2020互为反函数的函数图像之间的关系及应用寿青文ppt课件

1、让梦想腾飞的余江一中让梦想腾飞的余江一中高一数学多媒体演示课高一数学多媒体演示课互为反函数的函数图像之间的互为反函数的函数图像之间的 关关 系系 及及 应应 用用余江一中新校园学生餐厅余江一中新校园学生餐厅授课教师：余江一中授课教师：余江一中 寿青文寿青文更多资源更多资源xiti123.taobao 1.1.叙述反函数的定义：叙述反函数的定义： 一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量,x是自变量y

2、的函数，这样的函数x = (y),(yC)叫做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1(y)字母x、y互换，得 y=f-1(x)y+1例如：函数x=是函数y=3x-1的反函数。3一、复习提问：一、复习提问：求反函数的基本步骤：.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y); .将x，y互换得到y = f1(x);.指出反函数的定义域即原函数的值域).反解 互换写出定义域 2、求反函数有哪些基本步骤？、求反函数有哪些基本步骤？解：函数解：函数y=2x2-3(xR)没有反函数；没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数；因为它不是由一一映射构成的函数； 当把定义域改写

3、为当把定义域改写为0,+)或或(-,0时它才时它才有反函数有反函数. 4、函数y=2x2-3(xR)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P的坐标为 .（b, a）（即横坐标与纵坐标对换位置）例例1 、求函数、求函数y=3x-2(xR)的反函数，并且画的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。出原来的函数和它的反函数的图象。解：解： y=3x-2 函数函数y=3x-2(xR)的反函数为的反函数为y=32x x 0 y -2 032 x -2 0 y 0 x=32y321-2-11-1-2xyy=3x-232xyxy 二、讲授新课

4、二、讲授新课首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系（xR) 互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系? 它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图形。给出定理：给出定理： 函数函数 y = f ( x ) 的图象与它的的图象与它的反函数反函数 y = f 1 ( x ) 的图象关于直的图象关于直线线 y = x 对称。对称。问题：问题：回答：回答：注：注：1这个结论是由特殊到一般归纳出来这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。现在不作证明。2 2这个结论是在同一坐标系下，且横轴这个结论是在同一坐标系

5、下，且横轴x x轴与纵轴轴与纵轴y y轴长度单位一致的情况下得出的。轴长度单位一致的情况下得出的。3 3函数函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数y=fy=f1(x)1(x)互为互为反函数，图像关于直线反函数，图像关于直线y = xy = x对称；对称； 函数函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数x=fx=f1(y)1(y)互互为反函数，图像相同。为反函数，图像相同。4 4如果两个函数的图象如果两个函数的图象关于关于y = x y = x 对称，那么对称，那么这两个函数互为反函数；这两个函数互为反函数；1-2-11-1-2xyy=f(x)=3x-232)(1xxfyxy 32)(1yyfx

6、 函数函数y=f-1(x)y=f-1(x)与函数与函数x=f-1(y)x=f-1(y)是是同一函数，图像关于直线同一函数，图像关于直线y=xy=x对称对称例例2 、求函数、求函数y=x3(xR)的反函数，并画的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象出原来的函数和它的反函数的图象.xy3xy xy 由函数(x R)，得所以函数(x R)的反函数是：)(3Rxxy3xy 3yx 3xy 解：解：3xy 注：当已知函数y=fx的图象时，利用所学定理，作出它关于直线y=x对称的图象，就是反函数y=f1x的图象。练习练习1 1： 画出函数画出函数y=x2(x0,+)y=x2(x0,+)的图象，再的图

7、象，再利用对称性画出它的反函数的图象利用对称性画出它的反函数的图象. .9410y3210 x3210y9410 xxyxy xy 2xy 例例3、若点、若点P1，2在函数在函数 的图象的图象上，又在它的反函数的图象上，求上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。的值。baxy解：由题意知，P1，2在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P12，1也在函数 的图象上。因此，得baxybaxybaba212解得，a=3，b=7 然后我们利用互为反函数的函数图像间然后我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题的关系来解决相应问题例例4 4、求证：函数

8、、求证：函数 的图的图象关于直线象关于直线y=xy=x对称对称. .) )( (x x1 1x xx x1y证明：1 1x xx xyyx-y=x(y-1)x=y1 1y yy yx函数1 1) )( (x x1 1x xx xy1 1) )( (x x1 1x xx xy1 1) )( (x x1 1x xx xy的反函数为即：函数 的反函数是该函数自身函数 的图象关于直线y=x对称1 1) )( (x x1 1x xx xy111Ox y1xy 注：如果一个函数的反函注：如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数就是它本身，那么这个函数的图象关于数的图象关于y = x y = x 对称；

9、对称；反之，如果一个函数的图象反之，如果一个函数的图象关于关于y = x y = x 对称，那么这个对称，那么这个函数的反函数就是它本身。函数的反函数就是它本身。例例5 5、已知函数、已知函数 f ( x ) = f ( x ) = 1 1求求 f ( x ) f ( x ) 的反函数；的反函数；2 2若这个函数图象关于若这个函数图象关于 y = x y = x 对称，求对称，求 a a 值。值。)31,(13 aaxaxxaxxy 13)1 由由13 xayyx31 yayxaxaaxy 31)(3又又axa 313 3)3(31)(1 xxaxxf2由题由题 函数图象关于函数图象关于 y

10、= x 对称对称可知可知 f fx x的反函数是它本身即的反函数是它本身即 f （x） = f -1 （x）3113 xaxaxx a = a = 3 3解：解：练习练习2 2：如果：如果y=fy=fx x的图象过点的图象过点1 1，2 2），那么），那么y=f-1(x)1y=f-1(x)1的图象过点的图象过点_ _ 分析：由y=fx的图象过点1，2），知y=f-1(x)的图像过点2，1），而y=f-1(x)1的图像是由y=f-1(x)的图像向下平移1个单位得到的，故y=f-1(x)1的图象过点2,0)(2,0)(2,0)练习练习3 3：如果一次函数：如果一次函数y=ax+2y=ax+2与与y

11、=3x-by=3x-b的图象关于的图象关于直线直线y=xy=x对称，求对称，求a,ba,b的值的值解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数， y=3x-b的反函数为：),(3Rxbxy,32bxax比较系数得：6,31babaxfx)(解： f(x)的图像过点1，3）a+b=3 由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点2，0），可知f(x)的图像过点0，2）1+b=2 由得b=1,将b=1代入中得a=212)(xxf解法一：由 得反函数 由 令 x=0得 m=-1解法二：令x=0 那么(0, )在f(x)的图象上 由已知f(x)的反函数是自身 ( , 0)在f(x)的图象上， -5=

12、0 m=-1m m5 5练习练习5 5：已知函数：已知函数的图象关于直线y=x对称，求m的值.mxxxf25)(mxxxf25)(125xmxy12525xmxmxx55mm5m5m5三、课堂小结1 1、函数、函数 y = f ( x ) y = f ( x ) 的图象与它的反函数的图象与它的反函数 y = f y = f 1 ( x ) 1 ( x ) 的的图象关于直线图象关于直线 y = x y = x 对称。对称。2 2、函数、函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数y=f -1(x)y=f -1(x)互为反函数，图像关于直互为反函数，图像关于直线线y = xy = x对称；函数对称；函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数x=f -1(y)x=f -1(y)为互为反函数，为互为反函数，图像相同。函数图像相同。函数y=f -1(x)y=f -1(x)与函数与函数x=f -1(y)x=f -1(y)是同一函数，图是同一函数，图像关于直线像关于直线y=xy=x对称对称4 4、如果两个函数的图象关于、如果两个函数的图象关于y = x y = x 对称，那么这两个函对称，那么这两个函数互为反函数；数互为反函数；5 5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关