数值分析最佳习题

1、第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。51若误差限为0.5 10 ，那么近似数有几位有效数字?（有效数字的计算）解：x0.3400 10 2,10 2 3故具有3位有效数字。3.14159 具有4位有效数字的近似值是多少?（有效数字的计算）解:0.31415910,欲使其近似值具有4位有效数字，必需13*10213 r10 ，即 3.14109 23.142093已知a 1.2031, b 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问 ab,a b有几位有效数字？（有效数字的计算）解:* *(a b) (a b )2 102,而103b 2

2、.1811, a10 22 1011.1766故a b至少具有2位有效数字。，、，*, * 、，(ab) (a b ) ba a0.9781021.2031210 211 20.0065 101 22故a b至少具有2位有效数字。4设x 0, x的相对误差为，求ln x的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知ln x ln x则相对误差为*ln x ln x*ln x1. *ln x*ln x* -5测得某圆枉体局度h的值为h 20cm,底面半径r的值为r|h h | 0.2cm , |r r | 0.1cm,求圆柱体体积 V2,r h的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：v(h,r)

3、 v(h , r )*2 r绝对误差限为v(h,r) v(20,5)25 20 0.1520.2 25相对误差限为v(h,r) v(20,5)v(20,5)25工 4%52 20206设x的相对误差为a% ,求yxn的相对误差。(函数误差的计算)解:x*a%,*nx(na)%7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时允许的相对误差限为多大？(函数误差的计算)解：球体积为 v(r)欲使*、v(r) v(r )*2rIn(1)In*v(r )4*3r31% ,必须利用1e 1 xnexdx ,求证:01 nIn 1(n 0,1,2 )(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向

4、递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)解:11 nIn e x0x 1 n xde e x e1nixn x e dx011 n 1ne x0exdx 1 nIn111 x .e e dx01 (e 1) 1 e如果初始误差为*I0 I0,若是向前递推,(1*、nIn 1) (1 nIn 1) n1)2 n(n 1)(1)nn! 0可见，初始误差0的绝对值被逐步地扩大了。如果是向后递推1 10 (1 1I1)11*12(1 1I1)11(1)(1)nn!可见，初始误差n 的绝对值被逐步减少了。第二章插值法姓名 学号 班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米

5、特插值构造，插值余项的计算和应用。已知f( 1)2, f(1) 1, f(2) 1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)解法一(待定系数法)：设 L(x) ax2 bx c ,由插值条件，有a b c 2a b c 14a 2b c 1解得：a 1/6, b 1/2, c 4/3。故 L(x) 1 x2 1 x - o623解法二(基函数法)：由插值条件，有L(x)(x1)(x2)2 (x1)(x2)1(11)( 1 2)(11)(12)(x 1)(x 1) 1(2 1)(2 1)1&(x 1)(x 2)1 214x x6232 已知 y Vx,xo 4,x1112(x 1)(

6、x 2) 3(x 1)(x 1)9,用线性插值求 J7的近似值。(拉格朗日线性插值)解：由插值节点与被插函数，可知，y0 J4 2, y1 J9 3,其线性插值函数为一、x9° x4a 16L(x) 2 3 -x 一499455J7的近似值为L(7) 2.6。5 553若xj(j 0,1，n)为互异节点，且有lj(x)(x Xo)(X Xi)(x xj i)(X xj i) (x xn)(xjX°)(XjXi)(Xj Xj 1)(XjXj 1)(XjXn)n试证明xklj(x) xk ( k 0,1，n)。(拉格朗日插值基函数的性质)j 0解：考虑辅助函数F(x)xkl j

7、 (x) xk，其中，0 k n, x (,)。j 0F(x)是次数不超过n的多项式，在节点 x xi ( 0 i n)处，有nF(xi)xklj(xi) xik xikli(xi) xik xk xk 0j o这表明，F(x)有n+1个互异实根。n故F(x) 0,从而xk 1 j (x) xk对于任意的0 k n均成立。j 04 已知 sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487, sin 0.36 0.352274 ,用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)解：由插值条件，其抛物线插值函数为L(x) (x 0.34)(x 0.3

8、6)0.314567(0.32 0.34)(0.32 0.36)(x 0.32)(x 0.36) 0.333487(0.34 0.32)(0.34 0.36)0.352274(x 0.32)(x 0.34)(0.36 0.32)(0.36 0.34)将 x 0.3367代入，计算可得： L(0.3367) 0.3304。其余项为：r(x)-s(x 0.32)(x 0.34)(x 0.36)其中，0.320.363!1r(x) - (x 0.32)(x 0.34)(x 0.36) 6故误差的上界为：I 1 II7r(0.3367)- (0.3367 0.32)(0.3367 0.34)(0.33

9、67 0.36)2.14 10 7。65用余弦函数cosx在x00 , x11,x2三个节点处的值,42写出二次拉格朗日插值多项式，并近似计算cos一及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格 6朗日二次插值)解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为L(x)(x 0)(x/4)0(Z2 0)( Z2 Z4)(x /4)(x/2) 1 (x 0)(x/2)1(0Z4)(0/2)( /4 0)( /4/2) -2L(6)8( x /4)(x/2)28. 2x(x /2)28( /6/4)( /6/2)28.2 /6( /6/2)22 42 0.8508绝对误差为:、；3 2 4J29，

10、3 4 872cos一 L(一) 6629180.0153相对误差为:L(6)9 3 4 8 20.01794 8、. 21r(一) 一一(一 一)(一 一)-T 0.0239666646264比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6已知函数值f(0) 6, f(1) 10, f(3) 46, f(4) 82, f (6) 212，求函数的四阶均差“0,1,3,4,6和二阶均差f4,1,3 o （均差的计算）解：采用列表法来计算各阶均差，有xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151从表中

11、可查得：f0,1, 3,4,6 。15xy一阶均差二阶均差48211072/3346186故f4,1,3 6。其实，根据均差的对称性，f4,1, 3 f1,3,4 6 ,该值在第一个表中就可以查到。7 设 f (x) (x X0)(x xj (x *口)求 fx0,X1Xp之值，其中 p n 1 ,而节点xi(i0,1, n 1)互异。(均差的计算)解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有fx0,x xpx 1) (xi xp 1)(xi xp)f(xi)i 0 (xix°)(xix)(xixi 1)(xi而 f (xj 0 0 i p ,故 f x0,为xp 0 o8如下函数值表

12、x0124f(x)19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)解:先构造均差表xf(x)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11/4故 N(x) 1 8x 3x(x 1) x(x 1)(x 2)。 49求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件： p(1) 2 , p(2) 4 ,p (2) 3, p(3) 12。(插值多项式的构造)解法一(待定系数法)： 设p(x) ax3 bx2 cx d ,则p (x) 3ax2 2bx c,由插值条件，有a b c d 28a 4b 2cd 412a 4b c 327a 9b 3cd 12解得

13、：a 2, b 9,c 15, d 6。故 p(x) 2x3 9x2 15x 6故 p(x)2 2(x 1) (x 1)( x 2) 2(x 1)(x 2)22x3 9x2 15x 6解法二(带重节点的均差法)：据插值条件，造差商表xy一阶差商二阶差商三阶差商12242243131285210构造一个三次多项式H (x),使它满足条件 H (0)1,H(1) QH(2) 1, H (1) 1 (埃尔米特插值)。解：设 H(x) ax3 bx2 cx d, H (x) 3ax2 2bx c利用插值条件，有d 1a b c d 08a 4b 2cd 13a 2b c 1解得：a 1 , b 4 ,

14、 c 4 , d 1。H (x) x21R(x) 128 2(x 4)( 4x2 4x 1311 设 f(x) x2,x0 1/4,x1 1,x2 9/4。(1)试求 f(x)在 1/4, 9/4 上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得H(xj) f(xj),j 0,1,2,H (xjf(xj, H(x)以升哥形式给出。(2)写出余项R(x) f (x) H(x)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。119273!3斛：f (-)-, f (1) 1,f (-) ,f (x)-x ,f (1)-484822322设 H(x) ax bx cx d , H (x) 3ax 2bx c1 a

15、 64a b729 a641b 16c d81.b163a 2b c1 c419-c432解得：a故 H (x)1422514225263,450263 2 x450278233 c450233 x450o251o2529-1x 1)2(x -),其中，4412 若 f(x) c2a,b, f(a) f(b) 0,试证明:12max | f (x) | - b a max | f (x) | (插值余项的应用) a x b8a x b解：以f (a) f (b) 0为插值条件，作线性插值多项式，有x b x aL(x)或 f(a) b f(b) 0其余项为R(x) f(x) L(x)f(x)故

16、 maxf(x)1maxf2 a x b(x) (a2! b2-(x a)(x b)a b 1 ca)(b -) 8(b a) maxf(x) °13 设 f ( 2)1,f(0)1, f(2) 2,求 p(x)使 p(%)f(xi)(i0,1,2);又设I f (x)|，则估计余项r(x) f(x) p(x)的大小。(插值误差的估计)解：由插值条件,4a 2b4a 2ba解得：b1/83/4从而p(x)3x14其余项为r(x) f (x)P(x)f ()(x 2)x(x 2)(2,2)/ M / 3 / r(x) (x4x)6M 16 08. 3 0'3 M6 927第三章

17、函数逼近姓名 学号 班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1设f（x） sin x,求f（x）于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解： span 1, x(i, i) dx 1, 01(f, 1) sin xdx 0法方程组为11 a2 a1 11a22 32斛得：a1, a2(1, 2) xdx - , ( 2,o2 321一，(f, 2) xsin xdx o21022)x dx031x11 cos x _2 sin x 一0线性最佳平方逼近多项式为:2 令 f(x) ex , 1 x 1,且设 p(x) a。 a1x,求 a0,a1 使得 p(x

18、)为 f (x)于1,1上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解： span 1, x（1,1）12 .x dx11xdx 0, ( 2, 2)11 x_1xe dx 2e11x1(f, 1) e dx e e , (f, 2)1法方程组为解得:a1i(e1), a2线性最佳平方逼近多项式为：p（x） ee23证明：切比雪夫多项式序列Tk(x) cos(k arccosx)在区间1,1 上带权（x） 1 /1 x1 2 正交。（正交多项式的证明）解：对于(Ti ,Tk)11cos(l arccosx) cos(k arccosx)dx1 . 1 x201=cosQt)cos(kt)( si

19、nt)dt .1 cos2 tcos(lt)cos(kt)dt01一 cos(l k)t cos(l k)tdt2。111sin(l k)t sin(l2 l kl kk)to112人、，(Tk ,Tk)2 cos (karccosx)dx1 . 1 x21 cos212cos (kt)( sint)dt2cos (kt) dto11 1 cos(2k)t dt2o故，序列Tk（x）在-1,1上带权1(x) j 2正父。.1 xx14求矛盾方程组：x1x22x2x1X234的最小二乘解。（最小二乘法）2解法一：求x1与x2,使得222f(x1，x2) (x1 x2 3) (x1 2x2 4)(

20、x1 x2 2)达到最小。于是，令fXi2(x1 x2 3) 2(x12x2 4) 2(x1 x2 2) 0fx22(x1x23) 2(x1 2x2 4)22(x1x22)( 1)03x1 2x29 即： 12,其最小二乘解为:2x1 6x29x12.5714x2 0.6429解法x1x234 ,记作AX b ,该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组ATAX2 x16 x2x12.5714x2 0.6429解之，得1241 2.54.5158.515.59法方程为(ATA)X (AT y)622a4022 90.5 b 161.25解得：a 1.2288, b 1.4831。其直线拟合函数

21、为 y 1.2288 1.4831x。6用最小二乘原理求一个形如y a bx2的经验公式，使与下列数据相拟合Xk1925313844yk1949（最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表2Xk36162596114441936yk1949作线性拟合。其法方程组为：55327a 271.45327 7277699b369321.5解得：a 0.9726, b 0.05002故经验公式为 y 0.9726 0.05x 。第四章数值积分姓名 学号 班级习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式(梯形，辛甫生公式)，复化求积的计算，高斯公式的构造。h1给定求积公式 f(x)dx af( h) bf

22、(0) cf(h)试确定a, b,c使它的代数精度尽可能 h高。(代数精度的应用和计算) 解：分别取f(x) 1,x,x2 ,使上述数值积分公式准确成立，有;a b c 2ha( h) c(h) 0a( h) 求积公式 °f(x)dx A0 f (0) A1f (1) c(h)2 2h3/3h , 4h 斛得：a , b , c33h故求积公式为 h f (x)dx3f(3. h 3 .再取f (x) x ,左边=hx dx4hh,、h)f (0)f(h)°33h 3 4 h0,右边=口( h)3 4h 033刎32h5再取 f (x) x4，左边=h x4dx "

23、;，右边=0( h)4 幼 0 h(h)4 h5333此求积公式的最高代数精度为3。B0 f (0),试确定系数A0, A1及B0 ,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)解：分别取f(x) 1, x, x2,使求积公式准确成立，有A0 A11A B0 1/2A1/3一-2-1_1斛得：A0,A1-，B0。3361211求积公式为 f(x)dx-f (0)- f (1)f(0)°0336H，、3 , ,1 3 .1211,.再取f(x) x ,左边=x dx 0 -1 0 右边04 336故该求积公式的最高代数精度为2。，33_ 、，3

24、数值积分公式f (x)dx -f (1) f (2),是否为插值型求积公式，为什么？又该公式02的代数精确度为多少？(插值型求积公式特征)解：令f(x)333 21 1 2f(1)f(2)3f(x) x, xdxo|1 22 3f f(2)9332 -1 2 -f(1)f(2)3f(x)x2,x2dx 90故代数精度为1。由于求积节点个数为 2,代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。b4如果f (x) 0,证明用梯形公式计算积分f (x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其a几何意义。(梯形求积) 解：梯形求积公式T f(a)f(b)2是由过点(a, f (a) , (b, f (b)的线

25、性插值函数L(x) =f(a) f(b) a b b a在a,b上的定积分。注意到：在区间a,b上，f (x) 0 ,而(x a)(x b) 0,有bbbbf ()I T f(x)dx L(x)dx f(x) L(x)dx(-(x a)(x b)dx 0aaaa 2!从而I T。其几何意义可作以下解释：在区间a,b上，f(x)0,故曲线y f(x)下凹，直线y L(x)位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积If(x)dx小于梯形面积TL(x)dx。4的复化梯形公式计算积分1 乂 -dx,并估计误差。（复化梯形求积） x解：h1取求积节点为4xii(i 0,1,4)21 dx1 xxi 10 xi1

26、 dxx3 h0 2f(xi)f (Xi1)h2 f (x0) f(x1) f(x2)- -f(x4)1 4 11710.6970424567281680一 2 1.，因 1dx In 2,则误差大约为:1 xIn 2 0.6970 0.0039。6设f( 1) 1, f( 0,5) 4, f(0) 6, f(0,5) 9, f(1) 2 ,则用复化辛甫生公式计算11f (x)dx ,若有常数 M使| f（4） | M ,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复化辛甫生公式）1解：J(x)dx0f (x)dx11f (x)dx014-f ( 1)-66111 4 46,1 ,f( 0.5)

27、6 f 6 6 4 9 26 67 6,4 ,1 ,f(0)6f(0.5) 6f(1)11.1667IS20(4)f ( 1)4!(X1)(x20.5) (x 0)dxf(4)( 2)4!2(x 0)(x 0.5) (x 1)dxM 240(x11)(x20.5) (x 0) dx(X0)(x20.5) (x 1) dxM112 0(X0)(x20.5) (x 1) dx0.52-t (0.2502 Mt )dt 0.004260.008M7已知高斯求积公式f (x)dx f (0.57735)f （ 0.57735）将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分v xdx的近似值。（高斯公式）

28、1解： xdx01/2xdx01xdx1/2对于1/2Jxdx作变量换x0对于1/2, xdx0tdt1 1 0.57735 8.1 0.577351Jxdx作变量换1/2工有1、xdx1/2111 .3 tdt8 11- -,3 0.57735 8、3 0.577351xdx01,1 0.57735 81 0.577353 0.57735 ,3 0.577350.66928试确定常数A, B, C和a ,2使得数值积分公式f(x)dx Af( a) Bf(0)2Cf (a)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的?精度的应用和计算,高斯点的特征)解：分别取

29、f (x)1, x, x2 , x3 , x4 ,使上述数值积分公式准确成立，有;A B C 4A( a) C(a) 02216A( a)2 C(a)2 -3A( a)3 C(a)3 04464A( a)4 C(a)4 -5整理得：a2(A C)4_a (A C)16364510解得：A C , B9169 , a12一。5数值求积公式为2 .10 .2 f (x)dx f(12196 f再取f(x) x5 ,左边=2x5dx 0,右边="(庐)5 0 10(庐)5 029,599 . 5再取 f(x) X6,左边=：X6dx76825可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公

30、式中的节点个数为3,其代数精度达到了 2 3 1 5次，故它是高斯型的。9设Pn（x）是0,1区间上带权 （x） x的最高次募项系数为 1的正交多项式系（1）求 P2（x）。1（2）构造如下的高斯型求积公式°xf（x）dx A0f （x0） A1f （x1）。（高斯求积）解（1）:采用施密特正交化方法，来构造带权（x） x且在0 , 1上正交的多项式序列取 P0(x) 1,设 P1(x)x0P0(x),且它与P°(x)在0, 1上带权 (x)x正交，于日ZE0 (P°,R)（x,P。）0(P0,P0),(x. P0)(P0F0)1x2dx0-xdx0故 P1(x)

31、1P0(x)设 P2(x)1P1 (x)0P0（x）,且它与P0(x)、P1(x)在0,1上带权(x) x正交,日ZE0 (P0,P2)(x2,P°)0( P0, P0),0(x2,P°)(P0,P。)1x3dx0112xdx00 (P1,P2)(x2,P1)1(R,P312(x2,P1)(P,P1)x3(x 1)dx1x(x 2)2dx0312 63 x x 2510261262P2(x)x2 -P1(x) -Po(x) x2 (x -)52536.6o106 . 66 63解(2)： P2(x) x -x 2的零点为：X12510、几1 66. 6、6、仅 0xf(x)

32、dx A0 f(R A1fF)分别取f (x) 1, x ,使上述求积公式准确成立，有A A 1/26 .6八 66八AoA1010A ,即1/3 AAiAi121361 14 6.6°11斛倚：A0尸,A14 6,6高斯型求积公式为xf(x)dx (-04 6,6七(46 ,610)第五章非线性方程求根姓名 学号 班级习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1用二分法求方程x 1 0的正根，要求误差小于。（二分法）解：f (x) x2,f(0)1 0, f(2) 1 0, f (x)在0 , 2连续，故0 , 2为函数的有根区间。(1

33、)计算f(1)0 ,故有根区间为1 , 2。(2)计算(3)计算计算(5)计算(6)计算计算吗) f(4) 噂13州)25 f(16) 噌)(2)(4)限25(6)(8)若取中点取近似根x2说明方程327413813825165132142(161641640,故有根区间为3,2。20 ,故有根区间为一,一。2 43 13-0 ,故有根区间为,一。2 8一 313-0 ,故有根区间为一,一。2 83125655102425 13、0 ,故有根区间为一,一。16 80 ,故有根区间为103 作为取根的近似值，其误差小于64103 1.6094,可满足精度要求。64lnx 4 0在区间1 , 2内

34、有惟一根确至3位有效数）13 旦83251 13,32 810.03232x ,并选用适当的迭代法求 x （精,并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）解：f (x) x2 ln x 4 x 1, 2_1f(1)3 0, f(2) In 2 0, f(x) 2x 2v2 0,故函数单调增加，因此,x该方程在(1,2)之间存在着惟一的实根。取迭代函数 (x),4 lnx x 1,2显然1 屈 V4 ln2 (x)44 ln1 2,且1x、4 ln x故迭代 xk 1v14In xk ( k 1,2,)对任意初始值xi 1,2收敛。对于初值xi 1.5,其迭代值分别为x2 1.8959, x3 1

35、.8331, x4 1.8423, x5 1.8409一 1由于x4 x5 0.0014 10 ,故x5 1.8409作为近似值，已精确到了 3位有效数字。2、一八八 23设有解方程123x2cosx0的迭代法xn14 -cosxn(1)证明x0 R均有3 一2 .*(x )-sin x3 z* lim xn x ( x为方程的根)。(2)此迭代法的收敛阶是多少， 证明你的结论。(3)取x0 4n用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10 3,列出各次迭代值。(和收敛性讨论)2 解(1) :(x) 4 -cosx,3(x)2一 sin x 3,),故该迭代对任意初值均收敛于方程的根.一解(2)

36、:由x2*4 -cosx ,故有3103720 ,故该迭代的收敛速度是1阶的。解(3):取x04，代入迭代式，可计算出以下结果:x13.5642 ,x23.3920 , x33.3541 , x43.3483 ,X53.3475由于乂5x40.0008 10 3,取*x3.3475可满足精度要求。4 设 x (x ) , max (x)1，试证明：由xn 1你)n 0,1,列xn收敛于x。(收敛性证明)证明:由x (x )知，方程x(x)有根。xn*(xn)(x*xnxxn 1 x时，有xn0,5设方程3 3x 2sin x 0在0,1内的根为x即序列xn收敛于x 。,若采用迭代公式xn 1-

37、sinxn,试 3证明:x0R 均有 limxnn* * . x （x为方程的根）；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）2解：迭代函数（x） 1 sinx3(x)22“，-cosx一，当x(33故迭代在区间（，）上整体收敛。*2 .* 一设 lim xnx ,则 x 1 -sin x ,且n31433210，2*.2 .*24 x 1 s-sinx 43333O*2*故 (x )-cosx 03故该迭代的收敛速度为 1阶的。6 方程x3 x2 1 0在xo 1.5附近有根，把方程写成 3种不同的等价形式：小 ，1 ，1x 12 ,对应迭代格式：xn 1 12xxn（2）

38、x31 x2,对应迭代格式：xn 1V1 x2（3） x2,对应迭代格式：xn 1-x 1xn 1讨论这些迭代格式在 xo 1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度， 选一种收敛格式计算出xo 1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）111331f(1)64149512 12*对于迭代式(1)：(x) 1 -,(x), (x )xx*38 32 (-)31024 ,1。3解：f(x) X3 X2 1, x 1,3313r,*1 0 , f （-） 0,故万程在1,一上有根x 。28239.、一一 .5 3. .*39 0 ,故方程在z, 上有根x。-、.11 3、，一 *0

39、,故方程在一，一上有根x 。8 2一 *2而（x ）0 ,故该迭代局部收敛，且收敛速度为1阶的。x对于迭彳t式（2）：在 x 1,2上，（x）（1 x2）1/3,(x)2 x3(1x2)2/3(x)2 x3 (2x)2/33 2 3 x3*(x )3(1*2 2/3x )0,故该迭代在(x) 5 昌,(3 a) 1 06 3x2(Va) -0,故迭代收敛速度为21阶。8设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中a 0）。（牛顿迭代法）解：考虑方程f （x） ja1八 .11 0, f(x)-1r，(x)xx. a 1/ x2； 2x . ax 1/x2x 1,2上整体收敛，且收敛速度为一阶的。

40、对于迭彳t式（3）:（x）1 在1 , 2上的值域为1,）,该迭代式不收敛。,x 1取迭代式xn 1封1 x2 , x01.5进行计算，其结果如下：x11.4812,x21.4727,x31.4688,x41.4670x51.4662,x61.4659,x71.4657,x81.465611 4x8 x70.0001 1014,取x81.4656为近似值具有4位有效数字。27设 f (x) (x*、mg(xn) (xn x)g(xn) a)因 西） 1 1 ,故迭代局部收敛。又因(1)写出解f(x) 0的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）解:牛顿迭代式

41、为 xn 15 xn ,6 6xn方程的根为x* Va ,（x） 5 x a2-,66x2xn 12 xnaxn0 ,该迭代局部收敛。9用牛顿法求。115的近似值，取x010或11为初始值，计算过程保留 4位小数。（牛顿迭代的构造)2 ，一，一解：考虑方程 f(x) x2 115 0, f (x) 2x,、x 1151115、(x) x -二(x ) 2x2x1,115、xn 1 二(xn)2xn取x0 10为初始值，计算其迭代值如下：x110.7500x210.7238x310.7238取x011为初始值，计算其迭代值如下：x110.7272x210.7238x310.723810设x是非线

42、性方程 f(x) 0的m重根，试证明：迭代法xn 1xnf(A)mf'(xn)具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)*斛：设x是非线性万程f (x) 0的m重根，则mf(x) (x x ) g(x),且g(x) 0及m 2,其牛顿迭代函数为(x) x mKx)_ x m(x x*)mg(x) xm(x x*)g(x)(x) x IIIx IIIxf'(x) m(x x ) g(x) (x x ) g (x) mg(x) (x x )g (x)*、牛顿迭代式41xn双X.mg(xn) (xn x)g(xn)*en 1xn 1 xX) x* (4 x*), x 吗:mg(xn)

43、(xn x )g (xn)/*、2(xn x ) g (xn)3e2mg(xn) (xn x )g (xn)*、.en 1.g (xn)g (x )lim 2- lim *nennmg(xn) (xn x)g(xn)mg(x )故该迭代的收敛速度至少是 2阶的。11设x是非线性方程f(x) 0的m重根，证明：用牛顿迭代法求 x只是线性收敛。(收敛速度证明)A 一、1* .一.解：设x是非线性万程f(x) 0的m重根，则_* m，*、(x x )g(x)*<mg(x) (x x )g (x)f(x) (x x )mg(x),且g(x ) 0及m 2,其牛顿迭代函数为(x) xf(x) x

44、(x x*)mg(x)f'(x) m(x x*)m1g(x) (x x*)mg(x)牛顿迭代式xn 1xn，*、(xn x )g(xn)*mg(xn) (xn x )g (xn)*en 1xn 1 x*(xn) x 1g(xn)mg(xn) (xn*x / x en x )g (xn)*、lim 虹 lim1 g1 名 1 1 0n en nmg(xn) (xn x )g (xn)mg(x ) m故收敛速度为1阶的。12设(a) a,(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且'(a)(p 1)(a) 0,(p)(a) 0,试证：迭代法xn 1 (xn)在a附近是p阶收敛的。(收敛速度证明)解：将(x)在a点附近作泰勒展式，有(p 1)( p) /(x)(a) (x a) (x a)2(x a)p 1 (x a)1!2!(p 1)!p!(p)()a (工(x a)p,其中， 在x与a之间。 p!于是：en 1xn 1 a(p)()(p)()(xn) a a)p-