自动控制原理第5章1

1、15.1 引言引言第五章第五章 频率法频率法线性控制系统正弦信号正弦信号正弦信号具有无穷阶的导数；正弦信号包含了位置、速度和加速度等各种作用；控制系统中的各个信号均可分解为许多不同频率的正弦信号。2 控制系统对不同频率正弦信号的响应可以全面地反映系统的各种性质。 频率法是控制理论中的一项非常重要的基本内容。3频率法的优点频率法的优点频率法所用的数学模型是“频率特性”，它具有明显的物理意义；对于难以机理建模的系统或元件，可以用实验的方法测出它的数学模型频率特性。具有较大的工程实用价值；频率特性的计算简单，运算量较小，辅以作图就可以完成分析与综合工作；频率法的设计已有完整的软件。4频率法的缺点频率

2、法的缺点频率法只适用于线性定常系统；频率法在简化运算的过程中应用了很多近似公式，所得到的设计结果不是十分准确，常常需要通过调试或仿真作适当的调整。55.2 频率特性频率特性5.2.1 正弦信号作用下的稳态输出正弦信号作用下的稳态输出 研究系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。( )G s( )r t( )y t( )( )( )Y sG sR s6传递函数 可以写成分式有理函数的形式：( )G s( )( )( )M sG sN s12( )()()()nM sssssss其中1110( )nnnN ssasa sa12()()()nssssss1110( )mmmmM s

3、b sbsbsb7系统的输入信号为( )sinr tAt对于稳定的系统 而言，( )G s的稳态响应为：可以导出输出信号ss( )sinytYt其中()YA G jarg()G j也记为()G jIm()arctanRe()jjGG8对于一个稳定的线性系统而言，结论结论在正弦信号的作用下，其稳态输出信号 是和输入信号同频率的正弦信号。ss( )ytss( )yt的幅值是输入信号幅值的 倍；()G jss( )yt的相位与输入信号的相位差为 。()G j9这个结论的另一种说法这个结论的另一种说法对于一个稳定的线性系统而言，在正弦信号的作用下，其稳态输出信号 是和输入信号同频率的正弦信号。ss(

4、)yt是频率 的函数；ss( )yt的幅值 与输入信号的幅值 之比为()YGAjYA，ss( )yt的相位与输入信号的相位之差为()jG ，也是频率 的函数。105.2.2 频率特性（频率响应）频率特性（频率响应）根据前面的分析可知： 复变量 可以反映()G j系统（元件）在不同频率正弦信号作用下，输出信号的稳态分量与输入信号之间的关系。并且由 可直接求出输出信号 的稳态()G j( )y t分量ss( )sinytYt()YA G jarg()()GGjj 其中11频率特性的定义频率特性的定义定义 为线性系统（或元件）的频率特性，()G j又称为频率响应。()( )jsGG sj()()j

5、G jGej() cos()sin()GG jjjGj复数的Euler公式12频率特性的性质1频率特性是描述线性定常系统的一种数学模型，只有线性定常系统才有频率特性；2频率特性 是一个复变量，()G j它的幅值（模）()G j和辐角（相角） 都是频率 ()G j的函数；133线性定常系统在频率为 的正弦信号作用下，频率特性反映了输出信号稳态分量和输入信号的关系：()G j输出稳态分量的幅值输入信号的幅值()G j输出稳态分量的相角-输入信号的相角频率特性也可以按照上述两式进行实际测定，这就提供了用实验测试频率特性的方法。144在频率特性中，所用的频率均为角频率 ，其单位是： rad/s 或 。

6、1/s5在频率特性中，一般讨论的频率范围是：(0,)如果 ，(,0) 则有()()GGjj()()jjGG 15或者Re()Re()GGjjIm()Im()G jjG 6频率特性的另一种定义： 频率特性是输出信号的富里叶变换与输入信号的富里叶变换之比。()()()jYGRjj( )( )F y tF r t16其中信号的富氏变换如下：( )( )d()tjF r tr t etR j( )( )d()tjF y ty t etY j信号的拉氏变换如下：( )( )d( )stL r tr t etR s( )( )d( )stL y ty t etY s令sj17所以，可通过传递函数直接写出频

7、率特性：( )( )( )Y sG sR s输出信号拉氏变换输入信号拉氏变换令sj()( )jsGG sj187频率特性实际上是系统单位脉冲响应的富里叶变换。单位脉单位脉冲信号冲信号单位脉单位脉冲响应冲响应( )G s( )( )r tt( )( )y tk t()()()jjKGj( )d( )dj ttjk t ett et( )d1tjk t et( )dtjk t et19结论结论上述第7条性质提供了测试频率特性的另一种方法。给系统或元件输入一个单位脉冲信号（或近似单位脉冲信号），记录系统（或元件）的脉冲响应序列，对该响应序列作富里叶变换，即得频率特性。20三种数学模型的三种数学模型的

8、“三角三角”关系关系传递函数频率特性单位脉冲响应L1LF1Fsj( )G s()G j( )k t21例5-1设单位反馈系统的方块图如下，100(0.11)ss-( )R s( )E s( )Y s若输入信号 ，( )sin5r tt试求系统的稳态误差。225.2.3 频率特性的几种形式频率特性的几种形式频率特性 是一个复变量，()G j它是 的函数。对应 的某一个值，()G j是复平面上的一个点；当 连续变化时，()G j是复平面上的一条曲线。23频率特性有以下几种表达形式频率特性有以下几种表达形式1极坐标形式的频率特性Nyquist图()()j G jGej()() cos()sin()G

9、GG jGjjjj当 从 时，0 ()G j在复平面上的轨迹称为Nyquist图。24例5-2设系统的传递函数为1( )1G sTs画出Nyquist图形式的频率特性。25ReIm00.510451T026说明如果需要画出 从 时的频率特性，0 只需将 从 时的曲线 以实轴为对0 ()G j称轴翻折，画出其对称曲线 即可。()Gj()G j()Gj共轭理由27当频率特性 乘以一个常数 时，()G jK频率特性()KG j只是原曲线上各点的模都增大为原来的K倍，而每一个点的辐角不变。282对数频率特性图Bode图（1）把幅频特性与相频特性分开画， 横坐标为角频率，纵坐标分别为频率特性的幅值和相角

10、， 画出两条曲线。（2）横坐标按照 的常用对数 来划分刻度。lg在横轴上， 每10个频程之间的距离为1个长度单位，称为10倍频程（dec）。29（3）在幅频特性图中，( )20lg()LG j纵坐标用单位：分贝（dB），因此也叫做对数幅频特性。（4）在相频特性图中，纵坐标是角度 本身，()G j一般使用角度制，也可以用弧度制。30（5）对数频率特性一般画在半对数坐标纸上。-150-100-50050Magnitude (dB)100101102103104-270-180-900Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)313对数幅相特性图Nichols图Nichols图采用直角坐标系。纵坐标表示对数幅频特性 ，20lg()G j单位：分贝（dB）；横坐标表示相频特性 ，()G j