第二章 信号分析基础(随机信号和相关分析)130313

1、西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院2.6 2.6 随机信号随机信号西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院比如：对每日气温的观测，以天为单位，每天的观测构成一个比如：对每日气温的观测，以天为单位，每天的观测构成一个样本函数样本函数。西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院各态历经（遍历）性：各态历经（遍历）性：在平稳随机过程中，任一单个样本在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特征。函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特征。即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。集合平均：集合

2、平均：不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集合中所有样本函数对同一时刻合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；（纵的观测值取平均；（纵向）向）时间平均：时间平均：单个样本的时间历程进行平均；（横向）单个样本的时间历程进行平均；（横向）西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院工程中很多随机信号具有各态历经性，由工程中很多随机信号具有各态历经性，由于不可能观测足够多的样本函数来描述一于不可能观测足够多的样本函数来描述一个随机过程，故工程中常以个随机过程，故工程中常以一个或几个有一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，限长度的样本记录来推断整个随机过程

3、，以时间平均来估计集合平均。这就使得信以时间平均来估计集合平均。这就使得信号的分析处理简化了号的分析处理简化了西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院二二. 幅值域描述幅值域描述1均值：均值： 01lim( )TxTux t dtT直流分量直流分量 2.6 2.6 随机信号随机信号2方差：方差： 2201lim ( )TxxTx tudtT波动程度波动程度/分量分量3均方值：均方值： 信号的强度或平均功率信号的强度或平均功率 其正平方根即为标准偏差，是随机数据分析的重要参数。其正平方根即为标准偏差，是随机数据分析的重要参数。dttxTTTx)(1lim0

4、22西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院4概率密度函数：概率密度函数： ( ,)x xx区间内的概率是区间内的概率是( )limTTxP xx txxTx(t)的瞬时值落在某一个的瞬时值落在某一个 式中：式中：T观测时间观测时间1nxiiTt表示信号幅值在表示信号幅值在T时间内落在时间内落在（x,x+x）区间的总时间。）区间的总时间。 西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院概率密度函数：概率密度函数： 2.6 2.6 随机信号随机信号 给出随机信号幅值的分布规律，不同的随机信号有不同给出随机信号幅值的分布规律，不同的随机信号有不同的概率密度函数图形的概率密度函数图形,可用来判断信号的性质

5、可用来判断信号的性质.西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院2.52.5信号的相关分析信号的相关分析西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院波形波形变量相关的概念（相关函数变量相关的概念（相关函数 ） 如果所研究的变量如果所研究的变量x, yx, y是与时间有关的函是与时间有关的函数，即数，即x(t)x(t)与与y(t)y(t)：x(t)x(t)y(t)y(t)西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院 这时可以引入一个与时间这时可以引入一个与时间有关的量，称为有关的量，称为

6、函数的相关系数，简称函数的相关系数，简称相关函数相关函数，并有：，并有：xyx t y tdtxt dtyt dt( )( ) ()( )( )/221 2相关函数相关函数反映了二个信号在反映了二个信号在时移中的相关性时移中的相关性。x(t)x(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院1)自相关函数：自相关函数： dttxtxTRTTxx)()(1lim)(0dttxtxRxx)()()(周期信号非周期信号西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院例：例： Rxx()不反映相位信息不反映相

7、位信息，只反映幅值。，只反映幅值。cos2)sin(sin2)(,2)(sin)sin(1)(sin)sin(1lim)()sin()(2202002000AdARddttTdtttATdttAtATRtAtxxxTTTxx，则令示：一个周期内的平均值表其各种平均值可以用的各态历经随机过程，正弦函数是一个零均值西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院图例图例:计算正弦波信号自相关函数，在计算正弦波信号自相关函数，在0，/2， 的自相关函数值情况的自相关函数值情况*将不同时移将不同时移的计算值标在图上，两点连的计算值标在图上，两点连线，就可以得到信号的相关函数曲线。线，就可以得到信号的相关函数曲

8、线。西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院意义意义：自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段，自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段， 只要信号中有周期成分，自相关函数只要信号中有周期成分，自相关函数很大时都不衰减，带很大时都不衰减，带有明显周有明显周 期性；期性； 信号中不包含周期成分的随机信号，当信号中不包含周期成分的随机信号，当稍大时，自相关函稍大时，自相关函数都趋于数都趋于0见书图见书图227正弦波正弦波：周期信号，自相关函数也为周期函数；：周期信号，自相关函数也为周期函数；正弦波加随机噪声正弦波加随机噪声：自相关函数在：自相关函数在很大时都不衰减；很大时都不衰减；宽带随机

9、噪声宽带随机噪声：自相关函数很快衰减为零；：自相关函数很快衰减为零；窄带随机噪声窄带随机噪声：自相关函数有较慢的衰减特性。：自相关函数有较慢的衰减特性。西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院2)互相关函数：互相关函数： dttxtyTRdttytxTRTTyxTTxy)()(1lim)()()(1lim)(00或或x(t)x(t)y(t)y(t)西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院x(t)y(t)时时延延器器 乘乘法法器器 y(t - )X(t)y(t - )积积分分 器器 Rxy()算法：算法：令令x(t)x(t)、y(t)y(t)二个信号之间产生时差二个信号之间产生时差，再相，再相乘

10、和积分，就可以得到乘和积分，就可以得到时刻二个信号的相关性。时刻二个信号的相关性。 自相关函数：自相关函数：x(t)=y(t)x(t)=y(t)西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院00( )sin()( )sin()xyx tAty tBt则则 000( )cos()cos()22yxxyyxABABR 例：例：西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有的相似程度，通过相关分析可以发

11、现信号中许多有规律的东西。规律的东西。相关分析的工程应用相关分析的工程应用 应用：可应用：可用于检测周期信号的存在用于检测周期信号的存在。由性质知，自相关函数有助于检测混淆在随机过由性质知，自相关函数有助于检测混淆在随机过程中确定性周期信号。程中确定性周期信号。 西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院案例：案例：机械加工表面粗糙度自相关分析机械加工表面粗糙度自相关分析 性质性质4:4:提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。图图a:表面粗糙度，图表面粗糙度，图b:自相关函数图，看自相关函数图，看出随机信号在原点处有较大相关性，随出随机信号在原点处有较大相关性，随增增大

12、而衰减，此后呈现周期性，表明造成粗大而衰减，此后呈现周期性，表明造成粗糙度的原因中包含有某种周期因素，如：糙度的原因中包含有某种周期因素，如：轴向测走刀的周期变化；轴向测走刀的周期变化； 切向测主轴回转振动周期变化切向测主轴回转振动周期变化电感式轮廓电感式轮廓仪测量表面仪测量表面西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院案例：案例：自相关测转速自相关测转速性质性质4 4：可提取周期性转速成分。可提取周期性转速成分。理想信号理想信号干扰信号干扰信号实测信号实测信号自相关系数自相关系数从自相关图可以确定周期因素的从自相关图可以确定周期因素的频率，从而得到转速大小。频率，从而得到转速大小。西安工业大学

13、机电学院西安工业大学机电学院案例：案例：互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测X1X2x1,x2处放置传感器处放置传感器1，2，漏损处，漏损处k视为向两侧传播声波的声源。因两视为向两侧传播声波的声源。因两传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号x1,x2 做相关分析，找出相关值最大时的做相关分析，找出相关值最大时的 ，即可确定漏损位置。，即可确定漏损位置。（在互相关图上，（在互相关图上， = m处，处，Rx1x2()的最大值的最大值m就是时差）就是时差）度声音在管道中的传播速处的距离两传感

14、器的中心至漏损vsvttvSm21)(2112西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院案例：案例：地震位置测量地震位置测量设想设想3座地震观测台记录同一个地震，且位于震源的不同方向上。这座地震观测台记录同一个地震，且位于震源的不同方向上。这3座台站的座台站的观测人员能够读到观测人员能够读到P波抵达时间，有时也读到波抵达时间，有时也读到S波的抵达时间（因为波的抵达时间（因为P波传播速波传播速度比度比S波传播速度大约快波传播速度大约快2倍，所以这两种波传播得越远，它们的波前分离间倍，所以这两种波传播得越远，它们的波前分离间隔就越宽）。如果有了隔就越宽）。如果有了P波和波和S波抵达的时间，从这两种波

15、型抵达某台时间间波抵达的时间，从这两种波型抵达某台时间间隔将可以直接求得震源到该记录台的距离。然后，画隔将可以直接求得震源到该记录台的距离。然后，画3个圆，每个圆以一座地个圆，每个圆以一座地震台为圆心，半径是计算得到的距离（震中距）。这震台为圆心，半径是计算得到的距离（震中距）。这3个圆将相交，至少是近个圆将相交，至少是近似的相交于所要求的震中。似的相交于所要求的震中。 西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院2.6 2.6 信号的信号的西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院dSdffSdttxTRxxTTTx)(21)()(1lim)0(222或也是实偶函数是实偶函数，故)()(xxSR功

16、率谱沿频率轴的分布，简称就是信号的功率谱密度所以功率，围的面积为信号的平均曲线下面和频率轴所包)()(xxSS西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院功率谱与传递函数、频率响应函数的关系功率谱与传递函数、频率响应函数的关系输入自谱输入输出互谱，xxyxxySSSSH,)()()(输出自谱yxySSSH,)()()(2互相关函数包含相位信息，因此系统的频率互相关函数包含相位信息，因此系统的频率响应函数既有幅频特性又有相频特性响应函数既有幅频特性又有相频特性西安工业大学机电学院西安工业大学机电学院测量中噪声干扰的评定及相干函数的计算测量中噪声干扰的评定及相干函数的计算若测量中存在噪声干扰，则