数值分析第五章

1、第四章第四章数值积分数值积分1 1 引引 言言一、数值积分的必要性一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分本章主要讨论如下形式的一元函数积分badxxffI)()( )( )( )( )baI ff x dxF bF a在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式求定积分求定积分 f x F x F x F x f x实际问题实际问题例如函数例如函数:2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx2 sinf xx这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数0 x 48x dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 Whats the O

2、riginal function?!Its so complex that we can not get it.3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxx f x f xx1423454.5688.5原来通过原函数来原来通过原函数来计算积分有它的局计算积分有它的局限性。那限性。那怎么办呢？怎么办呢？呵呵呵呵这就需要积这就需要积分的数值方法来帮分的数值方法来帮忙啦。忙啦。二、数值积分的基本思想二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义、定积分的几何意义badxxffI)()(abxyo f x2、数值积分的理论依据、数值积分的理论依据 f x依据依据积分中值定理积分

3、中值定理, 对于连续函数对于连续函数 ,在在 内存在一点内存在一点 ,使得使得, a b)()()()(fabdxxffIba称称 为区间为区间 的平均高度的平均高度. f, a b ?f3、求积公式的构造、求积公式的构造 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：可得一点求积公式如下：左矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式： Iff aba 2abIffba Iff bbaxyOab f x f a左矩形公式：左矩形公式： Iff abaxyOab f x2abf2ab中矩形公式：中矩

4、形公式： 2abIffbaxyOab f x f b右矩形公式：右矩形公式： Iff bba 若取若取 两点，并令两点，并令 ，则可得梯形，则可得梯形公式（两点求积公式）公式（两点求积公式）, a b 2f af bf 2f af bIfbaxyOab f x f a f b则可得则可得Simpson公式公式(三点求积公式三点求积公式), ,2aba b c 46f af cf bf 若取三点，若取三点， 并令并令 46f af cf bIfba 一般地一般地 ，取区间，取区间 内内 个点个点, a b1n ,0,1,2,.,ixin ,0,1,.,if xin f处的高度处的高度通过加权平均

5、的方法近似地得出平均高度通过加权平均的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为机械求积这类求积方法称为机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf 或写成或写成: :数值积分公式数值积分公式求积系数求积系数 求积节点求积节点 )()(0kbankkxfAdxxf记记0( )()nnkkkIfA f x0( )( )( )( )(),nbnkkakR fI fIff x dxA f x称称为数值为数值求积公式求积公式称为求积公称为求积公式余项式余项(误误差差).2 2 插值型求积公式插值型求积公式一、定义一、定义在积分区间在积分区间 上，上， ,a b取取 个节点个节点1n,0,1,2,.

6、,ix in作作 的的 次代数插值多项式次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）（拉格朗日插值公式）: f xnnjjjnxfxlxL0)()()(则有则有)()()(xRxLxfnn其中，其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn为插值余项。为插值余项。于是有：于是有： bajnjbajbanbanbadxxRxfdxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0取取 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由由 节点节点 决定，决定，与与 无关。无关。 f x称为称为插值插值型求积公型求积公式式二、截断误差与代数精度二

7、、截断误差与代数精度1、截断误差、截断误差0(1)0( )()( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxkakR ff x dxA f xf xLxdxfxxdxn3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式一、一、Cotes系数系数取取节点为节点为等距分布等距分布：,0,1,.,ib axa ih hinn 由此构造的插值型求积公式称为由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式,此此时时求积系数：求积系数：0()()nxjixj iijxxAdxxx令令htax 00()()( 1)()()!()!n innijijtj hbah dttj

8、dtij hn i niCotes系数系数( ) nkC二、二、Newton-Cotes公式公式1、定义：、定义：记记dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(则则njCabAnjj, 2 , 1 , 0,)()(求积公式变为求积公式变为( )0( )()()nbnjjajf x dxbaCf x称上式为称上式为n阶阶闭型闭型Newton-Cotes求积公式。求积公式。2、截断误差、截断误差Newton-Cotes公式的误差为公式的误差为:),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban与与x有关有

9、关3、代数精度、代数精度作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，具有具有 次代数精度，次代数精度，n阶阶Newton-Cotes公式至少公式至少n而实际的代数精度是否可以进一步而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？提高呢？定理定理当阶数当阶数 为偶数时为偶数时,nNewton-Cotes公式公式至少至少具有具有次代数精度。次代数精度。1n 三、几种常用的低阶求积公式三、几种常用的低阶求积公式(1)(1)0111,22CCn = 1:( ) ( )( )2bab af x dxf af b梯形公式梯形公式() ()()2!bxafR fxa x b dx/* 令令 x = a+th, h = b

10、 a, 用中用中值定理值定理 */31( ), , ,121bah fa bh 代数精度代数精度 = 1n = 2:(2)(2)(2)012121,636CCC2( ) ( ) 4 ()( )6ba bab af x dxf aff bSimpson 公式公式代数精度代数精度 = 35(4)1 ( ) ,( , ) ,902baR fh fa bh n = 4: Cotes 公式公式 7(6)8( )945R fh f 01234( )7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x代数精度代数精度 = 5,4kbaxakh h这里这里n

11、11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840( )nkC常用的柯特斯系数表常用的柯特斯系数表例题756931.075693.0)21351334131(81;4469.0)21231411(61;57 .011212169314718.02ln112121ICotesINewtonISimpsonIdxxILeibnizNewtondxxI公式得由公式由公式由）（

12、由梯形公式公式得解：由。计算 解解 ：由梯形公式得：由梯形公式得2210.6110.2470588210.611IT 由辛普森公式得由辛普森公式得2221 0.611140.244954661 0.61 0.81 1IS 例题例题 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分式计算积分120.61d1Ixx 由柯特斯公式得由柯特斯公式得8 . 011127 . 011326 . 0117906 . 01222 CI22113270.244978710.911积分的精确值积分的精确值24497866. 0arctand116 . 0116 . 02 xxxI

13、四、复化求积公式四、复化求积公式 高次插值有高次插值有Runge 现象，怎么办？现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决可采用分段低次插值来解决高阶高阶Newton-Cotes公式会出现公式会出现数值不稳定数值不稳定。而而低阶低阶Newton-Cotes公式公式有时又不能满足精度要求有时又不能满足精度要求，怎么办？，怎么办？可将积分区间可将积分区间 分成若干小分成若干小区间，在每个小区间上用区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。低阶求积公式计算，然后求和。, a b 复化梯形公式：复化梯形公式：,(0,., )ibahxaihinn在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1iix

14、x111( ) ( )(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) ( )()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffbanhba fa b /*中值定理中值定理*/ 复化梯形公式积分法复化梯形公式积分法 复化复化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121

15、nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4fhabfR 复化复化Simpson公式积分法公式积分法 复化复化 Cotes公式：公式：,(0,., )kbahxak hknn)(7)(32)(12)(32)(790)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)(7)(32)(12)(32)(790)(432141nkkkkkkbaxfxfxfxfxfhdxxf= Cn),(, )(4945)(2)6(6bafhabfR例例:利用数据表利用数据表kxkf x01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.87

16、6403.200003.506853.764703.938464计算积分计算积分1*2041Idxx解：解：这个问题有明显的答案这个问题有明显的答案*104arctg |3.1415926.Ix取取n = 8用复化梯形公用复化梯形公式式 1872432852212832412812)0(21818fffffffffT= 3.138988494取取n=4 用辛卜生公式用辛卜生公式 1874432854212834412814)0(61414fffffffffS= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同Romberg方法方法 对于不易直接用积分公式计算的原函数，通常用复合梯形求积公式复

17、合梯形求积公式或或复合抛物线求积公式复合抛物线求积公式等方法，但这些方法精度不高，收敛的速度缓慢。为了提高收敛速度，减少计算量，人们寻求其他方法 . Romberg方法也称为逐次分半加速法。它是在梯它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度. 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.4.1 梯形法的递推化梯形法的递推化 上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半际计算时

18、若精度不够可将步长逐次分半. 设将区间设将区间 a, b分为分为n等分，共有等分，共有n+1个分点，如果将求积区间个分点，如果将求积区间再分一次，则分点增至再分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑个积分值联系起来加以考虑. 并注意到每个子区间并注意到每个子区间xk, xk+1经过二分只增加了一个分点经过二分只增加了一个分点)(/12121kkkxxx 设设hn=(b a)/n, xk=a+khn (k=0,1,n),在在xk, xk+1上用梯形公式得上用梯形公式得 )()(211 kknxfxfhT在在xk, xk+1上用复化梯形公式得上用复

19、化梯形公式得)2/ )()()(2)(22/12/112/12 kkkkkknxxxxfxfxfhT所以所以)(2212/112 knxfhTT从从0到到n 1对对k累加求和得累加求和得 )(2212/112 knxfhTT121/201()22nnnnkkhTTf x 这就是这就是递推的复化梯形公式递推的复化梯形公式. 从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值梯形公式的值Tn作为一个整体保留作为一个整体保留. 只需计算出新只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值

20、，从而减少了计算量复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.Romberg算法 对区间a， b，令h=b-a构造梯形值序列T2K T1=hf(a)+f(b)/2 把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a)/2，于是 T2 =T1/2+h/22f(a+h/2） 把区间四(22)等分，每个小区间长度为 h/22 =（b-a）/4，于是 T4 =T2/2+h/2f（a+h/4）+f（a+3h/4) 把a，b 2k等分，分点xi=a+（b-a）/ 2k i （i =0，1，2 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2k ，由归纳法可得下图的第一个公式. 整个程序就是循着这四个公式进行计算的.Sn,

21、Cn, Rn 分别代表特例梯形积分,抛物线积分,龙贝格积分.当然,编程的时候统一处理即可.应用中,算到Rn级别即可(7阶的精度), 精度再高则会与累计误差相冲突. 解 按上述五步计算，此处 f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2 由梯形公式得 T1=1/2f(0)+f(1)=3 计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得 T2=1/2T1+f(1/2)=3.1 由加速公式得 S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333 .14102dxxI 下面举一个例,代码运行一下：取e=0.0001,用龙贝格方法计算积分求出f(1/4) f(3/4) 进而求得

22、T4=1/2T2+1/2f(1/4)+f(3/4) =3.131176471 S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628 C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得 T8=1/2T4+1/4f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8) =3.138988495 S4=1/3(4T3-T4)=3.141592503 C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095 R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784 把区间再二分，重复上述步骤算得 T16=3.140941613 S8

23、=3.141592652 C4=3.141592662 R2=3.141592640 由于 |R1-R2|F=(x,p)1./(x.3-2*x-p); Q = quadl(F,0,2, , ,5)%或者或者Q = quadl(x)F(x,5),0,2) Q = -0.4605 q,n=quadl(x)F(x,5),0,2)例例5-3 分别用分别用quad函数和函数和quadl函数求定积分的近似函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。数。调用函数调用函数quad求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp

24、(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254766n = 65 调用函数调用函数quadl求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quadl(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.285794442548811n = 183被积函数由一个表格定义被积函数由一个表格定义在在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量函数。其中向量X,Y定义函数定义函数关系关系Y=f(X)。例例8-4 用用trapz函数计

25、算定积分。函数计算定积分。命令如下：命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans = 0.285796824163935.1.3 二重定积分的数值求解二重定积分的数值求解(仅供参考仅供参考)使用使用MATLAB提供的提供的dblquad函数就可函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求该函数求f(x,y)在在a,bc,d区域上的二区域上的二重定积分。参数重定积分。参数tol

26、，trace的用法与函的用法与函数数quad完全相同。完全相同。例例5-5 计算二重定积分计算二重定积分(1) 建立一个函数文件建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 调用调用dblquad函数求解。函数求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)kiI = 1.57449318974494ki = 1038Newton-Cotes公式采用公式采用等距节点作为求积节点代等距节

27、点作为求积节点代数精度至多可达到数精度至多可达到 。（ 为偶数）为偶数）1nn那么，在节点个数一定的情那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在况下，是否可以在 上自上自由选择节点的位置，使求积由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高公式的精度提得更高 ？, a b4.5 高斯求积公式高斯求积公式 由前面的讨论已经知道，以由前面的讨论已经知道，以a=x0 x1xn=b为为节点的节点的N- -C求积公式的代数精度一般为求积公式的代数精度一般为n或或n+1，这时这时节点简单地按照闭区间等距的方式确定。节点简单地按照闭区间等距的方式确定。 对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，对一个求积公式而言

28、，如果不固定节点的位置，在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多能达到多少能达到多少? 这里高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的这里高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式求积公式.xyo f x11AB0 x1x例例 ：求形如求形如100111( )()( )f x dxA f xA f x的两点求积公式。的两点求积公式。 （1）用梯形公式（即以用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1为节点的插值型为节点的插值型 求积公式）立即可得求积公式）立即可得 。11( )( 1)(1)f x dxff只具有一次代数只具有一次代数精确度！

29、精确度！（2）若对求积公式中的四个待定系数若对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当选取，适当选取，使求积公式对使求积公式对f (x) = 1，x，x2，x3都准确成立，则都准确成立，则0101,A A x x需满足如下方程组：需满足如下方程组：0122001 12233001 13344001 1121314AAbaA xAxbaA xAxbaA xAxba4.5.1 一般理论一般理论 前面给出的机械求积公式前面给出的机械求积公式含有含有2n+2个待定参数个待定参数xk,Ak(k=0,1,n). 当当xk为为等距节等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为点时得到的插值求

30、积公式其代数精度至少为n次，如次，如果适当选取果适当选取xk(k=0,1,n)，有可能使求积公式具有有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为次代数精度，这类求积公式称为高斯高斯(Gauss)求求积公式积公式. 为使问题更具一般性，我们研究为使问题更具一般性，我们研究带权积分带权积分 nkkkbaxfAdxxf0)()( badxxxfI)()( 例：例：求求 的的 2 点点 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：设设 ，应有，应有 3 次代数精度。次代数精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3 311

31、30092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 01010 AAxx不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。4.5.2 高斯勒让德求积公式高斯勒让德求积公式 高斯高斯- -勒让德勒让德(Gauss-Legendre)求积公式求积公式是古典是古典的高斯求积公式，通常就叫做的高斯求积公式，通常就叫做高斯求积公式高斯求积公式. 它是它是在在 (5.1)中取区间为中取区间为- -1, 1，权函数为，权函数为(x)1的勒让的勒让德多项式所建立的高斯公式德多项式所建立的高斯公式. 则公式为则公式为)9 . 5(.

32、)()(011 nkkkxfAdxxf我们知道勒让德多项式是区间我们知道勒让德多项式是区间- -1, 1上的正交多项上的正交多项式，因此，勒让德多项式式，因此，勒让德多项式Pn+1(x)的零点就是求积公的零点就是求积公式的高斯点式的高斯点. 若取若取P1(x)=x的零点的零点x=0做节点构造求积公式做节点构造求积公式).0()(011fAdxxf 令它对令它对f(x)=1准确成立，即可定出准确成立，即可定出A0=2. 这样构造这样构造出的出的一点高斯一点高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式是是中矩形公式中矩形公式.再取再取)13(21)(22 xxP的两个零点的两个零点0111,33xx 1

33、01111( )d()()33f xxA fA f 构造求积公式构造求积公式 即即100111( )d()()f xxA f xA f x 令其对令其对f(x)=1, x 精确成立精确成立, 有有0101211033AAAA 解出解出 A121, 从而得到从而得到代数精度为代数精度为3的的两点高斯两点高斯勒让德求积公式勒让德求积公式)31()31()(11ffdxxf 101111( )d()()33f xxA fA f 三点高斯勒让德求积公式三点高斯勒让德求积公式的形式是的形式是.51595)0(9851595)(11 fffdxxf 其它的高斯勒让德求积公式的形式根据其它的高斯勒让德求积公

34、式的形式根据常用常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表高斯勒让德求积公式的节点和系数表，自己可以，自己可以写出来写出来.常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表n节点数节点数求积节点求积节点xk求积系数求积系数k0102120.5773503123 0.77459666920.00000000000,55555555560.888888888934 0.8611363116 0.33998104360.34785484510.652145154945 0.9061798459 0.53846931010.00000000000.23692688510.478628

35、67050.5688888889tabbax2121使使 时，时， ，并有，并有 对于上式右边的积分可以应用对于上式右边的积分可以应用Guass-Legendre求积公式。求积公式。 dttbabafabdxxfba11212121 , 1tbax,kxkAGuass-Legendre求积公式中的求积公式中的Gauss点点 和求积系数和求积系数对于一般区间对于一般区间a，b上的求积，如果用上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么求积公式，那么务必须作变量替换务必须作变量替换 例例 利用两点利用两点Gauss-Legendre 求求积公式计算积公式计算n=1dxxxI 10si

36、n1101sin1sin21sin( 0.5773503)sin(0.5773503)1120.57735030.57735030.945363.xxIdxdxxx解解: :因为因为为偶函数为偶函数xxsin例例 用用Gauss-Legendre求积公式求积公式(n=1,2)计算积分计算积分dxexIx102解解 由于区间为由于区间为0,1,所以先作变量替换所以先作变量替换x=(1+t)/2,得得对于对于n=2,由三点由三点Gauss-Legendre公式有公式有 718251799.0515950985159581fffIdtetdxexItx2/1211102)1(8171194774.0

37、31)31(81ffI令令 对于对于n=1,由两点由两点Gauss-Legendre公式有公式有 2/121tettf容易求出定积分的精确值为容易求出定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828，由此可见由此可见,n=1时的实时的实际误差为际误差为0.0063340054, n=2时的实际误差为时的实际误差为0.000030049。本章介绍的几种求积方法各具特点本章介绍的几种求积方法各具特点： (1) 梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的被积函数有时效果比用高精度但对于光滑性较差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公式简单

38、，因而使用非常广泛的方法还好，再加上公式简单，因而使用非常广泛.特别在计算机上，复化的梯形公式和抛物形公式便特别在计算机上，复化的梯形公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单. (2) 龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且当节点加密时，前面的计算结果直接参于实现，且当节点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大大减少了计算量与后面的计算，因而大大减少了计算量. 此方法的此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的一个最大缺点是节点的增加是成倍的. (3) 高斯型求积公式，该方法是最高代数精度

39、高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法，但它的节点和求积系数都没有规则，的求积方法，但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能重新计算重新计算.因此上机计算时，需要事先输入节点数和因此上机计算时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与系数表各种高斯型求积公式的节点与系数表.它的最大优点它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分的计算是适用于某些无穷区间上的广义积分的计算. 5.5.1 差商型求导公式差商型求导公式hhxfxfxf)()()( hxfhxfxf)()()( hhxfhxfxf2)()(

40、)( )(xf xhx hx 5.5 数值微分数值微分向前差商公式向前差商公式向后差商公式向后差商公式中心差商公式中心差商公式2 )()(2)()(hhxfxfhxfxf 2 )()(2)()(hhxfxfhxfhxf )(! 3)(! 2)()()()(! 3)(! 2)()()(3232xfhxfhxfhxfhxfxfhxfhxfhxfhxf )( )(62)()()(:)( )(2)()()(:)( )(2)()()(:2221hOfhhhxfhxfxfhOfhhhxfxfxfhOfhhxfhxfxf 中心中心向后向后向前向前)(),(),( 2hOhOhOTaylor差差分分别别为为公

41、公式式可可知知上上述述公公式式的的误误由由)(12)()(2)()()4(22 fhhhxfxfhxfxf 5.5.2 插值型求导公式插值型求导公式)()(inixxf )()!1()()()()(1)1(xnfxxfxRnnn )()()()()!1(1)()()(1)1()1(1xffdxdxnxxfxRnnnnn 适用于求节点处的导数值，适用于求节点处的导数值， nijjjininiixxnfxxfxR0)1()()!1()()()()( 以插值多项式的导数以插值多项式的导数作为函数导数的近似，即作为函数导数的近似，即)(xf xhx hx 常用公式常用公式 ),(,)(2)( )()(

42、)()(2)( )()()(10111011001010bafhxRhxfxfxffhxRhxfxfxf hxxx 010 ,1.两点公式两点公式)()()()()()()()(010110101xxxxxfxxxxxfxLxf 1 , 0 ,)()()()(011 ihxfxfxLxfii)(2)(! 2)()()()(01000001 fhxxfxxfxRn )(2)(! 2)()()()(10111111 fhxxfxxfxRn 2.三点公式三点公式)2 , 1 , 0( 0 iihxxi )(3)(4)(21)()()(21)()()(4)(321)(21022012100 xfxfx

43、fhxfxfxfhxfxfxfxfhxf )(3)() 2 , 1 , 0( ),( )(6)()(3)(2)3(2221)3(2120)3(202 fhxRibafhxRfhxRi 误差分别为误差分别为 )()(2)(1)()(21022xfxfxfhxxfii 21022201221012021022101201201021022)()()()(2)()()()()()()()()()()()()( hxxxxxfhxxxxxfhxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxLxf 210222012210222)(2)(22)()(hxxxxfhxxxxfhxxxxfxL 222120222)(2)(22)()(hxfhxfhxfxL 2 , 1 , 0 )()(2)()(2210 ihxfxfxfxfi210222012210222)(2)(22)()(hxxxxfhxxxxfhxxxxfxL hxfxfxfxfhhxfhhxfhhhxxxxfhxxxxfhxxxxfxLxf2)()(4)(3 )(2)(2)(2322)(2)(22)()()(210221202210022200122100020 hxfxfxfhhxfhhhxxxxfhxxxxfhxxxxfxLxf2)()()(2)(222)(2)(22)()()(