第9章数字逻辑电路基础

1、授课学时：授课学时：26实验学时：实验学时：6授课教材授课教材傅平编著傅平编著. .电路与电子技术电路与电子技术. . 北京北京.中国电力出版社中国电力出版社.2012傅平编傅平编. .电路与电子技术实验指导书电路与电子技术实验指导书. . ( (校内印刷）校内印刷） 参考资料参考资料阎石主编阎石主编. .数字电子技术基础数字电子技术基础. .北京北京. 高等教育出版社高等教育出版社第第9章章 数字逻辑电路基础数字逻辑电路基础9.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简9.4 逻辑函数的常用表示形式逻辑函数的常用表示形式9.2 逻辑代数的基本运算和基本门电路逻辑代数的基本运算和基本门电路9.1 数值与

2、码制数值与码制9.3 逻辑代数的基本运算法则及定理逻辑代数的基本运算法则及定理 一一、 数字量和模拟量数字量和模拟量 在自然界中，存在着各种各样的物理量，在自然界中，存在着各种各样的物理量，这些物理量可以分为两大类这些物理量可以分为两大类: :数字量和模拟数字量和模拟量。数字量是指离散变化的物理量，模拟量量。数字量是指离散变化的物理量，模拟量则是指连续变化的物理量。处理数字信号的则是指连续变化的物理量。处理数字信号的电路称为数字电路，而处理模拟信号的电路电路称为数字电路，而处理模拟信号的电路称为模拟电路。同模拟信号相比，数字信号称为模拟电路。同模拟信号相比，数字信号具有传输可靠、易于存储、抗干

3、扰能力强、具有传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好等优点。因此，数字电路获得了愈稳定性好等优点。因此，数字电路获得了愈来愈广泛的应用。来愈广泛的应用。 概概 述述数字电路的特点数字电路的特点 模拟电路与数字电路的区别模拟电路与数字电路的区别模拟电路：模拟电路：处理的信号是时间上处理的信号是时间上连续连续的信号的信号数字电路：数字电路：处理的信号是处理的信号是离散离散的信号的信号高电平高电平低电平低电平1. 工作工作信号信号是是离散离散的：电路中的的：电路中的半导体管半导体管多数工作在多数工作在开开关状态关状态。如二极管工作在导通和截止状态；如二极管工作在导通和截止状态； 三极管工作在饱和

4、和截止状态。三极管工作在饱和和截止状态。2. 研究对象是研究对象是输入输入和和输出输出的的逻辑关系逻辑关系，因此主要的，因此主要的分分析工具是逻辑代数析工具是逻辑代数，表达电路的功能主要是真值表、，表达电路的功能主要是真值表、逻辑函数表达式及波形图等。逻辑函数表达式及波形图等。数字电路的特点数字电路的特点 数字电路的特点数字电路的特点 10进制数的表示进制数的表示 数符数符：用：用09这些数字表示数值；这些数字表示数值； 基数基数：全部基本数符的个数，为十；：全部基本数符的个数，为十； 计数规则计数规则：逢十进一，借一还十；：逢十进一，借一还十； 位权位权：处于不同位置的数符表示的值不同，具：

5、处于不同位置的数符表示的值不同，具有不同的有不同的“权权”值。值。1. 十进制数（十进制数（Decimal)一、几种常用的数制一、几种常用的数制 数制：记数的体制。数制：记数的体制。9.1 数制与码制数制与码制9.1.1 数制数制例例(258.23)10 200+50+8+0.2+0.03 210251018100 210-1310-2因此，任意一个十进制数因此，任意一个十进制数D可以表示为：可以表示为：110nmiiikD n：为为D整数部分的位数整数部分的位数ki：为：为D第第i位的系数（位的系数（ ki =09） m：为为D小数部分的位数小数部分的位数10i：为：为D第第i位的位权位的位

6、权其中：其中：iik10 ：为：为D第第i位的数值位的数值二进制：二进制： 以二为基数的记数体制以二为基数的记数体制表示数的两个数码：表示数的两个数码： 0、1遵循遵循逢二进一，借一还二逢二进一，借一还二的计数规律的计数规律12nmiiikD（101.11）2 =210122121212021 =（5.75）10注注:有时也用有时也用B和和D代替代替2和和10这两个脚注。这两个脚注。2. 二进制数二进制数(Binary)任意一个二进制数任意一个二进制数D均可以表示为：均可以表示为：3.十六进制数十六进制数（Hexadecimal）十六进制：十六进制：以十六为基数的记数体制以十六为基数的记数体制

7、任意一个十六进制数任意一个十六进制数D均可以表示为：均可以表示为：116nmiiikD注注:有时也用有时也用H代替代替16这个脚注。这个脚注。 十进制 N=10，ki=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 二进制 N=2 ，ki=0,1 八进制 N=8 ，ki=0,1,2,3,4,5,6,7 十六进制 N=16 ，ki=0,9,A,B,C,D,E,F1nmiiiNkD 任意进制任意进制(N进制进制)数展开式的普遍形式：数展开式的普遍形式： 其中，其中，N为计数的基数，为计数的基数，ki为第为第i位的系数位的系数【可使用的数符为【可使用的数符为0(N-1)】，】，N i称为第称为第i位位的权。

8、的权。 常用数的不同进制表示常用数的不同进制表示十进制二进制十六进制十进制二进制十六进制000101010A111111011B2102121100C3113131101D41004141110E51015151111F6110616100001071117171000111810008181001012910019191001113(1011.01)2=二、不同数制间的转换二、不同数制间的转换(1)二二 -十转换十转换:加权系数之和加权系数之和 例如例如210123212021212021 =(11.25)10),(1021inmiiikkDn=4，m=2 十进制转二进制规则十进制转二进制规

9、则 整数和小数部分分别转换；整数和小数部分分别转换； 整数整数：除：除2（基数）取余，直至商为（基数）取余，直至商为0，转换结，转换结果由下向上排列；果由下向上排列； 小数小数：乘：乘2（基数）取整，直至积为（基数）取整，直至积为0（或近似（或近似至若干位），转换结果由上向下排列。至若干位），转换结果由上向下排列。(2)十十 - 二转换二转换整数的转换方法整数的转换方法(除除2取余法取余法)例例:将（将（173）10转换为二进制数转换为二进制数(173)10=(10101101)22 余余1 K702173 余余1 K0862 余余0 K1432 余余0 52 余余0 K61K32 余余1 1

10、02 余余1 21K2K42 余余1 K52 转换规则转换规则将待转换的二进制数按四位一组进行分组：将待转换的二进制数按四位一组进行分组：整数部分向左分，小数部分向右分；整数部分向左分，小数部分向右分；不足四位补不足四位补0 0凑齐四位；凑齐四位；将每组四位二进制数用一位等值的十六进制将每组四位二进制数用一位等值的十六进制数表示。数表示。(3) 二二 十六转换十六转换 每四位每四位2进进制数对应制数对应一位一位16进进制数制数()164BE5(0101 1110 . 1011 0100 )2 =例：将二进制数例：将二进制数1011110.1011011011110.101101转换为十六转换为

11、十六进制数。进制数。. 转换规则转换规则 将每位十六进制数转换为四位二进制数。将每位十六进制数转换为四位二进制数。(4) 十六十六二转换二转换 ()16=CA6F8.(1000 1111 1010 1100 0110)2每一位每一位16进制数对进制数对应四位应四位2进进制数制数.(5) 十六进制数与十进制数的转换十六进制数与十进制数的转换 十六进制数转换为十进制数时，可将各位十六进制数转换为十进制数时，可将各位按权展开后相加求得。按权展开后相加求得。 十进制数转换为十六进制数时，可以先将十进制数转换为十六进制数时，可以先将十进制数转化成二进制数，然后再将得到的二十进制数转化成二进制数，然后再将

12、得到的二进制数转换为等值的十六进制数。进制数转换为等值的十六进制数。116nmiiikD数字系统的信息数字系统的信息数值数值文字文字符号符号二进制代码二进制代码编编码码9.1.2 码制码制 用二进制数来表示文字、符号等特定信用二进制数来表示文字、符号等特定信息的过程就称为二进制编码。息的过程就称为二进制编码。进行编码之后的二进制数称为二进制代码。进行编码之后的二进制数称为二进制代码。码制：在编码时应遵循的规则。码制：在编码时应遵循的规则。1. 二二十进制编码（十进制编码（BCD码）码）BCD-Binary-Coded-Decimal在在BCD码中，用四位二进制数表示码中，用四位二进制数表示09

13、十个数码。四位二进制数最多可以表示十个数码。四位二进制数最多可以表示16个个字符，因此字符，因此09十个字符与这十个字符与这16种组合之间种组合之间可以有多种情况，不同的对应便形成了一种可以有多种情况，不同的对应便形成了一种不同的编码。不同的编码。 表表9-1 几种常用的几种常用的BCD码码 十进制数 8421码 5421码 2421码 余3码 Gray码 012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010010001001101010111100000000010010001101001011110011

14、011110111100110100010101100111100010011010101111000000000100110010011001110101010011001000 用用BCD 码表示十进制数时，只要把十进制数码表示十进制数时，只要把十进制数的的每一位每一位数码，分别用数码，分别用BCD码取代即可。反之，码取代即可。反之，若要知道若要知道BCD码代表的十进制数，只要把码代表的十进制数，只要把BCD码码以小数点为起点向左、向右每四位分一组，再写以小数点为起点向左、向右每四位分一组，再写出每一组代码代表的十进制数，并保持原排序即出每一组代码代表的十进制数，并保持原排序即可。可。 例

15、：例： (902.45)D=( ? )8421BCD解：解： (902.45)D=(1001 0000 0010.0100 0101)8421BCD 2. 字符代码字符代码ASCII码码 对各个字母和符号编制的代码叫字符代码。对各个字母和符号编制的代码叫字符代码。字符代码的种类繁多，目前在计算机和数字通字符代码的种类繁多，目前在计算机和数字通信系统中被广泛采用的是信系统中被广泛采用的是ASCII码码(American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码)，其编码表如表，其编码表如表9 - 2所所示，表中包

16、含了示，表中包含了128个符号。个符号。 表9-2 ASCII码编码表ASCII码 用用7位位二进制数表示一个西文字符；二进制数表示一个西文字符； 实际存储时，每个字符用实际存储时，每个字符用一个字节一个字节存储，最高存储，最高位设置为位设置为0。 最多可以表示最多可以表示128个西文字符，编码为个西文字符，编码为0127，包括字母、数字、标点、控制字符等；包括字母、数字、标点、控制字符等； 将将A输入计算机，实际上是将输入计算机，实际上是将A的的ASCII码码输输入计算机（即入计算机（即65），编码为），编码为0100 0001 9.2.1 概述概述 9.2 逻辑代数的基本运算和基本门电路逻

17、辑代数的基本运算和基本门电路 一、逻辑代数一、逻辑代数 在数字电路中，与之对应是电子开关的两在数字电路中，与之对应是电子开关的两种不同的状态。而二极管、三极管和种不同的状态。而二极管、三极管和MOS管就管就是构成这种电子开关的基本开关元件。是构成这种电子开关的基本开关元件。 电平的高电平的高低一般用低一般用“1”和和“0”两种状两种状态区别，若规态区别，若规定定高电平为高电平为“1”，低电平，低电平为为“0”则称为则称为正逻辑正逻辑。反之。反之则称为则称为负逻辑负逻辑。若无特殊说明，若无特殊说明，均采用正逻辑。均采用正逻辑。100VUCC高电平高电平低电平低电平 具有具有“真真”与与“假假”两

18、种可能，并且可以判两种可能，并且可以判定其定其“真真”、 “假假”的陈述语句叫逻辑变量。逻的陈述语句叫逻辑变量。逻辑变量一般用英文大写字母辑变量一般用英文大写字母A，B， C， 表示。表示。例如，例如，“开关开关A闭合着闭合着”，“电灯电灯F亮着亮着”， “开关开关D断开着断开着”等均为逻辑变量，可分别将其等均为逻辑变量，可分别将其记作记作A，F，D； “开关开关B不太灵活不太灵活”， “电灯电灯L价格很贵价格很贵”等均不是逻辑变量。等均不是逻辑变量。 逻辑变量只有逻辑变量只有“真真”和和“假假”两种可能，在两种可能，在逻辑代数中，把逻辑代数中，把“真真”、 “假假”称为逻辑变量称为逻辑变量的

19、取值，简称逻辑值。通常用的取值，简称逻辑值。通常用“1”表示表示“真真”，用用“0”表示表示“假假”，这种规定称为，这种规定称为正逻辑正逻辑。若用。若用“1”表示表示“假假”，用，用“0”表示表示“真真”，则这种规，则这种规定称为定称为负逻辑负逻辑。本课程讲授中若不作特别说明，。本课程讲授中若不作特别说明，均采取正逻辑。虽然均采取正逻辑。虽然“1”和和“0”叫逻辑值或逻辑叫逻辑值或逻辑常量，但是它们没有常量，但是它们没有“大小大小”的含义，也无数量的含义，也无数量的概念。它们只是代表逻辑的概念。它们只是代表逻辑“真真”、“假假”的两的两个形式符号。个形式符号。 在一个逻辑关系中，结论的成立与否

20、，取决在一个逻辑关系中，结论的成立与否，取决于与其相关的前提条件是否成立。结论与前提于与其相关的前提条件是否成立。结论与前提条件之间的因果关系叫逻辑函数。通常记作：条件之间的因果关系叫逻辑函数。通常记作：F=f(A, B, C, ) 逻辑函数逻辑函数F(或或Y )也是一个逻辑变量，叫做也是一个逻辑变量，叫做因变量或输出变量，相应地把因变量或输出变量，相应地把A， B， C， 叫叫做自变量或输入变量。做自变量或输入变量。 它们都只有它们都只有“0”和和“1”两种取值可能。两种取值可能。 当用两个二进制数码来表示两种不同的状态当用两个二进制数码来表示两种不同的状态时，按照某种指定的因果关系，它们之

21、间也可以时，按照某种指定的因果关系，它们之间也可以进行运算，这种运算称为逻辑运算。进行运算，这种运算称为逻辑运算。 在数字代数中，基本的逻辑运算为逻辑与在数字代数中，基本的逻辑运算为逻辑与（AND）、逻辑或（）、逻辑或（OR）和逻辑非（）和逻辑非（NOT）。）。 逻辑运算是按位进行，不牵扯进位和借位。逻辑运算是按位进行，不牵扯进位和借位。 四、几种常用的逻辑运算四、几种常用的逻辑运算 由这三种基本逻辑运算构成的逻辑运算称为由这三种基本逻辑运算构成的逻辑运算称为复合逻辑运算。实现相应逻辑运算关系的单元电复合逻辑运算。实现相应逻辑运算关系的单元电路就称为逻辑门电路，简称门电路。路就称为逻辑门电路，

22、简称门电路。R导通导通截止截止S3V0VSRRD“1”“0”饱和饱和3V0VuO 0V =“0”uO +UCC =“1”+UCCuiRBRCuOTuO+UCCRCECuO+UCCRCEC“1”“0”uCE 0ViC 0=12VCEB220V+-000101110100ABYBYA输入输入A、B、C全为高电平全为高电平“1”时，时，输出输出 Y 为为“1”。输入输入A、B、C有低电平有低电平“0”时，时，输出输出 Y 为为“0”。0V0V0V0V0V3V+U +12VRDADCABYDBC3V3V3V0V00000010101011001000011001001111ABYC0V3V逻辑逻辑即：

23、有即：有“0”出出“0”， 全全“1”出出“1”Y=A B C&ABYC00000010101011001000011001001111ABYC Y = A B000101110100ABY 00=0 01=0 10=0 11=1 推论推论：A0=0 A1=A AA=A当当 B = 1 1 时，时，F = A 1 = A 与门打开与门打开当当 B = 0 0 时，时， F = A 0 = 0 0 与门关闭与门关闭信号输入端信号输入端 与与门也可以起控制门的作用门也可以起控制门的作用 &ABF=信号控制端信号控制端BY220VA+- 000111110110ABY0V0V0V0V

24、0V3V3V3V3V0V00000011101111011001011101011111ABYC3V3V-U -12VRDADCABYDBC输入输入A、B、C全为低电平全为低电平“0”，输出输出 Y 为为“0”。输入输入A、B、C有一个为高电平有一个为高电平“1”，输出输出 Y 为为“1”。3. 逻辑关系逻辑关系：逻辑逻辑即：有即：有“1”出出“1”， 全全“0”出出“0”Y=A+B+CABYC 100000011101111011001011101011111ABYC Y = A+B 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1000111110110ABY 推论推论： A+0=A A+1

25、=1 A+A=A信号输入端信号输入端信号控制端信号控制端当当 B = 0 0 时，时，F = A+ 0=A 或门打开或门打开当当 B = 1 1 时，时，F =A+ 1=1=1 或门关闭或门关闭 或或门还可以起控制门的作用门还可以起控制门的作用 1 ABF=A+B101AY0Y220VA+-R +UCC-UBBARKRBRCYT 1 0饱和饱和逻辑表达式：逻辑表达式：Y=A“0”10“1”“0”“1”AY非门的逻辑符号：非门的逻辑符号：1AY101AY0 0=1 1=0 推论推论：A=A，还原还原ABY1有有“0”出出“0”，全全“1”出出“1”有有“1”出出“1”，全全“0”出出“0”&am

26、p;ABY1 1ABY2Y2 1. “与非与非”逻辑逻辑 “与非与非”逻辑是逻辑是“与与”逻辑和逻辑和“非非”逻辑的组合，逻辑的组合， 先先“与与”再再“非非”。 其逻辑其逻辑表达式为：表达式为：_BAF 一、 “与非与非”逻辑运算及与非门逻辑运算及与非门R1DR2F+12V +3V三极管非门三极管非门D1D2AB+12V二极管与门二极管与门与非门与非门有有“0”出出“1”，全，全“1”出出“0”&ABCY&ABC00010011101111011001011101011110ABYCY= A B C1Y 实现实现“与非与非”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“与非与非门门”。

27、二、二、“或非或非”逻辑运算及或非门逻辑运算及或非门_BAF 1.“或非或非”逻辑逻辑 “或非或非”逻辑是逻辑是“或或”逻辑和逻辑和“非非”逻逻辑的组合。辑的组合。 先先“或或”后后“非非”。 其逻辑表其逻辑表达式为：达式为： R1DR2F+12V +3V三极管非门三极管非门D1D2AB-12V二极管或门二极管或门或非门或非门有有“1”出出“0”，全，全“0”出出“1”1Y00010010101011001000011001001110ABYCABC 1YABC 1Y=A+B+C 实现实现“或非或非”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“或非或非门门”。 三、三、“与或非与或非”逻辑运算及与或非门

28、逻辑运算及与或非门DCBAF 1.“与或非与或非”逻辑逻辑 “与或非与或非”逻辑是逻辑是“与与”逻辑、逻辑、“或或”逻辑和逻辑和“非非”逻辑的组合。逻辑的组合。 先先“与与”后后“或或”再再“非非” 。 其逻辑表达式为：其逻辑表达式为： R1DR2F+12V +3V三极管非门三极管非门D1D2AB+12V二极管与门二极管与门与或非门与或非门D1D2CD+12V二极管与门二极管与门D1D2-12V二极管或门二极管或门Y=A B+ C D&AB1Y&CD 1Y&ABCDY=A B+ C DY&ABCD实现实现“与或非与或非”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“与或非与

29、或非门门”。Y=A B+ C DABCD YABCD Y00000001001000110100010101100111111011101000100110101011110011011110111111100000 四、四、“异或异或”逻辑及异或门逻辑及异或门 若两个输入变量若两个输入变量A、B的取值相异，则输出变的取值相异，则输出变量量F为为1；若；若A、B的取值相同，的取值相同， 则则F为为0。这种逻。这种逻辑关系叫辑关系叫“异或异或”逻辑，其逻辑表达式为：逻辑，其逻辑表达式为： 读作读作“F等于等于A异或异或B”。BABABAF ABY001 100111001=A B实现实现“异或异

30、或”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“异或门异或门”。01110111000010AAAABABABAY 五、五、“同或同或”逻辑及同或门逻辑及同或门 若两个输入变量若两个输入变量A、B的取值相同，则输的取值相同，则输出变量出变量F为为1； 若若A、B取值相异，则取值相异，则F为为0。这种逻辑关系叫这种逻辑关系叫“同或同或”逻辑，也叫逻辑，也叫“符合符合”逻辑。其逻辑表达式为：逻辑。其逻辑表达式为：BABABAF 读作读作“F等于等于A同或同或B”。=A BABY001 100100111实现实现“同或同或”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“同或门同或门”。 0 0=1 0 1=0 1 0=0

31、 1 1=1 ABBAY=A BA A=1A A=0 “异或异或”与与“同或同或”间的逻辑关系间的逻辑关系“异或异或”及及“同或同或”逻辑真值表逻辑真值表 A B0 00 11 01 101101001BAFF=A B可见，可见，“异或异或”和和“同或同或”互为反函数互为反函数 即：即： BA=A BBAA B=1A BF1 1F=1AB F 同或门的另一种符号同或门的另一种符号 六、常用门电路的逻辑符号及逻辑式六、常用门电路的逻辑符号及逻辑式 &FAB与 门 F AB1FAB或 门 F A BFA非 门 F1A&FAB与 非 门 FAB1FAB或 非 门 FBA 1FAB与

32、或 非 门 FCD AB&CD 1FAB异 或 门 FBA FAB同 或 门 F A B&FAB与 门 F AB1FAB或 门 F A BFA非 门 F1A&FAB与 非 门 FAB1FAB或 非 门 FBA 1FAB与 或 非 门 FCD AB&CD 1FAB异 或 门 FBA FAB同 或 门 F A B与门与门 或门或门 与非门与非门 非门非门 BAF BAF BAF AF &FAB与 门 F AB1FAB或 门 F A BFA非 门 F1A&FAB与 非 门 FAB1FAB或 非 门 FBA 1FAB与 或 非 门 FCD AB &

33、;CD 1FAB异 或 门 FBAFAB同 或 门 F A B&FAB与门 FAB1FAB或门 FABFA非门 F1A&FAB与非门 FAB1FAB或非门 FBA 1FAB与或非门 FCD AB&CD1FAB异或门 FBAFAB同或门 FAB异或门异或门 &FAB与 门 F AB1FAB或 门 F A BFA非 门 F1A&FAB与 非 门 FAB1FAB或 非 门 FBA 1FAB与 或 非 门 FCD AB &CD 1FAB异 或 门 FBA FAB同 或 门 F A BBAF 或非门或非门 与或非门与或非门 DCBAF BAF BABA 同

34、或门同或门 F=A BAAAA100011AAAAAAAAAA 01AAAA00=0 01=0 10=0 11=10+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1CBABCAAABCACBACBA )()()(BCACBACBA )()()(CABACBA)()()(CABACBA )()(CABABCBCA)(1BCAA=A1A A=A.ABBAABBAA+1=1 CBABCAA BABABABA110011111100列状态表证明：列状态表证明：AB0001101111100100ABBABABABA00001. A+AB=AA+AB=A(1+B)=A1=A证明：证明： 可见，在一个与或表达

35、式中，若一个乘可见，在一个与或表达式中，若一个乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的，可以消去。个乘积项是多余的，可以消去。 四、逻辑代数的若干常用公式四、逻辑代数的若干常用公式2.BABAA BAABABAA BA)AA(BA 证明：证明： 可见，在一个与或表达式中，若一个乘可见，在一个与或表达式中，若一个乘积项的反是另外一个乘积项的因子，则这个积项的反是另外一个乘积项的因子，则这个因子是多余的，可以消去。因子是多余的，可以消去。证明：证明：3.AB+AB=AAB+AB=A(B+B)=A1=A 可见，在一个与或表达式中，若两个乘可见，在

36、一个与或表达式中，若两个乘积项分别包含了变量积项分别包含了变量X和和X，而其他因子都，而其他因子都相同，则可以将这两个乘积项合并为一项，相同，则可以将这两个乘积项合并为一项，并消去变量并消去变量X。4.CAABBCCAAB 证明：证明：BC)AA(CAABBCCAAB 1吸收吸收CAABBCAABCCAAB 推论：推论：CAABBCDCAAB CAABBCCAAB 推论：推论：CAABBCDCAAB 可见，在一个与或表达式中，若一个乘可见，在一个与或表达式中，若一个乘积项包含了变量积项包含了变量X，另一个乘积项包含了反，另一个乘积项包含了反变量变量 X，而这两个乘积项中其余的因子都，而这两个乘

37、积项中其余的因子都是第三个乘积项中的因子，则这第三个乘积是第三个乘积项中的因子，则这第三个乘积项是多余的，可以消去。项是多余的，可以消去。公式名称公式名称 公式内容公式内容自等律自等律A+ 0 0 = AA 1 1 = A0-1律律A+ 1 1=1 1A 0 0= 0 0同一律同一律A+ A = AA A = A互补律互补律 还原律还原律A = A表表9- -7 逻辑代数的基本公式（逻辑代数的基本公式（1） A+ A = 1A A = 0 公式名称公式名称 公式内容公式内容 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 吸收律吸收律 反演律反演律 (摩根定律摩根定律)A+B = B+AA B =

38、B AA+(B+C) = B+(C+A) = C+(A+B) A (B C) = B (C A)=C (A B)A+(B C) = (A+B) (A+C)A (B + C) = (A B) + (A C)A+(A B) = AA (A + B) = A A B = A + B A + B = A B 表表9- -7 逻辑代数的基本公式（逻辑代数的基本公式（2） 一、代入定理一、代入定理 在任何一个包含变量在任何一个包含变量X的逻辑等式中，若以另外一的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式取代式中所有个逻辑式取代式中所有X的位置，则该等式仍然成立。的位置，则该等式仍然成立。 例例: 用代入规则证明德用代

39、入规则证明德摩根定理也适用于摩根定理也适用于多变量的情况。多变量的情况。解：解：CBACBACBACBACBACBA)()()()(BABABABA 9.3.2 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理CBACBACBACBACBACBA)()()()( 在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先括守与普通代数一样的运算优先顺序，即先括号里的内容，其次算乘法（逻辑与），最后号里的内容，其次算乘法（逻辑与），最后算加法（逻辑或）。算加法（逻辑或）。 注意：注意：二、反演定理二、反演定理 对任意一个逻辑式对任意一个逻辑式Y，若将式中所有，若

40、将式中所有的的 “”换成换成“+”，“+”换成换成“”，0换成换成1，1换成换成0，原变量换成反变量，反变量换成，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是原变量，则得到的结果就是Y的反函数，的反函数，用用Y表示表示 。注意：注意： 仍需遵守仍需遵守“先括号、然后乘、最后加先括号、然后乘、最后加”的运算的运算优先次序；优先次序；1. 不属于单个变量上的反号应保留不变。不属于单个变量上的反号应保留不变。例例: 已知已知 CDCBAY)(求求，。解：解： 根据反演定理可写出根据反演定理可写出)(DCCBAYDACBCADCBDACBCA解：解： 根据反演定理可写出根据反演定理可写出Y，C

41、DCBAY例例 : 若若 求求。YCDCBCACDCBAY)(三、对偶定理三、对偶定理 若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也必然相若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也必然相等，这就称为对偶定理等，这就称为对偶定理(对偶规则对偶规则)。 所谓对偶式是这样定义的：所谓对偶式是这样定义的：对于任何一个逻辑式对于任何一个逻辑式Y，若将其中的，若将其中的 “”换成换成“+”，“+”换成换成“”，0换换成成1，1换成换成0，则得到一个新的逻辑式，则得到一个新的逻辑式 ，这个新的逻，这个新的逻辑式就称为逻辑式辑式就称为逻辑式Y的对偶式，用的对偶式，用Y表示。表示。)(CABABCA例例: 试用对偶定理证明下式：

42、试用对偶定理证明下式：解：解： 根据乘法分配律已知根据乘法分配律已知: ACABCBA)(根据对偶定理可知：根据对偶定理可知：原等式得证。原等式得证。 注：根据对偶定理，表注：根据对偶定理，表9- -7可大为简化。可大为简化。 )(CABABCA 9.4 逻辑函数的常用表示形式逻辑函数的常用表示形式 由前所述，一个结论成立与否，取决于与其相关由前所述，一个结论成立与否，取决于与其相关的前提条件是否成立。结论与前提条件之间的因果的前提条件是否成立。结论与前提条件之间的因果关系称为逻辑函数。通常记作：关系称为逻辑函数。通常记作：F=f(A, B, C, ) 逻辑函数逻辑函数F也是一个逻辑变量，叫做

43、因变量或输也是一个逻辑变量，叫做因变量或输出变量。出变量。 因此它们也只有因此它们也只有“1”和和“0”两种取值，相两种取值，相对地把对地把A， B， C， 叫做自变量或输入变量。这里叫做自变量或输入变量。这里我们所讨论的都是二制逻辑函数。我们所讨论的都是二制逻辑函数。 把输入、输出关系逻辑写成把输入、输出关系逻辑写成与与、或或、非非等运算的组合式，即等运算的组合式，即逻辑函数式逻辑函数式，称为，称为逻辑表达式逻辑表达式。 由若干个乘积项之和构成的逻辑函数由若干个乘积项之和构成的逻辑函数式称为与或表达式式称为与或表达式9.4.1 逻辑函数式逻辑函数式 一、与或表达式一、与或表达式CBACACA

44、BABYABBABABA,二、最小项的概念二、最小项的概念为了表示方便，常对最小项进行编号：为了表示方便，常对最小项进行编号：BC)AA(CABBCCABY 763mmmBCAABCCAB )7 , 6 , 3()7 , 6 , 3(m)7 , 6 , 3i (miiA B C 0 0 10 0 00 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 使最小项为使最小项为1的变量取的变量取值值编号编号最小项最小项对应的十进制数对应的十进制数CBACBACBABCACBACBACABABC 1 0 2 3 4 5 6 7 m1 m0 m2 m3 m4 m5 m6 m7 三、最小项的性质三

45、、最小项的性质（1）在输入变量的任何）在输入变量的任何 一组取值下必有一个最一组取值下必有一个最小项、小项、 且仅有一个最小项的值为且仅有一个最小项的值为1；（2）全体最小项之和恒为）全体最小项之和恒为1；（3）任意两个不同最小项的乘积恒为）任意两个不同最小项的乘积恒为0；（4）具有逻辑相邻性的两个最小项之和可以合）具有逻辑相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一个因子。并成一项并消去一个因子。CBABCACABABCY 逻辑相邻：若两个最小项之中只有一个变量逻辑相邻：若两个最小项之中只有一个变量的形式不同，而其他变量的形式都相同，则称这的形式不同，而其他变量的形式都相同，则称这两个最小项

46、为逻辑相邻。两个最小项为逻辑相邻。CBABCACABABCY 由若干个由若干个最小项之和最小项之和构成的函数表达式称为构成的函数表达式称为最小项最小项表达式，也称为表达式，也称为标准与或标准与或表达式。表达式。例如：某例如：某3变量函数的变量函数的最小项最小项表达式为：表达式为： 由若干个由若干个最小项之和最小项之和构成的函数表达式称为构成的函数表达式称为最小项最小项表达式，也称为表达式，也称为标准与或标准与或表达式。表达式。四、最小项表达式四、最小项表达式 最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的任何一个逻辑函数都可以表示为最小项

47、之和的形式，即标准与或表达式。形式，即标准与或表达式。1AA 解：解：)DD(C)BB(ACD)BB(ADCBAY DCBACDBADABCABCDCDBABCDADCBA 例例:将逻辑函数将逻辑函数展开为最小展开为最小ACCDADCBAY 项之和的形式。项之和的形式。利用基本公式：利用基本公式：AA 1五、与非五、与非与非表达式与非表达式 将函数的与或表达式两次求反，再用摩将函数的与或表达式两次求反，再用摩根定理去掉下面的反号而保留上面的反号，根定理去掉下面的反号而保留上面的反号，即可得到函数的即可得到函数的“与非与非与非与非”表达式。表达式。CAABFCAAB CABA9.4.2 状态真值

48、表状态真值表 在数字电路中，一个输入变量只有在数字电路中，一个输入变量只有0和和1两种取值（即两种取值（即21种取值）可能，则种取值）可能，则n个输入个输入变量就有变量就有2n个不同的取值组合，若将这个不同的取值组合，若将这n个个输入变量的每一个取值组合和与其对应的输输入变量的每一个取值组合和与其对应的输出函数值用表格的形式一一对应地列举出来，出函数值用表格的形式一一对应地列举出来，这样得到的表格就称为状态真值表，简称为这样得到的表格就称为状态真值表，简称为真值表。真值表。 例例:已知逻辑函数已知逻辑函数CBACBAY ，列出，列出对应的真值表。对应的真值表。解：解：ABCY000000110

49、10101101001101111011111 从真值表到逻辑函数式的转换方法：从真值表到逻辑函数式的转换方法： 1）将输出变量的值为）将输出变量的值为1所对应的输入变量的所对应的输入变量的取值组合作为一个乘积项，在这个乘积项中，值取值组合作为一个乘积项，在这个乘积项中，值为为1的输入变量写为原变量的形式，值为的输入变量写为原变量的形式，值为0的输入的输入变量写为反变量的形式；变量写为反变量的形式； 2）将这些乘积项相加，即可得到输出变量的）将这些乘积项相加，即可得到输出变量的标准与或表达式标准与或表达式。 同理，若给定真值表，则也可得到其所表示同理，若给定真值表，则也可得到其所表示的逻辑函数

50、式。的逻辑函数式。 例例: 已知一个逻辑函数的真值表如下所示，已知一个逻辑函数的真值表如下所示，试写出它的逻辑函数表达式试写出它的逻辑函数表达式 。ABCY0001 0010010001111000101111011110CABCBABCACBAYABCCBACBACBAY 当然，也可以将输出变量的值为当然，也可以将输出变量的值为0所对应的所对应的输入变量的取值组合作为一个乘积项相加，即输入变量的取值组合作为一个乘积项相加，即可得到输出变量可得到输出变量反函数反函数的标准与或表达式。的标准与或表达式。ABCY0001 0010010001111000101111011110YCBA1&

51、111CBAABCCBACBACBAY9.4.3 逻辑电路图逻辑电路图将将n个输入变量的全部最小项用个输入变量的全部最小项用2n个小方块阵个小方块阵列图表示，并且使具有逻辑相邻性的最小项在几列图表示，并且使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相临的排列起来，所得到的阵列图就何位置上也相临的排列起来，所得到的阵列图就是是n变量的变量的卡诺图卡诺图。(一一) 表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图两变量卡诺图两变量卡诺图9.4.4 卡诺图卡诺图一、卡诺图的概念一、卡诺图的概念BA0101BABABABABABABABABAABABA01010m1m2m3mBBCA00100m01 11 101m3m

52、2m4m5m7m6mAB000m01 11 101m3m2m4m5m7m6mCD0001111012m12m15m14m8m9m11m10m五变量卡诺图五变量卡诺图AB10CDE0000010110100001m0m1m3m2m8m9m10m24m26m16m17m1811m11m19m25m27110 111101100m6m7m5m4m14m15m12m30m28m22m23m20m13m21m31m29在五变量的卡诺图中，除了几何位置相在五变量的卡诺图中，除了几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性之外，以图中黑邻的最小项具有逻辑相邻性之外，以图中黑粗线为轴左右对称位置上的两个最小项也具粗线为

53、轴左右对称位置上的两个最小项也具有逻辑相邻性。有逻辑相邻性。 ( (二二) )变量卡诺图的特点变量卡诺图的特点 1.1.卡诺图中几何相邻的最小项在逻辑上也相卡诺图中几何相邻的最小项在逻辑上也相邻。邻。 （1 1）几何相邻：相接、相对、相重；）几何相邻：相接、相对、相重； （2 2）逻辑相邻：两个最小项仅有一个变量的）逻辑相邻：两个最小项仅有一个变量的形式不同，其余变量的形式都相同。形式不同，其余变量的形式都相同。 2.2.卡诺图的优点：简单、直观，有一定的化卡诺图的优点：简单、直观，有一定的化简步骤和规律可以遵循。简步骤和规律可以遵循。 3.3.卡诺图的缺点：当变量数超过卡诺图的缺点：当变量数

54、超过6个时，画个时，画图十分麻烦，且逻辑相邻性也难以辨别。图十分麻烦，且逻辑相邻性也难以辨别。二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数1. 将已知函数化为最小项表达式，则在表达式中存在的将已知函数化为最小项表达式，则在表达式中存在的最小项所对应的小方格内填最小项所对应的小方格内填1，其余格内均填，其余格内均填0。3. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那的那些最小项对应的小方格内填些最小项对应的小方格内填1，其余格内均填，其余格内均填0。2. 若若函数式为一个复杂的运算式，则先将其变换为函数式为一个复杂的运算式，则先将其变换为与或与或表

55、达式表达式，再用上述方法填写。，再用上述方法填写。 如何填写卡诺图如何填写卡诺图 任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入入1的那些最小项之和。的那些最小项之和。例例1. 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数BAACDDBADCBAY 解：解： 首先将首先将Y化为最小项之和的形式化为最小项之和的形式CDBBADCCBADCBAY)()( )(DDCCBAmmmmmmm 化出四变量的卡诺图，在对应于函数式中各最化出四变量的卡诺图，在对应于函数式中各最小项的位置上填入小项的位置上填入1，其余位置上填入，其余位置上填入0，就得到如，就得

56、到如下图所示的下图所示的Y的卡诺图。的卡诺图。CDAB0001111000010100100100101111111015111098641mmmmmmmmY1111 0 0 0 0 C 0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1ABC001001 11 10解：解：0100011110001110CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15两两次填次填10000例例3.3.用卡诺图表示如下逻辑函数用卡诺图表示如下逻辑函数ACBCADCBABDCA Y波形图波形图9.4.5 波形图（时序图）波形图（时

57、序图） 将输入变量每一种可能出现的取值与对应将输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来所得到的波的输出值按时间顺序依次排列起来所得到的波形图即称为逻辑函数的时序波形图。形图即称为逻辑函数的时序波形图。例例1：EBDAABY 化简化简A+AB=AEBDABA BA 例例2：化简化简CABCBACBAABCY)()(BBCABBACCAAC AABAAB )(CCA 例例3：CBCBA)(CBCBACBACBACBAY化简化简BABAABABA例例4：化简化简CBCAABY)(AACBCAABCBACABCAAB CAABA+A=1A1=A1CBCAAB 解：解：CBACB

58、AABCY1 ACBC CBACBAABCY1 DBCDCBADABABCY2 CBAAABC )(CBABC )(BABC )(ABC 1 AADBCDCBADABABCY2 DBABCDCBAABCDBCDCBAABDBCDCBAB)(DCBCDABCDBCDAB)(DADBCDCBAABCBCDABCDB 如果有如果有2n个值为个值为1的上、下、左、右相邻最小项的上、下、左、右相邻最小项（n=1，2，3)排成一个矩形组，则它们必可合并为排成一个矩形组，则它们必可合并为一个乘积项，并可以消去一个乘积项，并可以消去n个因子，合并后的乘积项个因子，合并后的乘积项中仅包含这些最小项的公共因子。中

59、仅包含这些最小项的公共因子。一、用卡诺图化简逻辑函数的一般规则一、用卡诺图化简逻辑函数的一般规则 根据相邻单元的特点，只要有两个相邻单元取值根据相邻单元的特点，只要有两个相邻单元取值同为同为1 1，就可以将这两个最小项合并成一项，并消去一，就可以将这两个最小项合并成一项，并消去一个变量。个变量。12吸收掉吸收掉1 1个变量；个变量；22吸收掉吸收掉2 2个变量个变量.9.5.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法ABC00 01 11 100 11 1Y=ABC+ABC =AC利用对称相邻性可以实现化简利用对称相邻性可以实现化简 如果是两个几何相邻单元取值同为如果是两个几何相邻单元取

60、值同为1，则可以，则可以合并为一项，并消去一个变量。合并为一项，并消去一个变量。ABC00 01 11 100 11 1利用利用A+A=1的关系的关系Y=ABC+ABC =BC(A+A) =BCABCD00 01 11 1000 01 11 1011CDBACDBAYCDB 如果是四个几何相邻单元取值同为如果是四个几何相邻单元取值同为1，则可以，则可以合并为一项，并消去两个变量。合并为一项，并消去两个变量。ABC00 01 11 100 1 1 1 1 1ABC00 01 11 100 1 1 1 1 1Y=AY= ABC+ABC+ABC+ABC =AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=CY=ABC+ABC+ABC+ABCABCD00 01 11 1000 01 11 101 1 1 11 1 1 1Y= D 如果是八个相邻单元取值同为如果是八个相邻单元取值同为1