博弈论入门8_概率论简介

1、随机试验事件二二 、 概概 率率 （一）概率的统计定义（一）概率的统计定义 n研究研究随机试验随机试验，仅知道可能发生哪些随机事，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践性，从而指导实践。n测度：这测度：这就要求有一个能够就要求有一个能够刻划事件发生可刻划事件发生可能性大小的数量指标能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率称之

2、为概率（probability）。n事件事件A的概率记为的概率记为P（A）。）。 概率的统计定义概率的统计定义 在相同条件下进行在相同条件下进行n次重次重复试验，如果随机事件复试验，如果随机事件A发生的次数为发生的次数为m，那么，那么m/n称为随机事件称为随机事件A的的频率频率（frequency）；当）；当试验重复数试验重复数n逐渐增大时，随机事件逐渐增大时，随机事件A的频率越的频率越来越稳定地接近某一数值来越稳定地接近某一数值 p ， 那么那么 就就 把把 p称称为随机事件为随机事件A的的概率概率。 这这 样样 定定 义义 的的 概概 率率 称称 为为 统统 计计 概概 率率（statis

3、tics probability），或者称），或者称后验概后验概率率（posterior probability）。）。 在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率p是不可是不可能准确得到的。通常以试验次数能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机充分大时随机事件事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。的频率作为该随机事件概率的近似值。 即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）（4-1） （二）概率的古典定义（二）概率的古典定义 对于某些随机事件，用不着进行多次重复对于某些随机事件，用不着进行多次重复试验来确定其概率试验来确定其概率 ， 而是根据随机事件本身而是根据随机事件

4、本身的特性直接计算其概率。的特性直接计算其概率。 有很多随机试验具有以下特征：有很多随机试验具有以下特征： 1、试验的所有可能结果只有有限个，即、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；样本空间中的基本事件只有有限个； 2、各、各 个个 试验的可能结果出现的可能性试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；相等，即所有基本事件的发生是等可能的； 3、试验的所有可能结果两两互不相容。、试验的所有可能结果两两互不相容。 具有上述特征的随机试验，称为具有上述特征的随机试验，称为古典概古典概型型（classical model）。对于古典概型，概率）。对于古

5、典概型，概率的定义如下：的定义如下： 设样本空间由设样本空间由 n 个等可能的基本事件所个等可能的基本事件所构成，其中事件构成，其中事件A包含有包含有m个基本事件，则事个基本事件，则事件件A的概率为的概率为m/n，即，即 P（A）=m/n (4-2) 这样这样定义的概率称为定义的概率称为古典概率古典概率(classical probability)或或先验概率先验概率(prior probability)。 【例例4.1】在编号为在编号为1、2、3、10的的10个红球中个红球中随机抽取随机抽取1个，个，求下列随机事件的求下列随机事件的概率。概率。 （1）A=“抽得一个编号抽得一个编号4”； （

6、2）B=“抽得一个编号是抽得一个编号是2的倍数的倍数”。 因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由10个等可能的基个等可能的基本事件构成，即本事件构成，即n=10,而事件而事件A所包含的基本所包含的基本事件有事件有4个，即抽得编号为个，即抽得编号为1，2，3，4中的任中的任何一个，事件何一个，事件A便发生，于是便发生，于是mA=4，所以，所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件同理，事件B所包含的基本事件数所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，中的任何一个，事件事件B便发生，故便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。 【例

7、例4.2】 在在N个小球个小球中中，有，有M个是红球个是红球，从从这些小球中任意这些小球中任意抽出抽出n个球个球，试求试求:(1)其中恰有其中恰有m个是红球个是红球的的概率是多少？概率是多少？(2)若若N=30，M =8，n =10，m =2，其概率，其概率是多少？是多少？ 我们把从有我们把从有M个红球的个红球的N个小球个小球中中任意抽任意抽出出n个小球个小球 ，其中恰有，其中恰有m个红球个红球这这一事件一事件 记为记为A ， 因为因为 从从 N 个小球个小球中中 任任 意意 抽抽 出出 n个小球个小球的的基本事件总数为基本事件总数为 ； 事件事件A所包含的基本事件数所包含的基本事件数为为 ；

8、 因此所求事件因此所求事件A的概率为：的概率为： nNCmnMNmMCCnNmnMNmMCCCAp.)( 将将N=30，M =8，n =10，m =2代入代入上式，得上式，得 210 2830 81030.( )0.0695C Cp AC例例 ：在电话号码薄中任取一个电话号码在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面求后面4个数全不相同的概率个数全不相同的概率.(设后面设后面4个数中的每一个数个数中的每一个数都等可能地取自都等可能地取自0,1.2,8,9). 例例 ：历史上有名的历史上有名的“生日问题生日问题” 某班级有某班级有n个人（个人（n365）问至少有两）问至少有两个人的生日在同一天的概率

9、是多大？个人的生日在同一天的概率是多大？ 表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97 的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97 都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。但与自己生日相同的概率：n=50,p=0.1258n（）（）0.120.410.510.710.890

10、.97P(A) 如下表：（三）概率的定义及性质（三）概率的定义及性质 在随机试验样本空间在随机试验样本空间 上对上对每个事件每个事件A都有对应的实数都有对应的实数P（A），），如果这样的如果这样的P（A）满足：满足： 1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）1； 2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P（）=1； 3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0。 4、A1，A2，Ai为互斥事件，则为互斥事件，则P（A1+A2+Ai）= P（A1）+ P（A2）+ P（Ai）则称则称P（A）为事件为事件A的概率的概率定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任

11、意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为SSAPA )(说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.四、四、几何概率几何概率.),(几何概率几何概率定的概率称为定的概率称为量来合理规量来合理规这样借助于几何上的度这样借助于几何上的度区域的度量区域的度量的子的子是构成事件是构成事件是样本空间的度量是样本空间的度量其中其中ASSA 那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为, tyx 例8 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这

12、段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,刻刻乙两人到达的时乙两人到达的时分别为甲分别为甲设设yx故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以 x, y 表示平面上点的坐标 ,则有 t T T（四）概率的几何概（四）概率的几何概型型在在古典概型中，利用等可能性的古典概型中，利用等可能性的概念，成功概念，成功地计算了某一类问题的地计算了某一类问题的概率；不概率；不过，古典过，古典概型要求可能场合的总数必须有限。因此历史上有不少人企图把这种做概型要求可能场

13、合的总数必须有限。因此历史上有不少人企图把这种做法推广到法推广到有无限多结果而又有某种等可能性有无限多结果而又有某种等可能性的场合。这类问题一般可以通过几何的场合。这类问题一般可以通过几何方法来求解。方法来求解。【例例1】某人午觉醒来某人午觉醒来,发觉表停了发觉表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台报时想听电台报时, 假定电台每小假定电台每小时报时一次，求他等待的时间短于时报时一次，求他等待的时间短于10分钟的概率。分钟的概率。【例例2】约会问题约会问题 两人相约两人相约8点到点到9点在某地会面，先到者等候另一人点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，分钟，过时就可离去，试求

14、这两人能会面的概率试求这两人能会面的概率【例例3】蒲丰蒲丰(Buffon)投针问题投针问题在平面上画有等距为在平面上画有等距为a的一些平行线，今向的一些平行线，今向此平面任意投一长为此平面任意投一长为b（ba）的针，试求）的针，试求此针与平行线相交的概率此针与平行线相交的概率。【不讲不讲】 （五）概率的一般运算（五）概率的一般运算5.1加法原理加法原理 定理定理1两个互不相容事件的和的概率，两个互不相容事件的和的概率，等于这两个事件的概率之和：等于这两个事件的概率之和： 由此定理推广得下面定理由此定理推广得下面定理2 定理定理2 有限个互不相容事件的和的概率，有限个互不相容事件的和的概率，等于

15、这些事件的概率之和：等于这些事件的概率之和：推论推论1 如果一组事件构成互不相容的完如果一组事件构成互不相容的完备事件组，则这些事件的概率之和为备事件组，则这些事件的概率之和为 1. 推论推论2 对立事件的概率之和为一对立事件的概率之和为一 定理定理3任意二事件的和的概率，等于这二任意二事件的和的概率，等于这二事件的概率的和减去这二事件的积的概率事件的概率的和减去这二事件的积的概率. 定理定理4 任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算：任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算： 注注:特别是只有三个事件特别是只有三个事件A、B、C时，有时，有 5.2 条件概率条件概率.)()()|(,

16、0)(,条件概率条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设ABBPABPBAPBPBA ABAB);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 性质性质; 1)(0: ) 1 (BAP有界性0)B|(PBP 1,)(2)规范性规范性例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率岁以上的概率为为0.8，活，活到到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4，如果，如果现在有一现在有一个个20岁的这

17、种岁的这种动物动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率岁以上的概率是多少是多少? 1/2例例1 从自然数从自然数1-100中随机取出一个，设中随机取出一个，设A=“偶偶数数”，B=“3的倍数的倍数”，求已知该数被，求已知该数被3整除的情况整除的情况下为偶数的概率。下为偶数的概率。16/33则有则有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个事件个事件为为设设推广推广则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB).()()(, 0)(APABPABPAP 则有则有设设)()()()()(1212131

18、2121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP注：注：独立事件独立事件定义 对于两个事件A和B，若P（AB）=P（A）P（B）， 则称A、B为相互独立事件 等价于：P（A|B）=P（A），即B的发生对A没有任何影响0)( BAP独立与互斥的关系独立与互斥的关系两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系性质性质 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立. 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立.；与与 BA；与与 BA.BA

19、 与与例1：甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.例3：加工某一零件共需经过三道工序加工某一零件共需经过三道工序.设第一、二、三道工设第一、二、三道工序的次品率分别是序的次品率分别是2%、3%、5%.假定各道工序是互不影假定各道工序是互不影响的响的,问加工出来的零件的次品率是多少？问加工出来的零件的次品率是多少？ .,2;, 2 , 1,1,21210021的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE1. 样本空间的划分样本空间的划分1A2A3AnA1nA5.4 全概率公式全概率公式2. 全概率公全概率公