辅导八：锐角三角函数知识点总结与典型例题

1、锐角三角函数知识点总结与训练1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。a2b2c22、如下图，在RtABC中，/C为直角，则/A的锐角三角函数为（ZA可换成/B）:定义表达式取值范围正弦A的对边sinA斜边.asinAc0sinA1（ZA为锐角）余弦八A的邻边cosA斜边.bcosAc0cosA1（ZA为锐角）正切丄八A的对边tanA厶,A的邻边atanAbtanA0（ZA为锐角）关系sinAcosBcosAsinBsin2Acos2A1SinA=cosAtanA13/103、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinAcosBco

2、sAsinBsinAAcoB（9®0A）（得sABsjn）（90a入）4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）三角函数0°30°45°60°90°sin01匹迴1222cos1逅4210222tan0匹14335、正弦、余弦的增减性：当0°<<90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，

3、其中必有一边所有未知的边和角。依据：边的关系：a2b2c2;角的关系：A+B=90。：边角关系：三角函数的定义。（注意：尽量避免使用中间数据和除法）8、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。铅垂线k视线仰角水平线'俯角殂视线（2）坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i-。坡度一般写成1:m的形式，女口i1:5等。把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么i一tan。I3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225

4、76;。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。韩宜浦三角彩的基韦焚型及其解法如下表:类型胡条件雜|两边两酹边旅fJq'+护、tanA=(ZBO6-ZAb一直馳i,淞Cb=7ca-a21anA=)ZA9L-ZAc_边1彌1直角边3,锐會止ZB=90c-ZAPb-3ratan£sinZ斜边G税甬AZB=9'°-ZA,3Ftsink,b

5、=c*cosA解直甬三甬形的黒跻可械括丙区时（斜認）鼎弦近弦，氽弦），无斜用妙（正暂），宁来费除，取原就中耳其會次是当己知或家解中弃收时，可用正弦或余弦;无斜边时，就用正骸；当所議元紊旣可年乗法又可用除锻时*则遇常用乗法*不用徵遙；旣可厢巳知数据又可用中闾数据衆解时，则职巳知数据，忌用中間数瓠6解宜甬三浦坯的基豺知识衣RtA姑0中f=0=90*厶4，ZB*/X*所对的边分别为住，b,c(1) 三边玄间萌矢系；/+护二/(2) 蜕耳1之间的关莠:：zS4+ZS=ZC=90a.bcosE=；sin£-:ccCcb._btan丘=一a(4)面稅公式：二.lab=Lch22(h为斜边上的高)

6、类型一：直角三角形求值例1.已知RtABC中，C90,tanA3-,BC12,求AC、AB和cosB4(3) 边角空阊的关茶：irtA=-:cosA=-;tan月=?：例2.已知：如图，OO的半径OA=16cm,OC丄AB于C点,sinAOC求：AB及OC的长.例3已知A是锐角，sinA，求cosA,tanA的值17对应训练：1. 在RtABC中，/C=90°若BC=1,AB/5，贝UtanA的值为452亦1A.B.C.一D.2552那么tanA的值等于（32.在ABC中，/C=90°sinA=,5A.3B.4C.3D.-5543类型二.利用角度转化求值：例1已知：如图，R

7、tABC中，/C=90°.D是AC边上一点，DE丄AB于E点.DE:AE=1:2.求:sinB、cosB、tanB.例2.如图，直径为10的OA经过点C（0,5）和点0（0,0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos/OBC的值为（）1 .334A.-B.C.一D.-2 255对应训练：33如图，OO是厶ABC的外接圆，AD是OO的直径，若OO的半径为，AC2，则2sinB的值是（）2 3A.-B.-3 2434.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处.已知AB8，BC10，AB=8,则tan/EFC的值为3 43A.B.C.4 35类型三.

8、化斜三角形为直角三角形C.D.例1如图，在ABC中，/A=30°，/B=45，AC=2、3，求AB的长.例2.已知：如图，在ABC中，/BAC=120°,AB=10,AC=5.求：sin/ABC的值.对应训练若AB=2,1. 如图，在RtABC中，/BAC=90°，点D在BC边上，且厶ABD是等边三角形.2. 已知：如图，ABC中，AB=9,BC=6,AABC的面积等于9，求sinB.D.12cm2例1如图所示，A.1 B.-2E1t亠*.；詞!JyfJ丄L牡5ABC的顶点是正方形网格的格点，贝ysinA的值为（）C.1010D.23*5*5对应训练:1如图，AB

9、C的顶点都在方格纸的格点上，贝UsinA=AB2正方形网格中,/AOB如图放置，贝Utan/AOB的值是（）B.警D.2类型五：取特殊角三角函数的值1）.计算：2cos30.2sin45tan6022）计算：tan60sin452cos303）计算:3一1+（2i）0-弓辭0乙tan45°sin45于渝305）.计算：tan45sin30；;1cos60类型六：解直角三角形的实际应用C例1.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°45°如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）ADBA.200米B.200

10、.；米C.220一；米D.100（.兀）米例2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知/BAC=60°,/DAE=45°.点D到地面的垂直距离DE32m，求点B到地面的垂直距离BC.例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角/DCA=60°,测得山顶B的仰角/DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长.对应训练：1如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进2

11、0米，到达点C,再次测得点A的仰角为60°,贝幽体AB的高度为()A.10.米B.10米C.20二米D.：H；米2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45。方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处(1) B处距离灯塔P有多远？(2) 圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由.类型七：三角函数与圆：例1已知：如图，BC是OO的直径，AC切OO于点C,AB交O0于点D,若AD：DB=2:3,A

12、C=10,求sinB的值.例2.已知：在OO中,AB是直径，CB是OO的切线，连接AC与OO交于点D,(1)求证：/AOD=2/C4DO若AD=8tanC=，求OO的半径。3对应训练:1如图，DE是OO的直径，CE与OO相切,一个点F,使EF=BF.(1) 求证:BF是OO的切线；4(2) 若cosC-,DE=9，求BF的长.5E为切点.连接CD交OO于点B,在EC上取2已知：如图，ABC内接于OO,过点B作OO的切线，交CA的延长线于点E,ZEBC=21 ab/C.求证：AB=AC若tan/AB圧丄，(i)求乂巴的值；(ii)求当AC=2时，AE2 BC的长.复习题1.如图4，沿AE折叠矩形

13、纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB8,2.3.4.如图OA如图tan%一ra5，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点.3，AB1,则点A1的坐标是（6，在等腰直角三角形ABC中,1DBA，贝UAD的长为（5A.2B2C如图8，RtABC中，CA15，则BC边的长为如图10,在矩形ABCD中，90,90，AC2：2D是直角边AC上的点,E、F、G、H分别为AB、A落在A处，已知D为AC上一点，若ADDB2a,BC、CD、DA的中点,5.EFGH的周长为图1240,则矩形ABCD的面积为ABAC，BDAC于D,BC6,DC1AD,2BC10,AB=8,则tan/EFC的值为（

14、）A.3434B.-C.D.4355则cosC7.等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为8.等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为A.15°B.30°C.45°D.609. ABC中，/A=60°,AB=6cm,AC=4cm，则ABC的面积是A.23cm2B.43cm2C.6，3cm2D.12cm210. 在菱形ABCD中,ABC60,AC=4,则BD的长是（）A8.3b4.3C、2、3d、8ADn16卫求/B的度数及311. 如图，在RtABC中，/C=90°,AC=8,/A的平分线12. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上,沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度.3 1（参考数值：tan31°-，sin31°