第3章 点、直线、平面投影

1、工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作第第3章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影3.1 投影的基本知识投影的基本知识3.2 点的投影点的投影3.3 直线的投影直线的投影3.4 平面的投影平面的投影工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作1.投影法：一束光线从S点出发，通过物体ABC，在平面P上得到物体的影子abc,光源S称为投影中心，光线称为投影线，平面P称为投影面， abc称为投影。一、投影的概念一、投影的概念返回首页工工 程程 图图 学学临沂大

2、学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 投影面投影面P a 投影投影投射线投射线bS 投影中心投影中心A 空间点空间点B 将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。到物体影子的方法称为投影法。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影正投影斜投影斜投影用于画透视图用于画透视图用于画斜轴测图用于画斜轴测图用于画工程图样及正轴测图用于画工程图样及正轴测图二、投影的分类二、投影的分类投射线汇交于一点。投射线汇交于一点。投射线互相平行。投射线互

3、相平行。平行投影法平行投影法工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作1.中心投影法中心投影法PABCabcSPABCabcS物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变投影特性投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差 投影线交汇于一点的投影方法称为中心投影法，所得到的图形称为中心投影。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作2.平行投影法平行投影法PABCabc(a)斜投影PABCabc（c） 正投影投影特性投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好投射线互相

4、平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面 若将投影中心移至无穷远，则投影线可视为互相平行，这种投影线互相平行的投影方法，称为平行投影法。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作1.投影的同类性投影的同类性点的投影仍是点；直线的投影在一般情况下仍是直线；点的投影仍是点；直线的投影在一般情况下仍是直线；平面图形的投影在一般情况下是原图形的类似形平面图形的投影在一般情况下是原图形的类似形. .2.投影的从属性投影的从属性 若点在直线上，则点的投影仍在该直线的投影上。若点在直线上，则点的投影仍在该直线的投影上。 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院

5、 王涛王涛 制作制作 三、三、 正投影法的投影特点正投影法的投影特点1. 1. 实形性实形性 当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。实形。 2. 2. 积聚性积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。线段。 3. 3. 类似性类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。4.4.从属性从属性 若某一点从属于某一条直线，则点的投影必从属于直线的投影。若某一直线（或点）从属于某一平面，则直线（或点）的投影必从属于该平面的投影。 5

6、.5.平行性平行性 相互平行的两条直线（或两个平面）他们的投影仍然保持平行。 6.6.定比性定比性 若某一点定分某一线段，则点的投影必定定分线段的投影。 返回工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作1. 1. 实形性实形性当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。CDEBAHabedc返回工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作edca（b）CDEBAH2. 2. 积聚性积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段

7、。返回工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作3. 3. 类似性类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。返回工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作采用多面投影采用多面投影。 Pb B1B2B3 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。APa 解决办法？解决办法？返回首页工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作（2）、点在）、点在HVOXaAZYXaA点的水平投影点的水平投

8、影 aA点的垂直投影点的垂直投影 a 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的距离的距离. 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作a 点点A的正面投的正面投影影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。WHVoXa aa AZY工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作WVHXYZOVHWAa

9、a a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作点的点的投影投影规律规律:XYZOVHWAaa a xaazay a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a OZ轴轴YZaza XYayOaaxaya 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作点的三面投影和坐点的三面投影和坐标的标的关系关系为：为： 水平投影

10、水平投影 a 反映反映A点点X和和Y的坐标；的坐标；正面投影正面投影 a反映反映A点点X和和Z的坐标；的坐标；侧面投影侧面投影a反映反映A点点Y和和Z的坐标。的坐标。yxzOAVHWaaaXZY画出画出A点投影图和举例点投影图和举例工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作a aaxa a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 d

11、 d e e f f e f dzxYW YH0 d a a a工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作点的投影规律 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的投影时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即aa上0X ；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a a上0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作点的投影与直角坐标的关

12、系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作各种位置点的投影空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点 点的两个坐标为零，

13、其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bXYHYWZ工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作a a aXZYWYHOb bb 985工工

14、程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作重影点问题：重影点问题： 空间两点在某一投影空间两点在某一投影面上的面上的投影重合为一点投影重合为一点时，则称此两点为时，则称此两点为该投该投影面影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点被挡住的投被挡住的投影加影

15、加( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a a c c ( )a c工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 两点确定一条直线，将

16、两点的同名投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。用直线连接，就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabmaa a b b b直线投影的基本特性直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下， 直线的投影直线的投影仍然为直线，特殊情况为一仍然为直线，特殊情况为一个点。个点。返回首页

17、工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作2 2、 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于

18、某一投影面工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投投 影影 特特 性：性：b a aba b b aa b ba 水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa b b

19、工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作铅铅垂垂线线正正垂垂线线侧侧垂垂线线工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 反映线段实长。且垂直反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理

20、学院 王涛王涛 制作制作投影特性：投影特性： 三个投影都缩短。三个投影都缩短。即即: 都不反映空间线段都不反映空间线段的实长及与三个投影面的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。投影轴都倾斜。abb a b a 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 若点在直线上若点在直线上, 则则点的投影必在直线的同点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间同名投影分割成与空间相同的比例。即：相同的比例。即： 若点的投影有一个不若点

21、的投影有一个不在直线的同名投影上，在直线的同名投影上， 则则该点必不在此直线上。该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作ABbbaaXOccCc工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作点点C不在不在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院

22、 王涛王涛 制作制作例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理a b k abka b k 另一判断法另一判断法?工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作例题例题3 3 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作平平行行相相交交交交叉叉垂垂直直相相交交工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理

23、学院 王涛王涛 制作制作空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平行，空间两直线平行，则其各则其各同名投影同名投影必相必相互平行，反之亦然。互平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDabcdc a b d (a)工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作

24、制作b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。(b)求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相交，则其同名投影必相交，且交点

25、的投影必符合空间一点的投影规律且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作1 (2 )3(4 )投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判

26、断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？12d b a abcdc3 4 两直线相交吗？两直线相交吗？工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的判断重影点的可见性时，需要看可见性时，需要看重影点在另一投影重影点在另一投影面上的投影，坐标面上的投影，坐标值大的点投影可见，值大的点投影可见，反之不可见，不可反之不可见，不可见点的投影加括号见点的

27、投影加括号表示。表示。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作例题例题 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。在该投影面上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面又因又因 BCbc故故 bc ABba平面平面因此因此 bcab即即 abc为直角为直角直

28、线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直a c b abc.证明：证明：ABCabcH工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作d abca b c dAB为正平线为正平线, 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作eeeecc例（）例（）已知直线已知直线AB的两面的两面投影和投影和C点点的水平投影的水平投影,试过试过C点作点作一条直线一条直线CE垂直于垂直于AB,求直线求直线CE的两面的两面投影。投影。 cbabaOX工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作

29、制作返回首页工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似

30、原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作铅铅垂垂面面正正垂垂面面侧侧垂垂面面工工 程程 图图

31、 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作VWHPPHABCacbababbaccc工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作VWHQQV ababbacccAcCabB工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作VWHSWS CabABcabbbaaccc工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空

32、间平面与另该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作水水平平面面正正平平面面侧侧平平面面工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作VWH CABabcbacabccabbbaacc工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作VWH cabbacbcabacabcbcaCBA工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学

33、理学院理学院 王涛王涛 制作制作 VWHabbbacccabcbacabcCABa工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 abcbacab

34、abbaccbacCAB工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。（1）平面上取任意直线）平面上取任意直线工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作abc

35、b c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面面的距的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图

36、图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作面上取点的方法：面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 首首先先面面上上取取线线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作ddabcabcee工工 程程 图图

37、学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作abcbacmnnm工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作例：在平例：在平面面ABC上上取一点取一点K，使点使点K在在点点A之下之下15mm、在点在点A之之前前20mm处。处。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作包括包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。（一）平行问题（一）平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包括包括 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平

38、行。线，则该直线与此平面必相互平行。返回节首工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平

39、面工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss

40、结论：两平面平行结论：两平面平行工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试给定。试过点过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点

41、。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。情况。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线

42、，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21判别其可见性求交点工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点平投影

43、积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共交线是两平面的共有线，有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面

44、的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作可通过正面投影直观地进可通过正面投影直观地进行判别。行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正正垂面垂面，它们的正面投影都积，它们的正面投影都积聚成直线。聚成直线。交线必为一条正交线必

45、为一条正垂线垂线，只要求得交线上的一只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。个点便可作出交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，在从正面投影上可看出，在交线左侧，平面交线左侧，平面ABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并并判别可见性。判别可见性。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作b c f h a e abcefh1(2)空

46、间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的正是一水平面，它的正面投影有积聚性。面投影有积聚性。a b 与与e f 的交的交点点m 、 b c 与与f h 的交点的交点n 即为即为两个共有点的正面投影，故两个共有点的正面投影，故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可可见，见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影

47、点的水平投影n位位于于def的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平所确定的平面内，但不位于面内，但不位于DEF这个图形内。这个图形内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m kmk 互交互交工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作 重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相两组相交直线对应平行。交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有四、直线与平面的交点及平面与平面的交

48、线是两者的共有点或共有线。点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。尤其是特殊位置平面的投影特性。工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 工工 程程 图图 学学临沂大学临沂大学 理学院理学院 王涛王涛 制作制作二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的