电磁场及电磁波第一章矢量分析

1、） 理论体系严谨理论体系严谨 抽象抽象-看不见、摸不着看不见、摸不着 要求具有较深厚的要求具有较深厚的数学功底数学功底和较强的和较强的空间想象能力空间想象能力 较好的逻辑推理能力较好的逻辑推理能力 应用广泛应用广泛 电磁场与电磁波电磁场与电磁波通信原理通信原理光纤通信光纤通信微波技术与天线微波技术与天线无线通信无线通信信号与系统信号与系统普通物理普通物理高等数学高等数学复变函数复变函数线性代数线性代数利用电磁波作为媒介传输信息：利用电磁波作为媒介传输信息：无线通信、广无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位、光纤通信等

2、技术。无线局域网、卫星定位、光纤通信等技术。基于静电场对于带电粒子具有力的作用：基于静电场对于带电粒子具有力的作用：静电静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术。复印、静电除尘以及静电喷漆等技术。利用磁场力的作用：利用磁场力的作用：电磁铁、磁悬浮轴承以及电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等。磁悬浮列车等。 1.1 1.1 场的概念场的概念 1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 1.3 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 1.5 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹

3、定理 本章重点内容本章重点内容 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 标量：标量：只有大小而没有方向的量。如电压只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q 等。等。 矢量：矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 常矢：常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力。若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力。 变矢：变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，

4、如速度。若模和方向二者至少一个发生变化，如速度。矢量描述：矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。表示等多种方式来描述。A A ( )A t A ( )AA t 矢性函数：矢性函数：设设t t是数性变量，是数性变量， 为变矢，对于某区间为变矢，对于某区间Ga,b内的每一个数值内的每一个数值t t， 都有一确定的矢量都有一确定的矢量 与之对应，则与之对应，则称称 为数性变量为数性变量t t的矢性函数，记为：的矢性函数，记为： 物理量：物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如

5、电压量和标量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q等。等。 场：场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。如温度场，电位场等。 标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。温度、密度等。 矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。电场、磁

6、场、流速场等。 场的属性：场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续。有限个点和表面外，其物理量处处连续。 场的分类场的分类按与时间的关系分：按与时间的关系分：静态场静态场/ /时变场，各处物理量是时变场，各处物理量是否随时间变化否随时间变化按与方向关系分：按与方向关系分：标量场标量场/ /矢量场，各处物理量是标矢量场，各处物理量是标量还是矢量量还是矢量 空矢或零矢：空矢或零矢：一个大小为零的矢量一个大小为零的矢量 单位矢量：单位矢量：一个大小为一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分

7、别沿用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。轴分量的方向。 矢量的表示方法矢量的表示方法A AeA e 矢量一般表示矢量一般表示： ，A为矢量为矢量 的大小，的大小， 为方向为方向 xyzeee、 、xyzre Xe Ye Z xxyyzzAe Ae Ae A 1 2222xyzAAAA 任一矢量可以表示为：任一矢量可以表示为：r 位置矢量：位置矢量：从原点指向空间任一点从原点指向空间任一点P的矢量的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。唯一地被确定。直角坐标系中点直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为：

8、的位置矢量表达式为： 场的场的 场图场图 表示表示 研究标量场和矢量场时，用研究标量场和矢量场时，用“场图场图”表示场变量在表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。空间逐点演变的情况具有很大的意义。 对标量场对标量场 等值面图表示：等值面图表示：空间内标量值相等的点集合形成的空间内标量值相等的点集合形成的曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：等值线图表示：等值线图表示：等值面在二维空间称为等值线。如等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：等高线等。等值线方程：( , , )x y zconst ( , )x yconst 10020030

9、0400等值面和等值线作用：等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的帮助了解标量场在空间中的分布情况。分布情况。等高线作用等高线作用根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度2 2根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度地势的陡度A A点高点高300300B B点高点高300300A A点比点比B B点陡点陡越密就越陡越密就越陡AB 对矢量场对矢量场矢量线表示：矢量线表示：用一些有向矢量线来形象表示矢量在用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。空间的分布，

10、称为矢量线。如静电场的电力线等。 特点：特点：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同量方向相同 矢量线方程（直角坐标系）：矢量线方程（直角坐标系）：xyzdxdydzAAA 矢量线的作用矢量线的作用 根据矢量线确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向1 1 根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大大小及变化趋势小及变化趋势。ABA A点受到向下电场力点受到向下电场力B B点受到向下电场力点受到向下电场力A A点比点比B B点受到的力大点受到的力大越密矢量越大越密矢量越大例例1-1

11、1-1 求数量场求数量场=(x+y)2-z 通过点通过点M(1, 0, 1) )的等的等值面方程。值面方程。解：解：点点M的坐标是的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数，则该点的数量场值为量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为 2()0 xyz2()zxy 或或 ：例例1-2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程。的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 222dxdydzxyx yy z2222dxdyxyx ydxdzxyy z 1222zc xxyc 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。 222xyzAx

12、y ex yezy e 1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数(标量标量) 设设M0是标量场是标量场=(M)中的一个已知点，从中的一个已知点，从M0出发出发沿某一方向引一条射线沿某一方向引一条射线l, 在在l上上M0的邻近取一点的邻近取一点M，MM0=，若当，若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时) 0()()MM 的极限存在，称此极限为函数的极限存在，称此极限为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，记为方向的方向导数，记为 000()()limMMMMMl 结论：结论：0Ml )(M 0Ml 方向导数方向导数 是函数是函数 在点在点 处沿方向处沿方向 对对距离的变化率距离的

13、变化率0l 表明表明M0处函数处函数 沿沿l方向增加，反之减小方向增加，反之减小l若函数若函数=(x, y, z)在点在点M0(x0, y0, z0)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数必定存在，且为方向的方向导数必定存在，且为0coscoscosMlxxz 解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为122coscoscos333 22222(),uxutuxyxzyzzz coscoscosuuuulxyz 122 2211333 43Ml 而而 数量场在数量场在 l 方向的方向导数为方向的方向导数为 点

14、点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 2221 22 22333xyxyzzz 例例1-3 求数量场求数量场 在点在点M(1, 1, 2)处沿处沿 方向的方向导数方向的方向导数22xyuz 22xyzleee 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度(矢量矢量)在直角坐标系中在直角坐标系中xyzgradGeeexyz 梯度的定义：梯度的定义：在标量场在标量场 中的一点中的一点M处，其处，其方向方向为为函数函数 在在M点处变化率最大的方向，其点处变化率最大的方向，其模模又恰好等又恰好等于最大变化率的矢量于最大变化率的矢量 ，称为标量场，称为标量场 在在M点处的点处的梯度，用梯度，用 表示。表示

15、。()M ()M ()M G ()gradM 方向：方向：函数函数 在在M点处变化率最大的方向点处变化率最大的方向()M |G 大小：大小：最大变化率的矢量的模最大变化率的矢量的模哈米尔顿（哈米尔顿（Hamilton）算子）算子定义：定义： (读作读作del)是一个是一个矢性微分算子矢性微分算子 （是一个微分符号，（是一个微分符号， 同时又要当作矢量看待）同时又要当作矢量看待）直角坐标系中，算子直角坐标系中，算子的表达式为：的表达式为：eeexyzxyz 补充：补充：coscoscoslxyz在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 xyzGeeexyz 已知：已知： 证明：证明：标量场标量场 在

16、任意方向在任意方向l上的方向导数为上的方向导数为 ()M 0coscoscosxyzleee 00cos( ,)G lGG ll 证明沿证明沿 方向的方向导数方向的方向导数 最大，且最大，且G maxGl l xyzGeeexyz 已知：已知： 0cos( ,)1G l maxGl 与与 方向一致，且方向一致，且G l 00cos( ,)lGG ll 梯度的性质：梯度的性质：)(M )(M 标量场标量场 中每一点中每一点M处的梯度垂直于过该点的等处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数值面，且指向函数 的增大的增大方向方向。即梯度为该等值。即梯度为该等值面的法向矢量。面的法向矢量。在某点在某点

17、M处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。度在此方向上的投影。 即：梯度和该方向的单位矢量的点积。即：梯度和该方向的单位矢量的点积。任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值。任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值。梯度运算法则梯度运算法则2200()()()()()()11()() ( )( ) ( )( )gradccgrad cucgraducuc ugrad uvgradugradvuvuvgrad uvvgraduugradvuvv uu vuugradvgraduugradvv uu vvvvvgrad f ufu gru

18、adf ufuu 或或或或或或或或或或或或设设c c为一常数，为一常数，u u(M)(M)和和v v(M)(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。 例例1-4 设标量函数设标量函数r是动点是动点M(x, y, z)的矢量的矢量r=xex+yey+zez的模，的模， 即即 ， 证明：证明： 222zyxr. rrrgradr证明：证明： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrgradrzyx222222因为因为 rzzyxzzyxxzrryzyxyzyxyyr222222222222所以所以 rr)(1rzeyexererzeryerx

19、rgradrzyxzyx1()xyzgradrrxeyezer 点点M处的坐标为处的坐标为 x=1, y=0, z=1, 且且2222rxyz1122xzgradrree r在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 0Mrr ll 解：解： r的梯度为的梯度为例例1-5 求求r在在M(1,0,1)处沿处沿 的方向导数的方向导数22xyzleee 而而 0122333xyzlleeel 所以所以 11021213332222Mrl 所以所以r在在M点的梯度为点的梯度为1.3.1 1.3.1 矢量场的通量（矢量场的通量（fluxflux）一、面元矢量：一、面元矢量：面积很小的有向曲面面积很

20、小的有向曲面dSnSd 方向：方向：1 1、开曲面上的面元、开曲面上的面元 2 2、闭合面上的面元、闭合面上的面元确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后，沿绕行方向按右手沿绕行方向按右手螺旋螺旋拇指方向拇指方向闭合曲面的闭合曲面的外法线方向外法线方向二、通量（标量）二、通量（标量）ASd1、 穿过面元穿过面元的通量的通量 A2、 穿过整个曲面穿过整个曲面S的通量的通量A3、 穿过闭合曲面穿过闭合曲面S的通量的通量dSASdA cos SSdSASdA cos SSdSASdA cos通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义

21、：的通量的物理意义：0，穿出多于穿入，穿出多于穿入，S S内有发出矢量线的内有发出矢量线的正源正源0 0，穿出少于穿入，穿出少于穿入，S S内有汇集矢量线的内有汇集矢量线的负源负源=0 0，穿出等于穿入，穿出等于穿入，S S内内无源无源，或，或正源负源代数和正源负源代数和为为0 0例例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为：电位移矢量为： ),(42rrrrrezeyexrrrqDzyx求穿过原点为球心、求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量为半径的球面的电通量(见图见图 1-4)。 图 1-4 例 1-8 图 解

22、：解： 222444SSSqD dSDdSdSRqRqRSD dS由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 divergence)divergence)VSdASV 0limA散度的定义：散度的定义：极限存在，此极限为矢量场极限存在，此极限为矢量场在某点的散度在某点的散度0limSVA dSdivAV 散度的定义式：散度的定义式：散度的物理意义：散度的物理意义：散度表征矢量场的通量源的分布特性。散度表征矢量场的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度散度值表征空间中通量源的密度通量密度通量密度0divA 正源正源负源负源0divA 无源无源0divA 若散度处处为零若散度处处为零矢量场为无

23、源场矢量场为无源场散度的计算：散度的计算：在直角坐标系下：在直角坐标系下：()xyzxxyyzzeeeA eA eA exyzyzxAAAdivAxyz A 哈密尔顿算子哈密尔顿算子A 散度符合规则：散度符合规则：()ABAB ()AAA 例例1-9 原点处点电荷原点处点电荷q产生电位移矢量产生电位移矢量试求电位移矢量试求电位移矢量 的散度。的散度。 02344qqDrrrr D 解：解：3334xyzqxyzDeeerrr 333,444xyzqxqyqzDDDrrr yzxDDDdivDDxyz 2222533()04qrxyzr 22534xDq rxxr 22534yDq rxyr 2

24、2534zDq rxzr r=0=0以外空间以外空间均为无源场均为无源场散度定理：散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。围该体积的封闭曲面的总通量。 VSSdAdVA应用：应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分将一个体积分变成等价的封闭面积分证明：证明：散度定理散度定理 VSSdAdVA证：证：将闭合曲面将闭合曲面S包围的体积包围的体积V分成许多小体积元分成许多小体积元dVi (i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，上的通

25、量，再叠加。由散度定义有：再叠加。由散度定义有：VSdAASV 0lim可得：可得：)()(niVASdAiSii 由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共表面上的通量表面上的通量等值异号等值异号，求和时互相抵消。有部分表面，求和时互相抵消。有部分表面在在S面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭面等于从封闭面S穿出的通量。因此有：穿出的通量。因此有： SniSiSdASdAi1 SniVidVAVASdA1)(例例 1-10 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为求求 Sr

26、dS xyzrxeyezeSVr dSrdV 解：解： 根据散度定理知根据散度定理知 而散度为而散度为 3xyzrxyz 所以所以 3343343SVVr dSrdVdVRR R为球面半径为球面半径1.4.1 1.4.1 矢量场的环量矢量场的环量（标量）（标量）(circulation)(circulation)环量的定义：环量的定义： ccdlAl dA cos结论：结论：矢量的环量也是一个标量矢量的环量也是一个标量矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源例如：例如：在

27、磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源环量的性质：环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性积分量，反映旋涡源总的分布特性解：解： 由于在曲线由于在曲线l上上z=0，所以，所以dz=0。 例例1-11 求矢量求矢量 (c是常数是常数)沿曲线沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量的环量 xyzAyexece A dl ()lydxxdy 2200sin(2cos )(2cos ) (sin )RdRRd R 222200sin(2cos )cosRdRRd 22220(sincos

28、)2cosRRd 220(2cos )RRd 22 R 第二次课结束1.4.2 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度（矢量）（矢量）(rotation)(rotation)一、环量面密度的定义（标量）一、环量面密度的定义（标量）若若Sl dAcS 0lim极限存在极限存在此极限即为该点的环量面密度。此极限即为该点的环量面密度。面元的方向：面元的方向：面元的方向与闭合曲线面元的方向与闭合曲线c的绕行方向成右手螺旋关系。的绕行方向成右手螺旋关系。结论：结论：面元矢量与面元矢量与旋涡面方向旋涡面方向垂直，环量面密度等于零垂直，环量面密度等于零面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大面元矢量与旋涡面方

29、向重合，环量面密度最大面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最大值大值二、旋度的定义（矢量）二、旋度的定义（矢量）max0limcSA dlrotAnS 旋度大小：旋度大小：最大环量面密度的数值最大环量面密度的数值旋度方向：旋度方向：环量面密度最大时的面元的方向环量面密度最大时的面元的方向AArot 引入哈密尔顿算子引入哈密尔顿算子在直角坐标系中在直角坐标系中xyzxyzeeeAxyzAAA yyzzxxxyzAAAAAAeeeyzzxxy 00limnASl dAPcS A结论：结论：旋度描述矢量旋度描述矢量 在该点的旋涡源强度。在该点的旋

30、涡源强度。nn矢量场在矢量场在P点处沿任一方向点处沿任一方向 的环量面密度为旋度的环量面密度为旋度在在 方向上的投影。方向上的投影。0 Arot若若 ，则为无旋场，反之为有旋场，则为无旋场，反之为有旋场开复课件网 2()0()0()()()()ABABAAAABBAABAAAA 22222222222xxyyzzxyzAA eA eA e 旋度的运算规则旋度的运算规则直角坐标系中直角坐标系中2 2为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子解：解：矢量场的旋度矢量场的旋度 例例1-12 求矢量场求矢量场 在点在点M(1，0，1)处的旋度以及沿处的旋度以及沿 方向的方向的环量面密度。环量面密度。()()()xy

31、zAx zy ey xz ez yz e 263xyzneee ()()()xyzeeeAxyzx zyy xzz yx ()()()xyzzy exz eyx e在点在点M(1，0，1)处的处的旋度旋度 2xyzMAeee 0222(263)263777263xyzxyzeeeneee 环量面密度环量面密度 方向的单位矢量方向的单位矢量 n 02631727777MAn 例例1-13 在坐标原点处放置一点电荷在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生，在自由空间产生的电场强度为的电场强度为 33()44xyzqqErxeyezerr 求自由空间任意点求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度电场

32、强度的旋度解：解：3334xyzeeeqExyzxyzrrr 33330334xyzqzyxzeeyzzxrrrryxexyrr 0 说明点电荷产生说明点电荷产生的场为无旋场的场为无旋场1.4.3 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 ()ScAdSA dl 旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上上的环量等于闭合曲线的环量等于闭合曲线c所包围曲面所包围曲面S上旋度的总和，上旋度的总和， 即即 式中：式中：S S是闭合路径是闭合路径l l所围成的面积。所围成的面积。 的方向与的方向与 的方向成右手螺旋关系。的方向成右手螺旋关系。dS dl 应

33、用：应用：将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。例例1-111-11的另一种解法的另一种解法 P19 16 17 1-111.5.1 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系 zzyx sincos002z zeee zezer cossin( sin )cosxyxyzzeeeeeeee 直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标系直角坐标系 zyxzeeeeee1000cossin0si

34、ncos zzyxeeeeee 1000cossin0sincos,zdlddlddldz 1231,1zdldldlhhhdddz zzzzdSdl dld dzdSdl dld dzdSdl dld dzdVdl dl dld d dz 对任意增量对任意增量d、d、d dz，P点位点位置沿置沿、 、z方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数拉梅系数（各方向的长度增量各方向的长度增量与各自坐标增量之比与各自坐标增量之比）为：）为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：1zeeez 22222211z 1.5.1 1.5.1 球面坐标系球面坐标系 cossinsincossinrzryrx0

35、002r eeer rerr sin cossin sincosrxyzeeee cos coscos sinsinxyzeeee ( sin )cosxyeee 直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系直角坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin eeeeeerzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossinP点沿点沿r、 方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数为：拉梅系数为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：

36、,sinrdldr dlrddlrd 1231,sinrdldldlhhr hrdrdd 22sinsinsinrrrrdSdl dlrd ddSdl dlrdrddSdl dlrdrddVdl dl dlrdrd d 11sinreeerrr 2222222211sinsinsinrrrrrr 1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 一、亥姆霍兹定理的简单表达是：一、亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场若矢量场F在无限空在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表