东华大学线性代数课件3

1、，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rrAA , 21定义定义线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rArA. 的的秩秩称称为为向向量量组组数数最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个r; 0）（简简称称的的一一个个向向量量组组是是那那末末称称向向量量组组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组0. 它它的的秩秩为为有有最最大大无无关关组组，规规定定只只含含零零向向量量的的向向量量组组没没. 它它的的行行向向量量组

2、组的的秩秩量量组组的的秩秩，也也等等于于矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向证证. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA阶子式阶子式并设并设，设设定理定理关关；列列线线性性无无知知所所在在的的由由定定理理根根据据rDr022 . 4 .11 个个列列向向量量都都线线性性相相关关中中任任意意阶阶子子式式均均为为零零，知知中中所所有有又又由由 rArA关组，关组，的列向量的一个最大无的列向量的一个最大无列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于所以列向量组的秩所以列向量组的秩).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证的的秩秩也也记记作作向向量量组组m

3、aaa,21. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr;1）最大无关组不唯一）最大无关组不唯一（),(21maaaR结论结论说明说明.2关关组组是是等等价价的的）向向量量组组与与它它的的最最大大无无（线性无关线性无关，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成成行行最最简简形形矩矩阵阵再再变变线线性性表表示示，必必须须将将用用要要把把Aaaaaa ),421aaa（事实上事实上 7

4、63264111112 000100110111初等行变换初等行变换 . 的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组ABAB., : ,: 1010sraaAAbbBBsr 要要证证的的一一个个最最大大无无关关组组为为向向量量组组，的的一一个个最最大大无无关关组组为为设设向向量量组组 证证定理定理. 00组组线线性性表表示示组组能能由由表表示示，组组线线性性组组能能由由组组线线性性表表示示，组组能能由由因因AAABBB.00组组线线性性表表示示组组能能由由故故AB使得使得即存在系数矩阵即存在系数矩阵),(ijsrkK . r

5、sBA和和的的秩秩依依次次为为与与向向量量组组设设向向量量组组证证. 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1,同时成立同时成立与与故故srrs 示，示，表表两个向量组能相互线性两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即因两个向量组等价，即. rs 所以所以).()(),()( BRCRARCRBACnssmnm ，则则设设推论推论2 2用其列向量表示为用其列向量表示为和和设矩阵设矩阵AC 证证).,(),(11snaaAccC ，而而)(ijbB snsnsnbbbbaacc111111),(),( 由由).()(ARCR 因因此此),()(, TTTTTBRCRABC 由由上上

6、段段证证明明知知因因的的列列向向量量组组线线性性表表示示，的的列列向向量量组组能能由由知知矩矩阵阵AC).()(BRCR 即即思考思考？有有什什么么异异同同与与推推论论定定理理 22., 等等价价与与向向量量组组秩秩相相等等，证证明明向向量量组组且且它它们们的的线线性性表表示示能能由由向向量量组组设设向向量量组组BAAB例例3 3.线性表示线性表示能由向量组能由向量组只要证明向量组只要证明向量组BA,:,:1010rrbbBaaABAr和和的最大无关组依次为的最大无关组依次为组组组和组和，并设，并设设两个向量组的秩都为设两个向量组的秩都为 使使阶阶方方阵阵表表示示，即即有有组组线线性性组组能能

7、由由组组线线性性表表示示，故故组组能能由由因因rKrABAB00证一证一rrrKaabb),(),(11 ,0个向量个向量含含组的最大无关组组的最大无关组故故组的秩为组的秩为又因又因rBBrB .),(,),(组线性表示组线性表示组总能由组总能由故故组的部分组组的部分组组是组是而而BAABAA 证二证二. rBA 的秩都为的秩都为和和设向量组设向量组.),(,组线性表示组线性表示能由能由成的向量组成的向量组组合并而组合并而组和组和故故组线性表示组线性表示组能由组能由因因ABABAAB .),(,),(rBAABA组组的的秩秩也也为为因因此此组组等等价价组组与与所所以以 .),(,),(00组组

8、等等价价组组与与而而从从组组的的最最大大无无关关组组组组也也是是因因此此BBABAB .),(;., 000000的最大无关组的最大无关组都是向量组都是向量组与与证法二实质上是证明证法二实质上是证明性表示的系数矩阵可逆性表示的系数矩阵可逆线线用用证法一证明证法一证明等价等价与与们的最大无关组们的最大无关组转换为证明它转换为证明它等价等价与与本例把证明两向量组本例把证明两向量组BABAABBABA.,),(),( 0组组等等价价与与组组推推知知等等价价与与组组等等价价，组组与与由由BABBABAA注意注意最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵

9、的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换 比较教材例比较教材例7 7的证的证法一、二、三，并总法一、二、三，并总结这类题的证法结这类题的证法证法一根据证法一根据向量组等价的定义向量组等价的定义，寻找两向量，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；组相互线性表示的系数矩阵；证法二利用证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量经初等列变换，矩阵的列向量组等价