向量代数和空间解析几何ppt课件

1、第九章第九章 向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念第一节空间直角坐标系与向量的概念 第二节第二节 向量的点积和叉积向量的点积和叉积 第三节第三节 平面与直线平面与直线第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 第一节空间直角坐标系与向量的概念第一节空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1.建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系在空间中过定点在空间中过定点 作三条互相垂直且有相同长度单位的数作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴轴 、 和和 ，分别称为，分别称为 轴、轴、 轴和轴和 轴，轴，也称为横轴、纵轴和竖轴，统称为坐标轴。习也

2、称为横轴、纵轴和竖轴，统称为坐标轴。习惯上，把惯上，把 轴、轴、 轴放置在水平面上，它们的轴放置在水平面上，它们的正方向按右手螺旋法则确定如图正方向按右手螺旋法则确定如图8-1），），点为点为 坐标原点。这样就构成了空间直角坐标系。坐标原点。这样就构成了空间直角坐标系。 任意两个坐标轴确定一个平面，称为坐标面，它们是任意两个坐标轴确定一个平面，称为坐标面，它们是 、 和和 坐标面，三个坐标面把空间分成八个部分，坐标面，三个坐标面把空间分成八个部分， OOxyOzOxyzxyOyxOzyOzOx每一部分称为一个卦限，共有八个卦限，其顺序如图8-2所示。2.空间直角坐标系中点的坐标 我们来建立点与

3、有序数组的对应关系。 设 为空间的任意一点，过点 作垂直于 坐标面的直线，其垂足为 ，过 分别作与 轴、 轴垂直且相交的直线，过 作与 轴垂直且相交的直线，依次得 轴上的三个垂足M、N、R。设 分别是M、N、R点在数轴上的坐标。这样空间內任一点 就确定了唯一的一个有序数组 ，用 表示之。 反之，任给一个有序数组 ，它们分别在ppyxOPPxypzzyx、zyx、pzyx、),(zyxzyx和、轴、轴、轴zyx上对应点 M，N 和 R。过M 、N并在 坐标面内分别作 轴和 轴的垂线，交于 点；过 作 坐标面的垂线 ，过R作 的垂直相交线得交点 。这样一个有序数组就确定了空间内唯一的一个点 ，而

4、恰好是点 的坐标。 根据上面的法则，我们建立了空间一点与一个有序数组 之间的一一对应关系。 有序数组 称为点 的坐标如图8-3），而 分别称为 坐标， 坐标和 坐标。根据点的坐标的规定，可知点 在 轴上，点 在 坐标面上，而点 在 坐标面上。 yxOxyPPyxOPPPPPPzyx和、P),(zyx),(zyxPzyx、xyz),0,0(cz)0,(bayxO),0,(cazOx二、向量的基本概念及其线性运算二、向量的基本概念及其线性运算 1.1.向量的基本概念向量的基本概念 (1).(1).向量和数量向量和数量 量可分为两种：数量或标量）量可分为两种：数量或标量）只有大小、没有方向；只有大小

5、、没有方向； 向量或矢量）向量或矢量）不仅有大小还有方向。不仅有大小还有方向。(2).(2).向量的表示向量的表示 用黑体小写字母表示向量，如用黑体小写字母表示向量，如 ， ， 等，有时为了书写方便等，有时为了书写方便也用也用 等表示。几何上用有向线段表示，起点为等表示。几何上用有向线段表示，起点为 、终、终点为点为 的向量记为的向量记为 （见图（见图8-48-4）。）。 abccba，MNMN(3).(3).向量的模向量的模 向量的大小称为向量的模，用向量的大小称为向量的模，用 等表示即有向线等表示即有向线段的长度）。段的长度）。特别地，模为特别地，模为1 1的向量称为单位向量；模为零的向量

6、称为零向量的向量称为单位向量；模为零的向量称为零向量，记为，记为 。规定零向量的方向为任意方向。规定零向量的方向为任意方向。(4).(4).自由向量、平行向量、相等向量、逆向量自由向量、平行向量、相等向量、逆向量 商定：我们所讨论的向量与起点无关，在保持长度和方向不变商定：我们所讨论的向量与起点无关，在保持长度和方向不变的条件下可以自由平移，这种向量称为自由向量。的条件下可以自由平移，这种向量称为自由向量。方向相同或相反的两个向量方向相同或相反的两个向量 和和 称为平行向量，记为：称为平行向量，记为： ； MNcba，|0abab把模相等且方向相同的两个向量 和 称为相等向量，记为： ； 把与

7、向量 的模相等但方向相反的向量称为 的逆向量，记为： 。2.向量的加法及向量与数的乘法(1).向量的加法向量 、 的和是以 、 为邻边的平行四边形 的对角线向量 ，记作 。这种用平行四边形对角线求两向量和的方法称为平行四边形法则。 abbaaaaOA OBOAOBOACBOCOBOAOC由图8-5可知， ，所以又有 ，即以第一个向量的终点为起点，做第二个向量 ，衔接 ，那么 就是 与 的和，并称这种求和方法为三角形法则。该法则可以推广到多个向量的求和。 例如求向量 的和时，可将它们平行移动，使其首尾相接，然后以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点做向量即为 三向量的和，如图8-6

8、。 向量的加法满足如下运算规律： （交换律）； （结合律）；OBAC ACOAOCOBAC OCOCOAOBcba，cba，abba)()(cbacba ； 。 (2).向量的减法 向量的减法可作为加法的逆运算：假设 ，那么 。将 与 平移使它们的起点重合，则由 的终点到 的终点作一向量方向指向被减向量 ）就是 （见图8-7）。 (3).数与向量的乘积 定义：设 为一实数，向量 与数 的乘积是一个向量，记作 ，并且规定：aa00)(aaacbbacabbaabaaa ； 当 时： 与 同向；当 时： 与 反向； 当 时， （零向量）。 数与向量的乘积是一种新的运算，常称为数乘向量，其结果为一新

9、向量；数乘向量满足如下的运算规律（ 为实数）： （结合律）； （对数的加法的分配律）； （对向量的加法的分配律）。有了数乘向量，便容易表示出向量的单位向量： 把与向量 同向且模为1的向量称为 的单位向量，记为 ， aa0aa0aa00a,aa)()(aaa)(baba )(aa0a显然有 或 。 三、向量的坐标表示法 1向径及其坐标表示 （1向径起点在坐标原点 ，终点为 的向量 称为点 的向径（也称为点 的位置向量），记为 或 。 （2基本单位向量 在坐标轴上分别与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量称为基本单位向量，分别用 、 、 表示。 aaa 00aaa OMOMMM)(MrOMxyzij

10、k（向径的坐标表示（向径的坐标表示若点若点 的坐标为的坐标为 ，则向量，则向量 ， ， ，由向量的加法法则有：由向量的加法法则有： （见图（见图8-88-8）。即点）。即点 的向径的向径 的的坐标表达式为：坐标表达式为： 。还可简记。还可简记为为 ，即，即 。 2 2向量向量 的坐标表达式的坐标表达式 设有点设有点 、 ，则以，则以 为起点、以为起点、以 为终为终点的向量：点的向量： ，又因为，又因为 、 均为向径，所以均为向径，所以 M),(zyxi xOAjyOBkzOCkzjyi xOCOBOAMMMOOM)(),(zyxMOMkzjyi xOM,zyx,zyxOM 21MM),(111

11、1zyxM),(2222zyxM1M2M1221OMOMMM1OM2OM ， ，于是有： ，这就是说 ： 。3向量 的模任给一向量 ，都可将其视为以点 为终点的向径，由上图图8-8不难看出 ，即 ，亦即 向量 的模： 。 kzjyixOM1111kzjyixOM2222)()(11122221kzjyixkzjyixMMkzzjyyixx)()()(121212kzzjyyixxMM)()()(12121221kajaiaa321kajaiaa321),(321aaaM2222OCOBOAOM2322212aaaakajaiaa321232221aaaa4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的

12、距离公式 点点 与点与点 间的距离记为间的距离记为 ，那么，那么 ，而，而 ，所，所以得：以得： 。 例例1 1（1 1写出点写出点 的向径；的向径； （2 2写出起点为写出起点为 ，终点为，终点为 的向量的坐的向量的坐 标表达式。标表达式。 解解 （1 1） 。（2 2） 。 ),(1111zyxM),(2222zyxM)(21MMd2121)(MMMMdkzzjyyixxMM)()()(1212122122121221221)()()()(zzyyxxMMd)1,2,1(A)1,2,1(A)0,3,3(BkjiOA2kjikjiAB2) 10()23() 13(例例2 2 已知两点已知两点

13、 、 ，求这两点间的距离，求这两点间的距离 。 解解 由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式，得 。例在例在 轴上求与点轴上求与点 、 等距离的点。等距离的点。 解解 设所求点为设所求点为 ，由条件，由条件 ，有：，有： ，即即 ，两端平方得，两端平方得 ，也即，也即 ，故所求点为，故所求点为 。 )2,0, 1(1M)0,1,1(2Md3414)20()01() 11 (222dy)3,0,2(1M)3,2,3(2M)0,0(yMMMMM21222)30()0()20(y222)30()2()30(y3)2(99422yy34y43y)0 , 43 , 0(5.5.坐标表示下的向量运算坐标

14、表示下的向量运算 设设 ， ，则有：，则有： （1 1） ； （2 2） ； （3 3） ； （4 4） ； （5 5） 。 证明从略。证明从略。 kajaiaa321kbjbibb321kbajbaibaba)()()(332211kajaiaa321kbajbaibaba)()()(332211332211 , , babababaa332211bababab第二节第二节 向量的点积和叉积向量的点积和叉积 一、向量的点积数量积）一、向量的点积数量积） 1 1引例引例 已知力已知力 与与 轴正向夹角为轴正向夹角为 , ,其大小为其大小为 ，在力，在力 的作用的作用下，一质点下，一质点 沿沿

15、轴由轴由 点点( )( )移动到移动到 点点( )( )(如图如图8-98-9），求力），求力 所做的功？所做的功？解解 力力 在水平方向的分力大小为在水平方向的分力大小为 ，所以，力所以，力 使质点使质点 沿沿 轴方向轴方向( (从从 到到 ) )所所做的功为：做的功为： (1)(1)注意到注意到 ， ，所以，所以(1)(1)式可写成式可写成: : (2) (2)FxFFMxAaxbx FcosFFxFxBcosFabWFFABabcosABFWFMAB点积的定义点积的定义定义定义1 设向量设向量 与与 之间夹角为之间夹角为 （ ），则称实数），则称实数 为为 与与 的点积或数量积），并用记

16、号的点积或数量积），并用记号 表示，即表示，即 = 特别，零向量与任何向量的点积显然为特别，零向量与任何向量的点积显然为0即为数零）。即为数零）。留意，我们约定两向量留意，我们约定两向量 与与 间的夹角的范围是间的夹角的范围是 于是由定义于是由定义1即可得：即可得：3点积满足的运算规律点积满足的运算规律由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律：由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律： (1) （交换律）；（交换律）； ab0cosbaabbabacosbaab0babacosabba（2） （分配律）；（3） （结合律）。显然 ， 且可得到以下结论定理1 两个非零向量 与 垂直记为 ）的充分

17、必要条件为 。证明见书）。 由此定理可得到： , , ；另有 , , 。4点积的坐标表示式 那么 cabacba220cos),(cosaaaaaaaaabba0ba0 ji0kj0ik12iii1 jj1kkkzjyixa111kzjyixb222baba)()(222111kzjyixkzjyixbajjyyijxykizxjiyxiixx2121212121 由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为：另外，由 ,可得两向量，夹角的余弦公式：例 试证向量 , 是互相垂直即正交的kkzzjkyzikxzkjzy212121210212121zzyyxxba),(cosbababa22

18、2222212121212121),(coszyxzyxzzyyxxbababa3,2,1a3,3,3bijk证明证明 由于由于 ，所以由定理，所以由定理1知与互知与互相垂直。相垂直。例例2 设向量设向量 与与 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴正向的夹轴正向的夹角分别为角分别为 ， ， ，称其为向量，称其为向量 的三个方向角，并的三个方向角，并称称 、 、 为向量为向量 的方向的余弦，试证：的方向的余弦，试证： , , ，并且，并且 = 1证明证明 由于由于 ， ， ，而单位向量，而单位向量 ， ， 的坐标表达式分别为的坐标表达式分别为 ， ， 于是有：于是有： ， ba0)3(33231kaj

19、aiaa321acoscoscosa2322211cosaaaa2322212cosaaaa2322213cosaaaa222coscoscos),(ia),(ja),(ka0, 0, 1i0,1,0j1,0,0k2322211cosaaaaiaia2322212cosaaaajaja , = 例3 已知三点 , , ,解 , , , 故 ,2322213cosaaaakaka222coscoscos1)(2232221232221aaaaaa1,0,1A1,1,2B0,0,0CjiABkiAC2011222AB2101222AC1100111 ACAB21221),(cosACABACABA

20、CAB32),(ACAB二、向量的叉积二、向量的叉积( (向量积向量积) )1 1引例引例设设 点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点 , ,力力 作用于杠杆上点作用于杠杆上点 处，处，求力求力 对支点对支点 的力矩的力矩 . .解解 根据物理学知识，力根据物理学知识，力 对点对点 的力矩是向量的力矩是向量 , ,其大小为其大小为 ，其中，其中 为为支点支点 到到力力 的作用线的距离的作用线的距离, , 为矢量为矢量 与与 的夹角如图的夹角如图8-108-10）力矩力矩 的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直，的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向并使四指先指向 方向方向 ，

21、然后让四指沿小于，然后让四指沿小于 的方向握的方向握拳转向力拳转向力 的方向，这时拇指的方向就是力矩的方向，这时拇指的方向就是力矩 的方向的方向因此，力矩因此，力矩 是一个与向量是一个与向量 和向量和向量 有关的向量，其大有关的向量，其大小为小为 ，其方向满足：，其方向满足：FMOFPOFOMsinOPFdFMFsinOPFdOFOPMOPFMMOPF（1） 同时垂直于向量 和 ；（2向量 ， ， 依次符合右手螺旋法则2叉积的定义定义2 两个向量 和 的叉积也称为向量积是一个向量，记作 ，并规定如下： （1） ； （2） 的方向规定为： 既垂直于 又垂直于 ，并且按顺序 ， ， 符合右手螺旋法

22、则如图8-11）若把 ， 的起点放在一起，并以 ， 为邻边作一平行四边形，则向量 与 的叉积的模 即为该平行四边形的面积如图8-12） sinbabaMOPFOPFMabba),(sinbababababaababbaabbaab3 3叉积满足的运算规律叉积满足的运算规律由叉积的定义可得叉积满足下列运算规律：由叉积的定义可得叉积满足下列运算规律：（1 1） （反交换律：（反交换律： 与与 模相等，方向相反）模相等，方向相反）（2 2） （与数因子的结合律）（与数因子的结合律）（3 3） （左分配律）（左分配律） （右分配律）（右分配律）定理定理2 2 两个非零向量两个非零向量 、 平行的充要条

23、件平行的充要条件是是 证明见书）证明见书）由此定理可得：由此定理可得： ， ， ； ， ， ， ， ， 4 4叉积的坐标表示式叉积的坐标表示式设设 ， ，abbabaab)()()(bababacabacba)(cbcacba)(ab0ba0 ii0 jj0 kkkjiikjjikkijijkjkikzjyixa111kzjyixb222那么 = = = 留意 利用三阶行列式，上式可写成 由于两个向量 与 平行的充分必要条件是 ，而 就是 的坐标全为零,即 ， ， 于是得： ， ， 。)()(222111kzjyixkzjyixba)()()()(21212121ijxykizxjiyxiix

24、x)()()()(21212121jkyzikxzkjzyjjyy)(21kkzziyzjxzizykxyjzxkyx212121212121kyxyxjzxxziyzzy)()()(122121212121222111zyxzyxkjibaab0ba0baba02121yzzy02121zxxz01221yxyx2121zzyy2121xxzz2121yyxx所以两个非零向量 与 平行的充分必要条件是： 例4 设 ， ，求 解 = = = 例5 求垂直于 与 的单位向量 解 设 ，那么 ， ，由 而 故得所求单位向量为 ab212121zzyyxxjiakjibbaba111011kjikj

25、i111111011101ji1,1,1a2, 1,0b)(bacacbckjikjiba101120112111210111kji2ba61) 2(1222)616261(kjiccc例例6 已知三点已知三点 ， ， ，求，求 的面积的面积 。解解 由于由于 sin( )，其在几何上表示以，其在几何上表示以 ， 为为邻边的平行四边形的面积，且邻边的平行四边形的面积，且 ， ，则有：则有： 故故 例例7 设设 ，假设，假设 与与 平行，且已知平行，且已知 ，求，求 解解 设设 ， ，则有，则有 ，从而得从而得 ， ， ，又，又 )000(，O)101(，A)011(，BOABOABSOBOAO

26、BOAOBOA ,OAOBOA1,0,1OB0, 1, 1OAOBkjikji110101110110011101kjiOABSOBOA21231) 1() 1(21222kjia236ba14bbkzjyi xb ba236zyx6x3y2z又 即 ， ，所以 ， ， 故所求 b14749)2()3()6(22222212x6y4z)4612(kjib(4)(4)曲边梯形的曲边由参数方程给出的情形：曲边梯形的曲边由参数方程给出的情形： 如果曲边梯形的曲边由参数方程如果曲边梯形的曲边由参数方程 给出，其中当给出，其中当 到到 时，参数时，参数 相应地从相应地从 变到变到 ，而，而 延续，且延续

27、，且恒有恒有 （ ），则曲边梯形面积为：），则曲边梯形面积为： 。.这里这里 与与 分别是曲边的两个端点所对应的参数值。分别是曲边的两个端点所对应的参数值。 例例3 3 计算椭圆计算椭圆 的面积的面积 。解解 由于椭圆关于两坐标轴对称图由于椭圆关于两坐标轴对称图7-67-6），），所以所以 ，其中，其中 是椭圆位于第一象限部分是椭圆位于第一象限部分的面积。的面积。 )()(tyytxx)(bab变从axt)()(txty、0)( tx0)( txdttxtydxyAtxxba)(| )(|)(12222byaxS14SS 1S椭圆的参数方程为 ，且当 时， ； 时， 。按公式，得所求面积为：

28、。2极坐标情形 设由平面曲线 （ ）及两条射线 围成一平面图形图7-7），这种图形称为“曲边扇形”。 下面推导在极坐标系下“曲边扇形的面积公式。 取 为积分变量，其变化区间为 。于微小区间 上，以小圆扇形面积图7-7中的阴影部分作为小曲边扇形面积的近似值，得面积微元为： tbytaxsincos0 x2tax 0tdttatbdxySSa0012)sin(sin444ababdttab2214sin4 202)(rr 0)(r,)(,d 。再积分，便得所求的曲边扇形面积为： . 例4 求双纽线 所围成的图形面积图7-8）。 解 由图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，然后再4倍即可。在第一

29、象限 的变化范围为 ，于是由公式 即得所求图形的面积为： 。 例5 求心形线 及圆 所围成的阴影部分面积（图7-9）。 drdA)(212drA)(212)0(2cos22aar4,02420202sin2cos2144aadaAcos1rcos3r解解 先求两线交点，以确定先求两线交点，以确定 的变化范围，的变化范围，解方程组解方程组 ，得，得 。由图形的对称性，得所求面积为：由图形的对称性，得所求面积为： 二体积二体积1 1平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可co

30、s3cos1rr3323022)cos3(21)cos1 (212ddA3230)2cos1 (2922cos1cos21 dd3232sin212902sin41sin223 45 用定积分求其体积。对于一个空间立体，不妨设它与轴线 轴相垂直的平面的截面面积 （ ）是一已知的连续函数，如图7-10，则可求得该立体介于 和 之间的体积。 在微小区间 上视 不变，得体积微元 ，再对 在 上积分，则得体积公式： . 例6 设有底圆半径为 的圆柱，被一与圆柱地底面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积(图7-11) 。 x)(xAbxaax )( babx,dxxx)(xAdxxAdV)(

31、dV,babadxxAV)(R解解 取坐标系如图，则底圆方程为：取坐标系如图，则底圆方程为： 。 取取 为积分变量，其变化区间为为积分变量，其变化区间为 。 在在 的任一点的任一点 处垂直于处垂直于 轴作立体的轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 及及 ，即，即 及及 。 此直角三角形面积为此直角三角形面积为 ，从而根据公式，即得，从而根据公式，即得楔形体积为：楔形体积为： 。2 2旋转体体积旋转体体积 222Ryxx,RR,RRxxytany22xRtan22xRtan)(21)(22xRxARRRdxxRdxxRV02222)(tantan

32、)(21 tan323tan 3032RxxRR旋转体是由某平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而成的立体，这条定直线称为旋转体的轴。 设一旋转体是由连续曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转而成(图7-12)，下面来求它的体积 。 这时截面面积 是圆面积， 。在 的变化区间 上积分，得旋转体体积为： .类似地，由曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转，所得旋转体体积(图7-13)为：)(xfy )( ,babxaxxxV)(xA)()(2xfxAx,badxxfVba)(2)(yx)( ,dcdycyyy 例例7 7 求由椭圆求由椭圆 所围成的图所围成的图形绕形绕

33、轴旋转而成的旋转椭球体体积轴旋转而成的旋转椭球体体积( (图图7-14)7-14)。 解解 旋转椭球体可看作由上半椭圆旋转椭球体可看作由上半椭圆及及 轴围成的图形绕轴围成的图形绕 轴旋转而成的，于是轴旋转而成的，于是由公式可得所求体积为：由公式可得所求体积为： 。 例例8 8 求圆求圆 绕绕 轴旋轴旋转一周所成的旋转体转一周所成的旋转体( (环体环体) )的体积的体积( (图图7-15)7-15)。 dyyVdc)(2)0 ( 12222babyaxx22xaabyxxdxxaabdxyVaaax022222dxxaaba02222)(2 234 ab)0( )(222baaybxy解解 将圆

34、方程改写为将圆方程改写为 ，右半圆弧，右半圆弧 方程为方程为 ，左半圆弧，左半圆弧方程为方程为 ，环体是这两个半圆，环体是这两个半圆在在 轴的区间轴的区间 上所围成的曲边梯形绕上所围成的曲边梯形绕轴旋转所得体积之差，于是得体积微元为：轴旋转所得体积之差，于是得体积微元为： 从而由公式可得环体体积为：从而由公式可得环体体积为： 。22yabxDBC221)(yabyxxDAC222)(yabyxxy,aaydyxxdyyxdyyxdV)()()(22212221aadyxxV)(2221aadyyabyab)()( 22222220224188 abdyyaba222 ba三平面曲线的弧长三平面

35、曲线的弧长 1 1在直角坐标系中的计算在直角坐标系中的计算 设曲线设曲线 具有一阶连续导数具有一阶连续导数 ，现要求该曲线上从，现要求该曲线上从 到到 的一段弧的一段弧 的长度的长度 ( (图图7-16)7-16)。 取取 为积分变量，它的变化区间为为积分变量，它的变化区间为 。在在 上任取微小区间上任取微小区间 ，则曲线在，则曲线在 上的小弧段上的小弧段 的长度可以用曲线的长度可以用曲线在点在点 处的切线相应于处的切线相应于 上上的切线段的切线段 来近似代替，于是得弧长微元为：来近似代替，于是得弧长微元为： )(xfy )(xf ax bx )(ba ABsx,ba,ba,dxxx,dxxx

36、MN)(,(xfxM,dxxxMTdxydydxQTMQMTds222221)()(这里 也即弧微分公式。 最后在 积分，就得所求弧长： 2曲线由参数方程表达时的计算 设曲线的参数方程为 ，当 时，所对应的点就是曲线上的 点，又 在 上有一阶连续导数，我们来计算曲线弧 的长度 。 取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取微小区间 ，则曲线相应于 的小弧段长度 的近似值是弧微分，即这时弧长微元为 ,dxyds21,badxxfdxysbaba22)(11)()(tyytxx)( ttt,BA,)(, )(tytx,ABst,dttt,dtttsdttytxdydxds2222)()()()(

37、从而所求弧长为： .留意 (1) 计算弧长时，由于被积函数都是正的，因此为使弧长为正，定积分定限时要求下限必须小于上限；(2)由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将部分充分化简后再求积分。 例9 两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为 ，求从 到 这一段的弧长(图7-17)。 dttytxs22)()(ds)0( )(2aeeayaxaxaxax 解解 先求导：先求导： ，于是弧长微元为：，于是弧长微元为： 故由公式得悬链线的所求弧长为：故由公式得悬链线的所求弧长为： 。例例10 10 求摆线求摆线 在在 的一拱的弧长的一拱的弧长 。

38、解解由于在由于在 上，上， ，故由公式可得这一拱摆线长为：，故由公式可得这一拱摆线长为： 。 )(21axaxeeydxeedxydsaxax224111dxeeaxax21 dxeedxaaxaxaa0-2y1s )()( 10|eeaeeaaaxax)cos1 ()sin(tayttax20 t)0( atatytatxsin)( )cos1 ()(dttadttytxds)cos1 (2)()( 22dtta2sin2 2,002sintatadttas8022cos42sin220第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面的方程一、平面的方程1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程（1

39、 1）. .法向量法向量如果一个非零向量垂直于一个平面，则称此向量为该平面如果一个非零向量垂直于一个平面，则称此向量为该平面的法线向量。的法线向量。（2 2）. .平面的点法式方程平面的点法式方程已知点已知点 为平面为平面 上一点，向量上一点，向量 为平面为平面 的法向量，求平面的法向量，求平面 的方程。的方程。设点为设点为 平面平面 上任意一点，连结上任意一点，连结 成向量成向量 （见图（见图8-138-13）。）。 ),(0000zyxMCBAn,),(zyxMMM0MM0由于平面 的法向量 垂直于 上任一直线，故有 ，从而得到 ，即有 ，于是得方程为： （1）显然平面 上任一点满足方程1

40、）；反之，假设点 不在平面 上，那么 不垂直 ，从而 ,即点 的坐标不满足方程1），故方程1）是平面 的方程。平面 是方程1的图形，我们称这种由平面 上一定点和其法向量所确定的平面方程为平面的点法式方nnMM000nMM 0,000zzyyxxCBA0)()()(000zzCyyBxxA),(zyxMMM0n00nMMM程。程。例例1 求过点求过点 且垂直于向量且垂直于向量 的平面方程。的平面方程。解解 由公式由公式1得所求平面方程为得所求平面方程为 ，即即 。例例2 求过三点求过三点 , , 的平面方程。的平面方程。 解解 ， ，设，设 ,那么那么 ， ,即即 垂直于所求平面，从而有：垂直于

41、所求平面，从而有： 故所求平面为故所求平面为 ,即即 。)1,1,1(0M3,1,2 n0) 1(3) 1() 1(2zyx0632zyx)1,0,1(A)2,1,1(B)1,1,0(C1,1,0 AB0,1,1 ACACABnABn ACn nkjikjin1110011001110111101,1,10) 1() 1(zyx0zyx2.2.平面的一般方程平面的一般方程由上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。由上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。反之，任一三元一次方程反之，任一三元一次方程 (2) (2)的图形必为平面。的图形必为平面。 这是因为任取满足方程这是因为

42、任取满足方程2 2的一组数的一组数 ，有，有: : （3 3）式式2 2）式）式3 3），得），得 , , 这是过点这是过点 且法向量且法向量 的平面方程，即任的平面方程，即任一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程为平面的一般式方程，其中为平面的一般式方程，其中 。 下面研究几种特殊位置的平面方程：下面研究几种特殊位置的平面方程：（1 1假设假设 ，则平面一般方程变，则平面一般方程变为为 , ,由由 于点于点满足方程，故它表示通过原点的平面。满足方程，故它表示通过原点的平面。2 2假设假设 ，则方程化为，则方程化为 ，即，即平面法向量平面法向量 0DC

43、zByAx)0(222cBA),(000zyx0000DCzByAx0)()()(000zzCyyBxxA),(0000zyxMCBAn,0DCzByAx)0(222cBA0CzByAx0A0DCzBy0D)0,0,0( 在轴上投影为0，故 垂直 轴，所以平面平行于 轴；假设 , ,则平面过 轴。同理，平行于 轴和 轴的平面方程分别为： , ；经过 轴和 轴的平面方程分别为： ， ；（3假设 ， ，则平面方程化为 ，故平面平行于 轴及 轴，因而该平面平行于 坐标面。 ， ， 分别为 ， ， 坐标面。 留意 平面方程中若缺 中的某一项，则平面就平行或 CBn, 0nxx0A0Dxyz0DCzAx

44、0DByAxyz0CzAx0 ByAx0A0B0 DCzxyyOx0 x0y0zzyOxzOyOxzyx,经过（ 时那项所对应的坐标轴；若缺其中两项，则平面就平行或重合（ 时于那两项所决定的平面。例3 求通过 轴和点 的平面方程。解 由所给条件，设所求平面方程为 ,由点 在平面上，所以有 , ,代入方程 ,得 ，又显然 ，故得所求平面方程为:例4 求过点 ,且平行于 ， 的平面方程。解 设平面的法向量为 ，由条件 ， ，所以可取：0D0Dx)2,1,1(0M0CzBy)2,1,1(0M02 CBCB20CzBy02zCyC0C02 zy)0,1,1(0M1,1,2 a1,1,1bnanbn0C

45、zBy ,故所求平面方程为 , 。类似例2可得，过点 , , 的平面方程为 ，我们称之为平面的截距式方程。其中 分别为平面在 轴， 轴， 轴上的截距如图8-14）。例5 求在 轴， 轴， 轴上的截距分别为3，-1，2的平面方程。 解 由条件知所求平面方程为 。kjikjiban321111120) 1(3) 1(2zyx0132zyx)0,0,(aA)0,0(bB),0,0(cC1czbyaxcba,xyzxyz123zyx例例6 6 一平面过点一平面过点 ，且与平面，且与平面 平行，求该平面方程。平行，求该平面方程。解解 由条件知所求平面的法线向量由条件知所求平面的法线向量 平行于平面平行于

46、平面的法线向量的法线向量 ，故可取：，故可取：由法点式得所求平面方程为由法点式得所求平面方程为: : , ,即即 。例例7 7 一平面过点一平面过点 ， ，且与平面，且与平面 垂直，求该平面的方程。垂直，求该平面的方程。解解 平面平面 的法向量的法向量 ，显然所求平面的法向量显然所求平面的法向量 ， ，故可取：，故可取： 由点法式得所求平面方程为由点法式得所求平面方程为 ，)3,2,1(0322zyxn0322zyx1n2,1,21 nn0)3(2)2() 1(2zyx0622zyx)1,1,1(M)2,1,2(N012zyx012zyx1,2,11n1nnMNn kjikjiMNnn2221

47、0112110) 1(2) 1(2) 1(2zyx即 。在这里，我们规定两平面法向量间的夹角为两平面的夹角。例8 求两平面 与 的夹角 。解 知 ， ，故于是得夹角 。二、直线的方程1.直线的点向式方程及参数式方程（1）.直线的方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线，则称这个向量为该直01zyx062zyx042zyx2,1,11n1,1,22n216631122) 1(1212cos2222222121nnnn3线的方向向量。（2）.直线的点向式方程标准式方程）已知向量 （ 不全为零和一定点 ，求经过点 且与平行的直线方程。设 是所求直线上的任意一点，由条件 ，而 ， （如图8-15），

48、由二非零向量平行的充分必要条件得： (4) knjmi lsnml,),(0000zyxM0M),(zyxMMM0s0000,zzyyxxMMnmls,nzzmyylxx000方程组4称为直线的点向式方程也称为直线的标准式方程）。留意 由于 ，所以 不全为零。若其中有一个为零，例如 时，（4式应理解为 而当有两个为零时，例如 ,（4式应理解为 例9 求过两点 ， 的直线方程。解 所求直线的方向向量为：0snml,0lnzzmyyxx00000 ml0000yyxx)1,2,1(A)0,1,0(BkjikjiBAs)01() 12()01 (由直线的点向式方程得所求直线方程为（3）。直线的参数式

49、方程设一直线的点向式方程为： ， 于是有 ， ， ，即有（t为参数） (5)我们称方程组5为直线的参数式方程。2。直线的一般式方程空间直线也可看作两个平面的交线，所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线的方程，即： (6)方程组6称为直线的一般式方程，也称为直线的面交式方程 。留意 只有两个平面不平行时才会有交线。 111211zyxtnzzmyylxx000t lxx0tmyy0tnzz0ntzzmtyyltxx0000022221111DzCyBxADzCyBxA3.3.直线一般式方程与点向式方程的相互转化直线一般式方程与点向式方程的相互转化（1 1）. .一般式方程化为点向式方程一般

50、式方程化为点向式方程由直线的一般式方程化为点向式方程，可先求出满足式由直线的一般式方程化为点向式方程，可先求出满足式6 6的的任意一组解任意一组解 ，则点，则点 即为直线上的点；即为直线上的点；由于直线的方向向量由于直线的方向向量 与两平面的法向量与两平面的法向量 ， 都垂直，都垂直，所以可选所以可选 。由点。由点 及方向向量及方向向量 可把直线可把直线的一般式的一般式方程化为点向式方程。方程化为点向式方程。例例10 10 把直线的一般式方程把直线的一般式方程 化为点向式方化为点向式方程。程。解解 由条件知两平面的法向量分别为：由条件知两平面的法向量分别为： ，设所求直线的方向向量为设所求直线

51、的方向向量为 ，那么，那么 ， 故取故取，即，即 ),(000zyx),(0000zyxMs1n2n21nns0Ms02201zyxzyxkjin1kjin 22s1ns2ns21nnskjikjinns3211211121再求直线上的一定点A，取 ，得 解得 ， ，即 在直线上，故得直线点向式方程为 。（2）.点向式方程化为一般式方程由直线的点向式方程化为一般式方程，只需将点向式方程的两个等号所联接的式子写成两个平面方程，再联立即可。 即 变形后，得： ，此即为直线的一般式方程。 例11 求过点 且与直线 平行的直线方程。解 因所求的直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量1x0402zyz

52、y3y1z)1,3,1(A113321zyxnzzmyymyylxx0000000000mznymznylymxlymx)2,1,3(M5312zyx可取为 =2，3，-5 ，于是得到所求直线的标准方程为： 例12 求过点M (2，1，2 )且与两平面2x + y + z + 1= 0和x + yz2= 0都平行的直线方程。解 因所求直线与两已知平面平行，故所求直线的方向向量 与两已知平面的法向量 ， 垂直，即 , ,故取 ， 即 ， s523123zyxs1n2n1ns2ns21nnskjikjinns3211111221于是得所求直线方程为 。4。两直线的夹角两直线方向向量间的夹角称为两直

53、线的夹角。例13 求直线 和 间的夹角。解 直线L1，L2的方向向量分别为 ， ，故两直线间的夹角 的余弦为： 所以 。例14 求过点A (1，1，0)和直线 的平面方程。解 显然点 在平面上，设所求平面法向量为 ，123122zyx1102:1zyxLzyxL101:21,0,11s1,1,02s212211) 1(0) 1(011) 1() 1(001cos222222321031zyx)1,0,1(Bn那么 ， ，其中 ， ，从而 故所求平面方程为 ，即例15 求过直线 且与平面 垂直的平面方程。解 显然已知直线的方向向量 ，已知平面的法向量 ，设所求平面法向量为 ，那么 ，于是取 ，又

54、所求平面过已知直线上的点 ，故所求平面方程为： 即 。 三、直线与平面的位置关系BAn sn1,1,2BA1,0,3skjikjisBA3510311203) 1(5) 1(zyx0435zyx3121zyx032zyx3,2,1s1,1,21nnsnnn,1kjikjisnn3753211121)1,0,1(A0) 1(3)0(7) 1(5zyx08375zyx直线与它在平面上的投影线间的夹角 ，称为直线与平面的夹角。设直线 L 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，向量 与 间的夹角为 （如图8-16）， 那么 ， ，所以 。 例16 讨论直线L： 和平面 ： 的位置关系。解 由于直线L的方

55、向向量 ，平面 的法向量 ，所以，直线L与平面 的夹角 的正弦： ）（20snsn2）（或2nsnscossin36522xyx125915zyx)3,5,2s5,9,15nnsnssin222222591535253)9(515205915352154530222222所以 ，即直线L与平面 平行或直线L在平面 内。容易验证直线L上的点 在平面 上，所以直线L在平面 上。0），（620第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 定义定义 如果曲面上每一点的坐标都满足方程如果曲面上每一点的坐标都满足方程 ，而不在曲面而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程

56、，则称方程上的点的坐标都不满足这个方程，则称方程 为曲面为曲面 的方程，而称曲面的方程，而称曲面 为此方为此方程的图程的图形。形。例例1 1 求与两定点求与两定点 ， 等距离的点的轨等距离的点的轨迹方程。迹方程。解解 设设 为轨迹上的点，按题意有：为轨迹上的点，按题意有： ， = = ，化简得：化简得： 0),(zyxF0),(zyxF),(1111zyxM),(2222zyxM21MMMM212121)()()(zzyyxx222222)()()(zzyyxx0)(21)()()(222222212121121212zyxzyxzzzyyyxxx),(zyxM因此在轨迹上的点的坐标满足上述方

57、程，而不在轨迹上的点的坐标不满足该方程，所以它就是所求点的轨迹方程。该方程是 的一次方程，它表示一个平面。例2 求球心在 ，半径为R的球面方程。解 设定点 的坐标为 ，则点 在以 为球心，以R为球半径的球面上的充要条件为 即 。 两边平方，得 显然，球面上的点的坐标满足方程，不在球面上的点的坐标不满足方程，所以方程就是以 球心，以R为球半径的球面方程。 时，则得球心在坐标原点的球面方程为： 二、母线平行于坐标轴的柱面1.定义 直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面；定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线zyx,),000zyx（0M),000zyx（),(zyxM0MRMM0Rz

58、zyyxx202020)()()(2202020)()()Rzzyyxx（0M),000zyx（0000zyx2222Rzyx（见图8-17）。2.柱面方程本节我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面，先看一个具体问题。设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线C是 平面上以原点为圆心，R为半径的圆，即准线C的方程为 ，试求。在圆柱面上任取一点 ，过点的母线与 平面的交点 一定在准线C上见图8-18），所以不论点M 的坐标中的 z 取什么值，它的横坐标 x 和纵坐标 y 必定满足方程 ;反之，不在圆柱面上的点，它的坐标不满足这个方程，于是所求柱面方程为 。留意 在平面直角坐标系中，方程 表

59、示一个圆，而在空间直角坐标系中，方程 表示一个母线平行于z轴的圆柱面。 yxO222Ryx),(zyxMyxO0M)0,(yx222Ryx222Ryx222Ryx222Ryx一般来说，如果柱面的准线是 面上的曲线C，它在平面直角坐标系中的方程为 ，那么，以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是 。相仿地，方程 表示母线平行于 x 轴的柱面；方程 表示母线平行于y轴的柱面。于是，我们有结论：在空间直角坐标系 下，二元方程必为柱面方程，且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴。例如：方程 表示母线平行于轴的椭圆柱面，方程 表示母线平行于轴的双曲柱面，方程 表示母线平行于轴的抛物柱面，y

60、xO0,yxf0,yxf0,zyg0,zxhxyzO12222byax12222byax022pyx以上三个方程都是二次的，因此称其为二次柱面见图8-19、8-20、8-21）。三、旋转曲面1.定义 一平面曲线C 绕同一平面上的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面；其中曲线C 称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴或称旋转轴）。.旋转曲面方程我们本节主要讨论母线在某个坐标面上，旋转轴是该坐标面上的一条坐标轴的旋转曲面。设在 平面上有一条已知曲线C，它方程是：求此曲线C 绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程见图8-22）。 在旋转曲面上任取一点 ，设这点是由母线上点 绕轴旋转一定角度