轮复习精品同步：第1部分拉分题：压轴专题(3)第21题解答题“函数、导数与不等式”的抢分策略(通用版)

1、1. (2019武昌调研)已知函数f(x)=(入汁1)lnxx+1.若匸0，求f(x)的最大值；f(x)(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：0.x113122. (2019肥质检)已知函数f(x)=3x2(a+2)x+x(aR).(1)当a=0时，记f(x)图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；xe设函数g(x)=e-(e为自然对数的底数)，若对于？x0,f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.1一a3. (2019兰州模拟)已知函数f(x)=Inxax+一1(aR).x1(1)当0vav2时，讨论f(x)的单调性；设g(x)=x22bx

2、+4.当a=寸时，若对任意X1(0,2)，存在x?1,2,使咕)g(x2),求实数b的取值范围.xx4. (2019江苏高考)已知函数f(x)=a+b(a0,b0,a1,b工1).、九1(1) 设a=2,b=2. 求方程f(x)=2的根； 若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值.(2) 若0vav1,b1,函数g(x)=f(x)2有且只有1个零点，求ab的值.1.解：(1)f(x)的定义域为(0,).当入=0时，f(x)=Inxx+1.1则f(x)=丄一1，令f(x)=0，解得x=1.x当0VXV1时，f(x)0,.f(x)在(0,1)上是增函数；当x1时，f(x

3、)V0f(x)在(1,+)上是减函数.故f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0.入x1(2)证明：由题可得，f(x)=入nx+1.x由题设条件，得f1)=1，即匕1.f(x)=(x+1)lnxx+1.由(1)知，Inxx+1V0(x0,且xm1).当0Vxv1时，f(x)=(x+1)lnxx+1=xlnx+(Inxx+1)V0，f(x)0.当x1时，f(x)=Inx+(xlnxx+1)=Inxx|nx1乙0.f(x)综上可知，0.x12. 解：(1)f(x)=x2(a+2)x+1.设P(x，y)，由于a=0，.k=x22x+10，即kmin=0.ee(1X)(2)由g(x)=e-，得g(x)

4、=x2，易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+s)上单调递减，g(x)wg(1)=0，由条件知f(1)g(1)，可得aw0.当aw0时，f(x)=x2(a+2)x+1=(x1)2ax(x1)20.-f(x)g(x)对？x(0，+)成立.综上，a的取值范围为(一g，0.1a3. 解：(1)因为f(x)=Inxax+1，x21a1axx+1a所以f，(x)=a+=2，x(0，+g)，xxX1令f(x)=0，可得两根分别为1，-1，a11因为0vaV2，所以1-110，当x(0，1)时，f(x)V0，函数f(x)单调递减;当xf(x)0，函数f(x)单调递增;当x1-1,+R时，f(x)v0

5、,函数f(x)单调递减.(2)a=*0,2,-1=3?(0,2)，由(1)知，当x(0,1)时，f(x)v0，函数f(x)单调递减；当x(1,2)时，f(x)0,函数f(x)单调递增，1所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-7对任意冷(0,2)，存在X21,2,使f(x1)g(x2)等价于g(x)在1,2上的最小值不大于1f(x)在(0,2)上的最小值2，(*)又g(x)=(xb)2+4b2,x1,2,所以,当b0,此时与(*)矛盾；当Kbw2时，g(x)min=4b20,同样与(*)矛盾；1 当b2时，g(x)min=g(2)=84b,且当b2时，84bv0,解不等式84bw1,1

6、7可得b丁,8所以实数b的取值范围为17,.14. 解：(1)因为a=2,b=2，所以f(x)=2x+2x. 方程f(x)=2,即2x+2x=2,亦即(2x)22X2x+1=0,所以(2x1)2=0,即2x=1,解得x=0. 由条件知f(2x)=22x+22x=(2x+2x)22=(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0,(f(x)2+4所以mW对于xR恒成立.f(x)(f(x)2+444(f(0)2+4而=f(x)+2f(x)(x)=4，且=4，所以mW4,故实数m的最大值为4.因为函数g(x)=f(x)2=ax+bx2有且只有1个零点，而g(0)=f(0)2=

7、a0+b02=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g(x)=axina+bxlnb,又由0vav1,b1知Inav0,Inb0,所以g(x)=0有唯一解x0=log卫辟.令h(x)=g(x)，则h(x)=(ax|na+bxlnb)=ax(lna)2+bx(inb)2,从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-m,+m)上的单调增函数.于是当x(a,xo)时，g(x)Vg(xo)=0;当x(xo,+)时,g(x)g&)=0.因而函数g(x)在(a,xo)上是单调减函数，在(xo,+a)上是单调增函数.下证xo=0.若xoV0,贝yxoVx0v0,于是gxoVg(0)=0.又g(loga2)=aloga2+bloga22aloga22=0，且函数g(x)在以詈和也2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在2和loga2之间存在g(x)的零点，记为x