对可和，也即( )nx n 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 60例例2-14（P74） 已知已知 ，求它的傅立叶变换。，求它的傅立叶变换。 5( )( )x nR n解：解：由于由于R5(n)是有限长序列，所以一定是绝对可和的，即是有限长序列，所以一定是绝对可和的，即450( )14nnR n 所以有所以有5405/25/25/22/2/2/2

38、1()DTFT ( )1()sin5/2()sin(/2)jjj njnjjjjjjjeX ex neeeeeeeee幅值和相位：幅值和相位： ,)2/sin()2/5sin()(jeXsin(5/2)arg()2argsin(/2)jX e 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 61例例2-15（P74） 已知已知 ，求它的傅立叶变换。，求它的傅立叶变换。 ( )( )nx na u n解：解：00()DTFT ( )( )1(),11jnj nnj nnnjnjnX ex na u n ea eaeaae验证验证：本题中：本题中|a|1就是就是x(n)绝对可和的条件，即绝对可和的条件，即00

39、1,11nnnnaaaa 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 62 是序列的傅立叶变换存在的是序列的傅立叶变换存在的充分但充分但非必要条件非必要条件，即序列，即序列x(n)绝对可和，则它的傅里叶绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连续（变换一定存在且连续（如图如图2-19）。但有些序列虽）。但有些序列虽然不满足以上条件，可是满足平方可和，其傅立叶然不满足以上条件，可是满足平方可和，其傅立叶变换依然存在（见变换依然存在（见P74例例2-16），某些既不满足绝对），某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列（如可和的条件也不满足平方可和条件的序列（如u(n)、 、某些周期序列），若引入频

40、域的冲激函、某些周期序列），若引入频域的冲激函数数 ，也可求出它们的傅立叶变换。，也可求出它们的傅立叶变换。 ( )nx n 说明：说明：j ne第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 63图图2-19 2-19 序列及其傅里叶变换序列及其傅里叶变换 x(n)11 2 3 40nX(e j)2o2N2N第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 64总结：总结：对于连续信号，我们采用拉氏变换和傅氏变对于连续信号，我们采用拉氏变换和傅氏变换进行频域分析，傅氏变换是虚轴上的拉氏变换，换进行频域分析，傅氏变换是虚轴上的拉氏变换，反映了信号的频谱。对于离散信号（序列），相应反映了信号的频谱。对于离散信号（序列），

41、相应的有的有z变换及序列傅氏变换，序列傅氏变换是单位圆变换及序列傅氏变换，序列傅氏变换是单位圆上的上的z变换，反映的是序列的频谱（数字频谱）。理变换，反映的是序列的频谱（数字频谱）。理想采样是一个有用的数学抽象，它沟通了连续信号想采样是一个有用的数学抽象，它沟通了连续信号拉氏变换、傅氏变换与采样后序列的拉氏变换、傅氏变换与采样后序列的z变换以及序列变换以及序列傅氏变换的关系，这些关系反映了频谱周期延拓及傅氏变换的关系，这些关系反映了频谱周期延拓及奈奎斯特采样定律等的基本概念。奈奎斯特采样定律等的基本概念。第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 65表表2-3 序列傅里叶变换的主要性质序列傅里叶变换

42、的主要性质 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 66表表2-3 序列傅里叶变换的主要性质序列傅里叶变换的主要性质 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 672.9 傅里叶变换的一些对称性质傅里叶变换的一些对称性质一、共轭对称序列一、共轭对称序列 若序列若序列xe(n)满足以下共轭对称关系满足以下共轭对称关系( )()eex nxn则称序列则称序列xe(n)为共轭对称序列。当为共轭对称序列。当xe(n)为实序列为实序列时，则时，则xe(n)变成偶对称序列，即满足变成偶对称序列，即满足 ( )(),( )eeex nxnx n 实序列实序列 （2-116） （2-115）2. 共轭对称序列的实部是偶

43、对称序列共轭对称序列的实部是偶对称序列, 虚部是奇虚部是奇对称序列，即对称序列，即 1.定义：定义：Re( )Re()eex nxnIm( )Im()eex nxn 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 68二、共轭反对称序列二、共轭反对称序列 若序列若序列xo(n)满足以下共轭反对称关系满足以下共轭反对称关系( )()oox nxn 则称序列则称序列xo(n)为共轭反对称序列。当为共轭反对称序列。当xo(n)为实序为实序列时，则列时，则xo(n)变成奇对称序列，即满足变成奇对称序列，即满足 实序列实序列 （2-120） （2-119）2. 共轭反对称序列的实部是奇对称序列共轭反对称序列的实部是

44、奇对称序列, 虚部是虚部是偶对称序列，即偶对称序列，即 1.定义：定义：( )()( )ooox nxnx n Re( )Re()oox nxn Im( )Im()oox nxn第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 69三、序列可表为共轭对称与共轭反对称序列之和三、序列可表为共轭对称与共轭反对称序列之和 任一序列任一序列x(n)可表为共轭对称序列与共轭反对可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和（对于实序列，就是偶对称序列与奇称序列之和（对于实序列，就是偶对称序列与奇对称序列之和），即对称序列之和），即( )( )( )eox nx nx n其中：其中： *1( ) ( )()2ex nx nxn

45、*1( ) ( )()2ox nx nxn（ xe(n)为共轭对称序列）为共轭对称序列） （ xo(n)为共轭反对称序列）为共轭反对称序列） 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 70四、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量四、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和与共轭反对称分量之和 一个序列一个序列x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换 可分解成共轭对可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：称分量与共轭反对称分量之和：()jX e()()()jjjeoX eXeXe其中：其中：*1()()()2jjjeXeX eXe*1()()()2jjjoXeX eXe共轭对称分量，满共轭对称分量

46、，满足足*()()jjeeXeXe共轭反对称分量，共轭反对称分量，满足满足*()()jjooXeXe 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 712.10 离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应 在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(n)来表示，即来表示，即 ( )( )( )y nx nh n)()()(zXzHzY)()()(zXzYzH(2-143)一、系统函数一、系统函数取取z变换变换 ( )( )nnZ h nh n z线性移不变系统线性移不变系统的的系统函数，系统函数，单单位冲激响应

47、的位冲激响应的z变变换换 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 721. 因果系统因果系统| zRx二、因果稳定系统二、因果稳定系统单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统是因果系为因果序列的系统是因果系统，统， 因果系统的系统函数因果系统的系统函数H(z)具有包括具有包括z=点点的收敛域，即的收敛域，即 线性移不变系统是因果系统的充要条件是线性移不变系统是因果系统的充要条件是:( )0,0h nn即因果系统的收敛域是半径为即因果系统的收敛域是半径为 的圆的外部，且的圆的外部，且必须包括必须包括|z|=在内。在内。xR第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 73 z变换的收敛域由满足变换的收

48、敛域由满足 的的那些那些z值确定，因此值确定，因此稳定系统的系统函数稳定系统的系统函数H(z)必必须在单位圆上收敛，须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆即收敛域包括单位圆|z|=1的系统是稳定的。的系统是稳定的。nnznh|)(|2. 稳定系统稳定系统线性移不变系统稳定的充要条件是单位线性移不变系统稳定的充要条件是单位冲激响应冲激响应h(n)绝对可和绝对可和:nnh| )(|第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 74 因果稳定系统的系统函数因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆必须在从单位圆到到的整个的整个z域内收敛，即收敛域必须包括域内收敛，即收敛域必须包括 也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。 3. 因果稳定系统因果稳定系统1 |z 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 75N阶常系数线性差分方程的一般形式为阶常系数线性差分方程的一般形式为 00()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z三、系统函