线性代数 第三章 向量组与线性方程组的解的结构

1、第一节 线性方程组的求解 在第一章我们讨论了当方程的个数与未知数的个 数相同情形下的线性方程组的解。接下来我们讨论更一般的线性方程组的解的情况。 对于方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）第三章 向量组与线性方程组的解的结构 我们称矩阵 为方程组（1）的系数矩阵，称矩阵 为方程组（1）的增广矩阵。 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mmnmmnnbaaabaaabaaaB21222221111211称方程组 （2）为与（1）所对应的齐次线性方程组。 000221122221211212111nmn

2、mmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa令 ， ，则方程组（1）和（2）分别可写成nxxxx21mbbbb21bxAnmOxAnm定理1： 元齐次线性方程组 有非零 解的充分必要条件是 。 nOxAnmnAR)(定理2： 元非齐次线性方程组 有解 （唯一解或无穷个解）的充分必要条件 是： 系数矩阵的秩 等于增广矩阵 的秩 。nbxAnm)(AR)(BR注意：（1） 当 时，方程组没有自由未知量，只有唯一解； nBRAR)()(当 时，方程组有 个自由未知量，因此这时有无穷个解，取这 个自由未知量为 ，则含有这 个参数的解可表示方程组的任一解。nrBRAR)()(rnrnrnccc,21

3、rn举例：求解线性方程组 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx2111211214462243697910104011030001300000方程组可化简为 33443231xxxxx取 ，则方程组的解为 ，这就是方程组的解，通常我们将它写成向量的形式， 即 cx 33344321xcxcxcx303401114321cxxxx例1： 求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解： 46304630122134112212122112132rrrrA00003/42103/520100003/

4、42101221212322)3(rrrrr 所以与原方程组同解的方程组为 03420352432431xxxxxx 因此 ， 取 ， 432431342352xxxxxx2213,cxcx则方程组的解为 103/43/50122214321ccxxxx注意：在对增广矩阵进行变换的过程中，只能进 行初等行变换。例2：求解非齐次线性方程组 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解： 17640176401131108951443131131112233rrrrB000004/ 14/72/ 31011311232) 4/ 1(rrr000004/ 14/72/310

5、4/54/32/30121rr所以 4433432431414723454323xxxxxxxxxx取 ，则方程组的通解为 2413,cxcx004/14/5104/74/3012/32/3214321ccxxxx例3： 对于线性方程组321321321)1 (3)1 (0)1 (xxxxxxxxx问 取何值时， 此方程组 （1）有唯一解；（2） 无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求出其解。解： )1 ()2 (03011111131110111311312)1 (,rrrrrrA)3)(1 ()3 (003011123rr（1）当 且 时， ， 这时方程组有唯一解；03)()(BR

6、AR（2）当 时， ， ，则方 程组无解；01)(AR3)(BR当 时， ，方程组有无穷多个解。3)(2)(BRAR 这时 212( 3)11231011 0336011200000000rrrB -骣骣-鼢珑鼢珑鼢珑鼢-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫所以 ， 取 ，则方程组的解为 33323121xxxxxxcx 3021111321cxxx第二节 向量组的线性组合定义1： 把 个有次序的数 所组成的 数组称为 维向量，这 个数称为该向 量的 个分量，第 个数 称为第 个分量。 nnaaa,21nnniiai一、向量的定义及线性运算向量分为行向量和列向量。实际上， 维行向量和 维列向量就是行矩阵和列矩

7、阵。这样 维向量可以按矩阵的运算规则进行运算。nnnn例如 是一个 维列向量， 是一个 维行向量。再例如三维坐标 就是一个3维向量。 naaa21nTaaa,21n)2 , 3 , 2(定义2： 若干个同维的列（行）向量所组成的集 合叫做向量组。 由列（行）向量组为列（行）可以组成一个矩阵；反之，以矩阵的每一列（行）为列（行）向量可以组成一个向量组。以矩阵 的每一列（行）为列（行）向量所组成的向量组称为 的列（行）向量组。 AA二、向量组的定义及线性组合定义3：给定向量组 ，对于任意一组 实数 ，称向量 为向量组 的一个线性组合，称 为这个线性组合的系数。 :Am,21mkkk,21mmkkk

8、2211Amkkk,21定义4： 对给定向量组 和向量 ，如果 存在一组数 ，使 则称向量 能由向量组 线性表示。 mA,:21bm,21mmb2211bA可写成 。令 ， ，则方程组 miiiiaaa21), 2 , 1(nimbbbb21mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111nnxxxb2211若向量 能由向量组 ： 线性表示，则方程组有解，所以有以下定理：bAn,21定理1： 向量 能由向量组 线性表示的充分必 要条件是矩阵 的秩等于矩 阵 的秩。 bA),(21nA),(21bBn定义5： 设有两个向量组 和 ， 若 组中

9、的每个向量都能由向量组 线性表 示，则称向量组 能由向量组 线性表示， 若向量组 与向量组 能相互线性表示，则 称这两个向量组等价。 sA,:21tB,:21BABAAB定义1： 给定向量组 ，如果存在不全 为零的数 ，使得 则称向量组 是线性相关的；否则称它线 性无关。sA,:21skkk,21Okkkss2211A例如： ， ， ，所以 线性相关；)2 , 1 (1)4 , 2(2O21221,第三节 向量组的线性相关性一、向量组线性相关性的定义注：（1） 向量组 线性相关 向量组 中至少有一个向量能由其它 个向量线性表示。 sA,:21)2( sA1s（2）若由 能得到 则向量组 线性无

10、关。 Okkkss2211021skkks,21 ，不存在不全为零的数 使得 ， 所以 线性无关。) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (321321,kkkOkkk332211321,二、向量组线性相关性的性质如何来判断一个向量组是线性相关，还是线性无关呢？以下定理给出了一个判别方法。 定理1： 向量组 线性相关的充分必要 条件是它构成的矩阵 的秩 ；向量组线性无关的充分必要条 件是 。s,21),(21saaaAsAR)(sAR)(推论： 个 维向量组成的向量组，当 时一 定线性相关。mnmn 我们称 为单位坐标向量组 ， ， ，即 等于向量组中向量的个数

11、，所以单位向量组线性无关。100,010,00121neee),(21neeeE01|EnER)()(ER定理2： 若向量组 线性相关，则 向量组 也线性相关； 反之，若向量组 线性 无关，则向量组 也线性无关。sA,:21121,:ssB121,:ssBsA,:21部分组相关 向量组相关，向量组无关 部分组无关例1： 设 ，试讨论向量 组 的线性相关性。1231021 ,2 ,4157 123, 定理3 设有两个向量组 若向量组 能由向量组 线性表示，并且 ，则向量组 线性相关。 AsA,:2112:,tB BBst推论1： 设向量组 能由向量组 线性表示， 若向量组 线性无关，则 。BAB

12、st推论2： 设向量组 与 等价，且 与 都线性 无关，则 。ABBAst定理4 设向量组 线性无关，而向量 组 线性相关，则向量 一 定能由向量组 线性表示，且这种表示是唯 一的。sA,:21bBs,:21bA例2： 设向量组 线性无关， ，证明： 线性无关。 r,21,11,212rr21r,21第四节 向量组的秩一、 向量组秩的定义定义1：设有向量组 ，如果在 中能选出 个向 量 ，满足 （1）向量组 线性无关； （2）向量组 中任意 个向量（如果存 在）都线性相关； 则称向量组 是向量组 的一个极大线性 无关组（简称极大无关组），极大无关组 中所含向量的个数 称为向量组 的秩。 向量组

13、 的秩可记作 。 AArr,21rA,:210A1r0AArm,21),(21mRA注：（1） 一个向量组的极大无关组有可能不只 一个，有可能有多个；（2）向量组与它的极大无关组是等价的（即 可以相互表示）。 例如 向量组 ， 是一个极大无关组， 也是一个极大无关组。742,520,11132121,31,从定义上看，矩阵的秩与向量组的秩有所不同，到底它们之间有什么关系呢？以下定理回答了这个问题。定理1： 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也 等于它的行向量组的秩。如何找到一个向量组的一个极大无关组呢？若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 所在的 列是列向量组的一个极大无关组， 所在的 行是行向量

14、组的一个极大无关组。 rDArDrDrr（1） 求 的秩；（2） 写出向量组 的一个 极大线性无关组；（3） 若 ，求 。例1： 已知向量组 ， ， ， ，) 3 , 2 , 1 , 1 (1) 1 , 1 , 1, 1 (2)5 , 3 , 3 , 1 (3)6 , 5 , 2, 4(4) 7, 5, 1, 3(554321,),(54321TTTTTA)(AR54321,例2：设矩阵 ，求矩阵 的 列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无 关组的列向量用极大无关组线性表示。 97963422644121121112AA解： 将变成最简形矩阵， 00000310003011040101行变

15、换A ，所以列向量组的极大无关组含有3个向量， 是列向量组的一个极大无关组。同时 ， 。3)(AR421,2134215334注意：这里也可选取 作为极大无关组。521,定理2：设向量组 能由向量组 线性表示，则 向量组 的秩 向量组 的秩。BABA推论1：等价向量组的秩相等。推论2：设向量组 是向量组 的部分组，若向 量组 线性无关，且向量组 能由向量 组 线性表示，则向量组 是向量组 的一个极大无关组。BABBAAB注：该结论也可作为极大无关组的定义。 第五节 向量空间 一、向量空间的定义定义1： 设 是由 维向量组成的一个非空集合， 并满足： （1） 若 是一个数， ，则 ； （2）若

16、，则 ； 则称 是向量空间。VnVVV,VV二维空间 和三维空间 都是向量空间。,| ),(21212RxxxxV,| ),(3213213RxxxxxxV再例如 是一个向量空间；而 不是向量空间，因为 ，但 。,| ), 0(21211RxxxxV,| ), 1(21212RxxxxV2) 1 , 2 , 1 (V2)2 , 4 , 2() 1 , 2 , 1 (2V设 是一个向量组，令 则 是一个向量空间。通常我们将这个向量空间 称为由向量组 生成的向量空间。 s,21,|212211RVsssVVs,21定义2： 设 是两个向量空间，且 ， 则称 是 的子空间。21,VV12VV 2V1

17、V二、向量空间的基与维数定义3： 设 是一个向量空间，如果 个向量 满足： (1) 向量组 线性无关； (2) 中的任意一个向量都可以由 线性表示；则称 是向量空间 的一个基，称 是 的维数，并称 是 维向量空间。VrVr,21r,21Vr,21r,21VrVVr注：（1） 向量空间的基不是唯一的。（2）向量空间的维数并不一定等于该向量 空间中的向量的维数。 结论： 由向量组 的一个极大无关组就是 向量组 生成的向量空间的一个基， 且向量组 的秩就是该向量组生成 的向量空间的维数。 s,21s,21s,21定义4： 设 是线性空间 的一个基，对 于任一元素 ，总有且仅有一组数 ， 使 ， 称

18、为元素 在基 下的坐标。记作 。 n，21nVnVnxxx,21nnxxx2211nxxx,21n，21Tnxxx),(21三、基、过渡矩阵与坐标变换公式nV定义5： 设 和 是线性空间 中的两个基 即 (1) 或 (2)n，21n,21nnnnnnnnnppppppppp221112222112112211111nTnnnnnnnnPppppppppp212121222121211121Pnn),(),(2121称（1）或（2）为基变换公式，称矩阵 为由基 到基 的过渡矩阵。 n，21n,21P注：过渡矩阵 是可逆的。P定理1： 设 中的元素 ，在基 下的坐标为 ，在基 下的坐标为 ， 为由

19、基 到基的过渡矩阵，则有坐标变换公式 nVn,21Tnxxx),(21n,21Tnyyy),(21Pn，21n,21nnxxxPyyy21121（1） 验证 及 都是 的基； 例1：设 是向量空间 的一个基，而 与 是 中两个向量组，且123, V123, 123, V11232133131123212331232234343123, 123, （3）求坐标变换公式。V（2）求由 到 的过渡矩阵；123, 123, 第六节 线性方程组解的结构对齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 即 (1) OAx 若 是它的一个解，

20、则称 是解向量，简称方程（1）的解。nnxxx1122111,n112111定理1： 元齐次线性方程组 的全部解所构成的集合 是一个向量空间（称为解空间解空间），当 时，解空间 的维数为 。 nOxAnmSrAR)(Srn 称解空间的一个基为方程组（1）的一个基础解系，设 是方程组（1）的一个基础解系，则（1）的解可表示为 通常称上式为方程组（1）的通解。rn,21rnrnkkkx2211如何求齐次方程组（1）的通解呢？设系数矩阵 的秩为 ，不妨设 进行行初等变换变换成的行最简形矩阵为ArA00001001,1 , 11 , 1rnrrrnbbbbB则 ， ， 是方程组（1）的基础解系。001

21、1 ,1 , 11rbb0102 ,2 , 12rbb100, 1rnrrnrnbb若方程的系数矩阵的最简形矩阵为 ， 则 ， 是该方程的基础解系。 0000000000410001011020101B001111140122例1： 求齐次线性方程组 的基础解系和通解。 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx解： 系数矩阵 81014045701111137723521111121327rrrrA00007/47/5107/37/2010000457011117222123rrrrr所以该方程组的基础解系为 ，方程组的通解为 107/47/3,017/57/221107/47/3017/57/2214321kkxxxx（ 为任意实数）21,kk注：一个齐次线性方程组的基础解系并不是惟一的。接下来要讨论非齐次线性方程组的解的结构。mnmnmmnnnnbxaxaxabxa