高中数学第2章§3解三角形的实际应用举例课件北师大版必修

1、3解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例学习目标学习目标1运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题与测量和几何计算有关的实际问题2通过对实际问题的探索，会利用数学建模通过对实际问题的探索，会利用数学建模思想把实际问题转化为数学问题，增强解决实思想把实际问题转化为数学问题，增强解决实际问题的能力，培养数学应用意识际问题的能力，培养数学应用意识课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练3解解三三角角形形的的实实际际应应用用举举例例课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基2Rb2c22bccosAa2c

2、22accosBa2b22abcosC3解决实际问题的一般步骤解决实际问题的一般步骤分析、建模、求解、检验分析、建模、求解、检验即：即：知新益能知新益能上方上方下方下方1.仰角和俯角仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线目标视线的夹角目标视线在水平视线在水平视线_时叫仰角，时叫仰角，目标视线在水平视线目标视线在水平视线_时叫俯角，如图所示时叫俯角，如图所示2方位角方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如如B点的方位角为点的方位角为(如图如图1所示所示)3方位角的其他表示方位角

3、的其他表示方向角方向角(1)正南方向：指从原点正南方向：指从原点O出发的经过目标的射出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上依此可类推正北方向、正东方向和正西线上依此可类推正北方向、正东方向和正西方向方向(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线南的夹角平分线(如图如图2所示所示)问题探究问题探究怎样将实际问题抽象成解三角形问题？怎样将实际问题抽象成解三角形问题？提示：提示：将距离问题抽象成三角形中的边长问题将距离问题抽象成三角形中的边长问题,将方向等含有角度的问题抽象成三角形中的角

4、将方向等含有角度的问题抽象成三角形中的角的问题例如，测量某条河宽时，把河宽看成的问题例如，测量某条河宽时，把河宽看成一条线段，通过构造三角形，把这条线段看成一条线段，通过构造三角形，把这条线段看成某三角形的一边，通过解三角形来解决；再比某三角形的一边，通过解三角形来解决；再比如，测量山或建筑物等的高度，把它们的高度如，测量山或建筑物等的高度，把它们的高度看成一条线段长，通过构造直角三角形，把这看成一条线段长，通过构造直角三角形，把这条线段看成直角三角形的直角边或斜边，通过条线段看成直角三角形的直角边或斜边，通过解直角三角形来解决解直角三角形来解决要注意：要注意：(1)如果所解的三角形中，已知三

5、边如果所解的三角形中，已知三边或已知两边及一角或两角及一边时，直接利或已知两边及一角或两角及一边时，直接利用正弦定理或余弦定理求解，如果条件不满用正弦定理或余弦定理求解，如果条件不满足，那么将缺少的元素即边或角放到其他三足，那么将缺少的元素即边或角放到其他三角形中，再通过解三角形得到角形中，再通过解三角形得到(2)解三角形解三角形应用题时，由于具体问题中给出的数据通常应用题时，由于具体问题中给出的数据通常为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器计算，当然还应达到算法可以借助于计算器计算，当然还应达到算法简练、算式工整、计算准确等要求简练、算式

6、工整、计算准确等要求 (3)如果如果将正弦定理、余弦定理看成是几个将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程方程”，那么解三角形应用题的实质就是把未知量按方那么解三角形应用题的实质就是把未知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁使解题过程简洁(4)准确理解题意，分清已知准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语，这是解决问题的前提和基础语，这是解决问题的前提和基础课堂互动讲练课堂互动讲练测量距离问题

7、测量距离问题考点突破考点突破测量不可到达的两点的距离时，若其中一点可测量不可到达的两点的距离时，若其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若两点均不可到达，则需要用两个三弦定理；若两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到 (2009年高考辽宁卷年高考辽宁卷)如如图所示，图所示，A、B、C、D都在同都在同一个与水平面垂直的平面内，一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面塔顶测量船于水面A处测处测得得B点和点和D点的仰角分别为点

8、的仰角分别为75，30，于水，于水面面C处测得处测得B点和点和D点的仰角均为点的仰角均为60， AC0.1 km.试探究图中试探究图中B、D间距离与另外间距离与另外哪两点哪两点【思路点拨】【思路点拨】根据图中的已知条件求出一根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转间距离的计算转化为找到的与化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间距离相等的另外两点之间的距离间的距离【名师点评】【名师点评】 要计算距离就必须把这个距要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余

9、弦离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已知道长度的那个边和需问题时，必须把我们已知道长度的那个边和需要计算的那个边纳入到同一个三角形中，或是要计算的那个边纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点我们分析这类问题的一个基本出发点答：救援船到达答：救援船到达D点需要点需要1小时小时测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由测量

10、底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，常用正弦定理和余弦角三角形的方法解决，常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部或底部到一个可到定理，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题形的问题测量高度问题测量高度问题 甲、乙两楼相距甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲，从乙楼底望甲楼顶的仰角为楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为角为30，则甲、乙两楼的高分别是多少？，则甲、乙两楼的高分别是多少？【思路点拨

11、】【思路点拨】先根据题意，画出图形，然先根据题意，画出图形，然后利用解三角形知识求解后利用解三角形知识求解【名师点评】【名师点评】解决此类问题应注意：解决此类问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角的夹角(2)准确理解题意，分清已知与所求，画出示意准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图图(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用测量角度问

12、题测量角度问题要测量角的大小，可利用测角仪或测距离的要测量角的大小，可利用测角仪或测距离的钢卷尺等工具，但对于不能直接测得的角的钢卷尺等工具，但对于不能直接测得的角的大小问题还要结合正弦定理、余弦定理解三大小问题还要结合正弦定理、余弦定理解三角形在解决角度测量问题的有关题目时，角形在解决角度测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角与仰角等的含义，合理要搞清方位角、俯角与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化构造三角形求解，即把实际问题数学化 (2010年高考福建卷年高考福建卷)某港口某港口O要将一件要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船

13、上,在小艇出发时，轮船位于港口在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西北偏西30且且与该港口相距与该港口相距20海里的海里的A处，并正以处，并正以30海里海里/小小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以小艇沿直线方向以v海里海里/小时的航行速度匀速小时的航行速度匀速行驶，经过行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达到30海里海里/小时，试设计航行方案小时，试设

14、计航行方案(即确定航行方向和航即确定航行方向和航行速度的大小行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由船相遇，并说明理由【思路点拨】【思路点拨】正确画出示意图，将距离用速正确画出示意图，将距离用速度和时间表示出来，将实际问题转化为解三角度和时间表示出来，将实际问题转化为解三角形问题，利用正弦定理求解形问题，利用正弦定理求解【名师点评】【名师点评】首先应明确方位角的含义，首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要

15、的一步，通过这一步可将实际问题转最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理注意体会正、余弦定理“联袂联袂”使用的优点使用的优点.方法感悟方法感悟1解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：准确理解题意，分清已知与所求；准确理解题意，分清已知与所求；依题意画出示意图；依题意画出示意图；分析与问题有关的三角形；分析与问题有关的三角形；运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；逐步求解问题的答案；注意方程思想的运用；注意方程思想的运用；要把立体几何知识与平面几何知识综合运用要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.2在选择关系式时，一是要力求简便；二是在选择关系式时，一是要力求简便；二是尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计算