线性矩阵不等式的LMI工具箱求解

1、1、 线性矩阵不等式的LMI工具箱求解（1） 可行性问题（LMIP）1、 可行性问题描述 系统状态方程：在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P，使得：成立，其中Q为正定矩阵。那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB的LMI工具箱进行判断。2、 仿真所需要用到的命令setlmis() ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述；X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容；LMIS

2、YS = getlmis：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS；X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。tmin,xfeas=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat函数求解出P矩阵。3、 仿真结果 可以看到，仿真结果tmin0，因此P阵存在，系统是稳定的。进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。得：（2） 特征值问题(EVP)1、EVP问题描述该问题对应矩阵工具箱中的L

3、MI约束的线性目标函数最小化优化问题。一般采用mincx求解器求解。考虑这样一个优化问题：其中：2、仿真用到的命令DECVARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,.) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；copt,xopt=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt返回全局最优的决策变量,xopt返回决策变量的最优解。相应的矩阵变量的最优解可以用函数dec2mat从xopt得到。evlmi=evallmi(LMIs,xopt)：对给定的决策变量xopt，求取系统的值；lhs,rhs=showlmi(evlmi,1)：显示第一个线性矩阵

4、不等式的左边和右边的矩阵值。这个不等式的成立与否可以通过eig(lhs-rhs)来检验。如果返回的结果是负定的，那么表示xopt满足第一个线性矩阵不等式。3、仿真结果下面给出EVP优化问题的分析结果：可以看到，flag为负定，说明Xopt是要求的矩阵不等式的解。（3） 广义特征值问题（GEVP）1、 问题描述广义特征值问题一般是用来寻找一个最小的，使得其满足下面的矩阵不等式组：假设有如下的三个系统：其中，分别为：要求寻找一个单一的lyapunov函数来验证给定的三个系统的稳定性，同时要求衰减率最大化。这样的一个问题等价于如下的优化问题：2、 仿真用到的命令lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)：用于求解广义特征值的线性矩阵不等式问题；3、 仿真结果由仿