经济增长模型_《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶__俊编制

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.2 经济增长模型经济增长模型动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程5.2 经济增长模经济增长模型型增加生产增加生产 发展经济发展经济增

2、加投资增加投资 增加劳动力增加劳动力 提高技术提高技术 建立产值与资金、劳动力之间的关系建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率，使经济调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率生产率)增长增长1. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生产函数生产函数 产值产值 Q(t)(),()(0tLtKFftQF为待定函数为待定函数资金资金 K(t)劳动力劳动力 L(t)技术技术 f(t) = f0)(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假设模型假设静态模型静态模型),(),(0LKFfLKQ

3、每个劳动每个劳动力的产值力的产值LQz 每个劳动每个劳动力的投资力的投资LKy z 随着随着 y 的增加而增长，但增长速度递减的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生产函数生产函数含义？含义？0,2222LQKQ)/(0LKLfQ Douglas生产函数生产函数10),(LKfLKQ10),(LKfLKQQK 单位资金创造的产值单位资金创造的产值QL 单位劳动力创造的产值单位劳动力创造的产值 资金在产值中的份额资金在产值中的份额1- 劳动力在产值中的份额劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数生产函数0, 1,0,

4、),(00fLKfLKQ1. Douglas生产函数生产函数1,QLQQKQLKQLQKQLK0,0LSKS1,QLQQKQLKrwLK1w , r , K/L 求资金与劳动力的分配比例求资金与劳动力的分配比例K/L(每个每个劳动力占有的资金劳动力占有的资金) ，使效益，使效益S最大最大资金和劳动力创造的效益资金和劳动力创造的效益wLrKQS资金来自贷款，利率资金来自贷款，利率 r劳动力付工资劳动力付工资 w 2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）1KLQQLKwrQQLKLyKLKy,3) 经济经济(生产率生产率)增长的条件增长的条件 (动态模型动态模型)要

5、使要使 Q(t) 或或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长增长, K(t), L(t)应满足的条件应满足的条件模型模型假设假设 投资增长率与产值成正比投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产用一定比例扩大再生产) 劳动力相对增长率为常数劳动力相对增长率为常数)(0yLgfQ yyg)(LyfdtdK00,QdtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000)1(1)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立当AKKt),/1)(1ln()1 (1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A 0产值产值Q(t)增长增长dQ/dt 03) 经济增长的条件经济增长的条件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立时当BKK,1/000劳动力增长率小于初始投