二元线性规划问题图解法

1、 1.二元一次不等式(组)表示平面区域 作二元一次不等式作二元一次不等式Ax+By+C0(或或Ax+By+C0)表示的平面表示的平面区域的方法步骤区域的方法步骤: (1)在平面直角坐标系中作出直线在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0(注意实线和虚线注意实线和虚线). (2)在直线的一侧任取一点在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地特别地,当当C0时时,常把常把 作为作为此特殊点此特殊点. (3)若点若点P（x0,y0）符合不等式）符合不等式 Ax0+By0+C0,则包含则包含P的半平面的半平面为不等式为不等式 所表示的平面区域，不包含点所表示的平面区域，不包含点P的半平面为的半平

2、面为不等式不等式 所表示的平面区域所表示的平面区域.原点原点 Ax+By+C0Ax+By+C 0 2.二元线性规划的有关概念 （1）二元线性规划问题：求只含）二元线性规划问题：求只含 决策变量的线决策变量的线 性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题. （2）可行解：满足）可行解：满足 的解（的解（x，y）. （3）可行域：所有）可行域：所有 的集合的集合. （4）最优解：使）最优解：使 取得最大值或最小取得最大值或最小 值的可行解值的可行解.线性约束条件线性约束条件可行解可行解目标函数目标函数两个两个 如图：在平面直角坐标系中，目标函数z=ax+b

3、y(b0)可化为 表示一条直线，所求的Z最大最小值可看做直线在y轴上截距的最大最小值。当直线往右上方平移时，Z的值是增大还是减小？azyxbb xy0与与b的正负相关的正负相关azyxbb 结论： 若b0， 当直线往右上方平移时，直线在y轴上的截距增大，Z的值随之增大。 若b0呢？思考：对我们求二元线性规划的最优解有什么帮助？azyxbb max z=2x+3yxy0 x+2y=82x+y=10A例例1用图解法解线性规划问题： max z=2x+3y233zyx (4,2) x+2y 8 2x+y 10 x,y0画（画可行域）画（画可行域）移（移变形函数移（移变形函数纵截距等于零的直纵截距等于

4、零的直线）线） x+2y = 8 2x+y = 10解方程组解方程组求（求求（求z z最值）最值）max z=24+32=145x+10y40 120 x+60y600 x,y023yx 确定最优解确定最优解（观察变形式子（观察变形式子寻找最大还是最寻找最大还是最小截距求小截距求Z的最值）的最值）精确作图 利用二元线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 （1）画：在平面直角坐标系内作出可行域）画：在平面直角坐标系内作出可行域. （2）移：作出目标函数变形后纵截距等于）移：作出目标函数变形后纵截距等于零的直线零的直线. （3）确定最优解：在可行域内平行移动变）确定最优解：在可行域内平行移动变

5、形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。 （4）求最值：将最优解代入目标函数即可）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值求出最大值或最小值.1.变式1：求例1中函数z=2x+3y在平面区域 5x+10y40 120 x+60y600 x,y0内的最大值和最小值.x+2y=82x+y=10A（0,0）(4,2)解：解：当当 往从下往右上方平移时，直线在y轴上的截距随之增大，故所对应的z值也随之增大。因此， z=2x+3y在原点0（0,0）取得最小值，在A点（4,2）取得最大值。所以minz=0,maxz=14233zy v2.变式2：观察例1的平面

6、区域，若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值为14，则a的值为 .32x+2y=82x+y=10A(4,2)3或或2.8解：解：目标函数z=ax+y在A（4,2）处取得最大值为14，4a+2=14a=3.还有没有其他可能？精确作图v3、 变式3：观察例1的平面区域，若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为 。x+2y=82x+y=10A解：由题意知：要使解：由题意知：要使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，必须直线ax+y=0与直线x+2y=8或2x+y=10平行，即两直线斜率相等。所以a=122或(4,2)241 ,201.xyxyx

7、已知x,y满足约束条件求目标函数z=3x-y的 最大值和最小值。0232 +32xxyx y平面内满足不等式组的所有点中，则使目标函数 z=x-y取最小值时x,y的整数值分别是多少？.Zmin=-9 Zmax=5X=0,y=3新学径：新学径：P332P332举一反三举一反三 利用二元线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 （1）画：在平面直角坐标系内作出可行域）画：在平面直角坐标系内作出可行域. （2）移：作出目标函数变形后纵截距等于）移：作出目标函数变形后纵截距等于零的直线零的直线. （3）确定最优解：在可行域内平行移动变）确定最优解：在可行域内平行移动变形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。