平方根和立方根

1、八年级数学八年级数学请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2= ，y2= ，z2= ，w2= 11111ABOCDExyzw2345一般地，如果一个正数一般地，如果一个正数 x 的平方等于的平方等于 a，即，即 x2 = a ，那么这个正数，那么这个正数 x 就叫做就叫做 a 的算术平的算术平方根，记为方根，记为“ ”，读作，读作“根号根号 a ”特别地，我们规定特别地，我们规定0的算术平方根是的算术平方根是0，即，即 00 一个一个正数正数x x的平方等于的平方等于a,a,即即x x2 2 a a，这个正，这个正数数x x叫做叫做a a的算术平方根的算

2、术平方根读作读作“根号根号a a”a的算术平方根记为ax2 = a(x为正数为正数)ax 规定规定0 0的算术平方根是的算术平方根是0 0，记作，记作00 被开方数被开方数a0a01 1、什么是算术平方根、什么是算术平方根算术平方根算术平方根 00a例例1 求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根：（1）900；（；（2）1；（；（3） ；（；（4）146449解:(1) 因为302=900,所以900的算术平方根是30, 即 ; (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即 ; (3)因为 ,所以 的算术平方根是 , 即 ; (4)14的算术平方根是 .30900 116449)87

3、(264498787644914非平方数的算术平方根只能用根号表示非平方数的算术平方根只能用根号表示. .如图所示如图所示, ,右边的大正方形是由左边的两个右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的小正方形剪拼成的, ,请表示请表示a= = . .1111aa2请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：11111ABOCDExyzwx2=2，x= ;y2=3，y = ;z2=4，z = ;w2=5, ,w = .2352 二、求下列各数的算术平方根：二、求下列各数的算术平方根：36， ，15，0.64， ， ， 1441214102250)65(解:(1)

4、因为62=36,所以36的算术平方根是6,即 ; (2) 因为 ,所以 的算术平方根是 , 即 ; (3) 15的算术平方根是 ; (4) 因为0.82=0.64 ,所以0.64的算术平方根是0.8 , 即 ; (5) 因为 ,所以10-4的算术平方根是10-2 , 即 ; (6) 因为 ,所以 的算术平方根是 ; (7) 因为 , 所以 的算术平方根是1.636 144121)1211(214412112111211144121158 . 064. 042210)10(2410101515225 2251)65(00)65(例例2 自由下落物体的高度自由下落物体的高度h（米）与下落时（米）与

5、下落时间间t（秒）的关系为（秒）的关系为h=4.9 t2有一铁球从有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？长时间？ 解:将h=19.6代入公式 h=4.9 t2,得 t2 =4,所以t = =2(秒).即铁球到达地面需要2秒.4式子式子 的两层含义的两层含义: :(1) a0 ; ;(2) 0 .aa例例3 如果将一个长方形如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积折叠，得到一个面积为为144cm2的正方形的正方形ABFE，已知正方形，已知正方形ABFE的面的面积等于长方形积等于长方形CDEF面积的面积的2倍，求长方形倍，求长方形A

6、BCD的的长和宽长和宽ABCDEF解：设正方形ABFE的边长为a, 有 a2 = 144 , 所以 a = =12, 所以 AB = AE =EF=CD= 12. 又因为 SABFE=2SCDEF , 设FC=x , 所以 144=212x , x = 6 . 所以BC=BF+FC=12+6=18(cm). 所以长方形的长为18cm,宽为12cm.ABCDEF144一、填空题：一、填空题： 1若一个数的算术平方根若一个数的算术平方根是是 ，那么这个数是，那么这个数是 ；2 的算术平方根是的算术平方根是 ；3 的算术平方根是的算术平方根是 ；4若若 ，则，则 = 792)32(22 m2)2(m

7、733216三、如图，从帐篷支撑竿三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部的顶部A向地面拉一根向地面拉一根绳子绳子AC固定帐篷若绳子固定帐篷若绳子的长度为的长度为5.5米，地面固定米，地面固定点点C到帐篷支撑竿底部到帐篷支撑竿底部B的的距离是距离是4.5米，则帐篷支撑米，则帐篷支撑竿的高是多少米？竿的高是多少米？ABC解:由题意得 AC=5.5米,BC=4.5米, ABC=90,在RtABC中,由勾股定理得 (米).所以帐篷支撑竿的高是 米. 105 . 45 . 52222BCACAB10ABC（1）算术平方根的概念，式子）算术平方根的概念，式子 中的双中的双重非负性：重非负性：a一是一是a0，二是

8、二是 0a（2）算术平方根的性质：）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是的算术平方根是0；负数没有算术平方根负数没有算术平方根（3）求一个正数的算术平方根的运算与平）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根系求非负数的算术平方根若x2=a（x0），那么x叫做a的算术平方根。 记作：x=a一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。 记作：x=a 我们先来解决一个小问题：我们先来解决一

9、个小问题：一个数的平方是一个数的平方是9，那么这个数是多少？，那么这个数是多少？，），（，（9393 22 所以这个数是所以这个数是3或或3.3725425425问题：平方等于问题：平方等于9 9， ，4949的数还有吗？的数还有吗？4253 3的平方等于的平方等于9 9，那么，那么9 9的算术平方根就是的算术平方根就是 的平方等于的平方等于 ，那么，那么 的算术平方根就是的算术平方根就是展厅的地面为正方形，其面积展厅的地面为正方形，其面积4949平方米，则边长平方米，则边长 米米25( )2 = 9( )2 = ( )2 = 0( )2 =-4 3 2 = ( ) (-3 )2 = ( )

10、( )2= ( ) ( )2 = ( ) 02 = ( )419903210不存在不存在14211412aaa（读作“负根号”）的负平方根，用“”表示，。根号根号被开方数被开方数aaa一 个 正 数的 正 平 方 根 ， 用 “”（ 读 作 “ 根示 ，号表” ） 。aaa（读作“正、负根号，”）合起来，一个正数 的平方根就用“”表示。2aa表示为：的平方根非负数2a根指数可以省略又叫又叫a的算术平方根的算术平方根 联系联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种算术平方根是平方根的一种. 辨析概念辨析概念 平方根与算术平方根的联系与区别：

11、平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根只有非负数才有平方根和算术平方根.3. 0的平方根是的平方根是0，算术平方根也是，算术平方根也是0 .区别区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根一个算术平方根. 2.表示法不同：平方根表示为表示法不同：平方根表示为 ，而算，而算术平方根表示为术平方根表示为 .aa求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。149+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3开平方平方v巩固新知121491.求下列各数的平方根求下列各数的平方根:2)25(1)64(3) 0.0

12、004(5) 11(4)(2)；.v巩固新知121491.求下列各数的平方根求下列各数的平方根:(1)64 (2)解解: ， 的平方根的平方根 , 即即 ；2749()1112171149712111 49121解解: ， 64的平方根为的平方根为 , 即即 ；2( 8)64648 8v巩固新知2)25(3) 0.0004 (5) 11 (4)解解: ， 0.0004的平方根为的平方根为 , 即即 ；2( 0.02)0.00040.020.00040.02 解解: ， 的平方根为的平方根为 , 即即 ；22( 25)25 2522525 225解：解：11的平方根是的平方根是 .11v 总总结

13、结：运用平方运算求一个非负数的平运用平方运算求一个非负数的平方根是常方根是常 用的方法，如果被开方数是小数，用的方法，如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，数， 再求它的平方根，如果被开方数是带分再求它的平方根，如果被开方数是带分数，先要把它化为假分数数，先要把它化为假分数. 注意要弄清注意要弄清 ， ， 的意义，不能用的意义，不能用 来表来表示示a的平方根，如：的平方根，如：64的平方根不要写成的平方根不要写成 .aaaa648 议一议议一议 一个正数有几个平方根？它一个正数有几个平方根？它们是什么关系？们是什么关系？ 0的平方根

14、有几个？的平方根有几个？负数有平方根吗负数有平方根吗? 一个正数有一个正数有两两个个平方根平方根,它们是它们是互互为相反数为相反数. 一个，一个，0的平方根是的平方根是0.负数负数没有没有平方根平方根.想一想想一想 的平方根是的平方根是 当当 时，时， 的算术平方根是的算术平方根是 的平方根是的平方根是若若 ，则，则若若 ，则，则2526425640a 2a3523249x x x 23x 56458a925373,.2526425640a 2a3523249x x x 23x , ,( )( )( )( )基础练习 B基础练习三、已知一个自然数的算术平方根是三、已知一个自然数的算术平方根是a

15、，则该，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） (A) a+1 (B) (C) a2+1 (D)1a21a D2x四、四、 为何值时，为何值时， 有意义？有意义？x02x0 x 答：答： 因为因为 ，所以，所以 .231363x五、求五、求 的值的值x解：解：基础练习231363x,21121x,1121x ,111x 111x 或或,12x 10 x 或或知识总结知识总结若若 ，则，则 叫叫 的平方根，的平方根， . .2xaxaxa 正数有正数有2 2个平方根，个平方根，0 0的平方根是的平方根是0 .0 .负数没有平方根负数没有平方根. .自我测

16、试：自我测试：（1）（）（-5）2的平方根是的平方根是 ，算术平方根，算术平方根 是是 ；55（2） 的平方根是的平方根是 ，算术平方，算术平方 根是根是 。1622（3）若）若x2=3，则，则 x= ，若，若 =3，则，则 x= ；2x（4）若（）若（x-1）2=2，则，则x= ，3（5）若一个数的一个平方根为）若一个数的一个平方根为-7，则另一个，则另一个平方根为平方根为 ，这个数是，这个数是 。749（6）若一个正数的两个平方根为）若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，则则a= ，这个正数为，这个正数为 ；116（7）平方根等于本身的数是）平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本

17、身的数是算术平方根等于它本身的数是 ，算术平方根和平方根相等的数是算术平方根和平方根相等的数是 ；00、101、下列各数中，不一定有平方根的是、下列各数中，不一定有平方根的是（ ）（A）x2+1 （B）|x|+2 （C） （D）|a|-11a D2 2、 已知已知 有意义有意义, ,则则x x一定是一定是 ( ) ( ) A. A.正数正数 B. B. 负数负数 C. C. 非负数非负数 D. D. 非正数非正数Dx选择题：1. 1. 的平方根是的平方根是16. ( ) 16. ( ) 162. 2. 一定是正数一定是正数. ( ) . ( ) 3.a3.a2 2的算术平方根是的算术平方根是a

18、. a. （ ）4.若若 , 则则a=-5. ( )5)(2a5. ( )396.-66.-6是是(-6)(-6)2 2的平方根的平方根. . （ ） 7.7.若若x x2 2=36,=36,则则x= x= （ ） 636a判断题2222255121347316921001）（）（）（）（）（）（根根，例例：求求下下列列各各数数的的平平方方 。是是的算术平方根的平方根的算术平方根的平方根；的算术平方根是的算术平方根是；的平方根是的平方根是）（；的平方根是的平方根是；的平方根是的平方根是1695362 62 5 32正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。1.a的一个平

19、方根是3，则另一个平方根是，a= 。-392.3a-22和2a-3是m的两个平方根，试求m的值。意义？意义？为何值时，下列各式有为何值时，下列各式有例：例：xxx141x3x2x21 ）（）（）（）（222x181x7x61xx5）（）（）（）（ x242x9 ）（的值。的值。、，求，求满足：满足：、已知已知ba4ba21025aba 的平方根。的平方根。，求，求已知已知ba3a31836ab 探究：？，的的值值，对对于于任任意意数数，）（，）（，）求求（ 2222222aa0765321。，则则）（练练习习： m31m.12。的的取取值值范范围围是是，则则）（若若aa22a.2 4或-2a2

20、？），（的的值值，对对于于任任意意非非负负数数）（，），（），（），（）求求（ 222222aa04925942。的取值范围是的取值范围是则则，）（若若x03x3x2 0251x2430100 x20256x91x222 ）（）（）（）（的的值值：计计算算各各式式中中X3补充练习；。；的算术平方根是的算术平方根是 2212516. 1。），则则（若若 25x245x2.。的的算算术术平平方方根根为为时时，当当a3a9a.2。的的关关系系为为与与此此时时，的的最最大大值值为为baba5.4 的算术平方根。的算术平方根。求求）已知（已知（zyx03z2y.2 2132560-5互为相反数巩固练习巩

21、固练习:二、选择题：二、选择题：1、在、在0、9、2、（、（2）2 中，有平方根的是（中，有平方根的是（ ）A、1个个 B、2个个 C、3个个 D、4个个2、数、数16的平方根是（的平方根是（ ）A、4 B、 C、 4 D、4或或43、数、数0.25的平方根是（的平方根是（ ）A、0.5 B、0.05 C、0.5 D、0.5或或0.54、数（、数（6）2的平方根是（的平方根是（ ）A、6 B、6 C、6或或6 D、无平方根、无平方根16CDDC三、判断题：三、判断题：（1）144的平方根是的平方根是12与与12；（2）256的平方根是的平方根是16；（4）256的平方根是的平方根是16；（5）

22、5是是25的一个平方根；的一个平方根；（6）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（7）1的平方根是的平方根是1；（8）1的平方根是的平方根是1；（9）1是是1的平方根；的平方根；（10）（）（1）2的平方根的平方根1。（3）256的算术平方根是的算术平方根是16；与与是互为逆运算是互为逆运算2a2开方开方平方平方运算运算符号符号适用适用范围范围运算结运算结果名称果名称性质性质02013.1 平方根（3）（2）平方等于425的数有几个？平方等于0.64的数呢？（1）一个数的平方是9，这个数是0.80.82 25 53 3 x2 1 16 36 49 5 x4254 41 16 67 72 25

23、 5？X X2 2 =9=9这个数这个数X X是多少？是多少？X X2 2=a=a，这个数这个数X X是多少？是多少？已知底数、指数，求幂。已知底数、指数，求幂。已知幂、指数，求底数。已知幂、指数，求底数。( )2 = 9( )2 = ( )2 = 0( )2 =4填空填空： 3 2 = ( ) (3 )2= ( ) ( )2= ( ) ( )2 =( ) 02 =( )214199410321210不存在不存在41乘方运算乘方运算乘方的逆运算乘方的逆运算什么叫乘方？什么叫幂？什么叫乘方？什么叫幂？请请认清认清： a是是x的二次幂的二次幂 ，x是是a的的平方根平方根(或或二次方根二次方根)。X

24、2 底数底数指数指数幂幂= a如果一个数如果一个数X X的平方等于的平方等于a a，即，即X X2 2= =a a，那么这个数那么这个数X X叫做叫做a a的平方根的平方根（二次方根）（二次方根）如果一个数如果一个数X X的平方等于的平方等于a a，即，即X X2 2= =a a，那么这个数那么这个数X X叫做叫做a a的平方根的平方根（二次方根）（二次方根）a a的平方根的平方根表示为表示为 读作：正，负根号aa a 表示a的平方根表示a的算术平方根表示a的算术平方根的相反数x2 = aX 符号表示符号表示求数求数a的平方根的运算叫做开平方的平方根的运算叫做开平方得出：得出：( )2 = 9

25、( )2 = ( )2 = 0( )2 =4 3 2 = ( ) (3 )2= ( ) ( )2= ( ) ( )2 =( ) 02 =( )214199410321210不存在不存在41请同学们概括一个数的平方根的性质：请同学们概括一个数的平方根的性质：一个正数有一个正数有两个平方根两个平方根，它们，它们互为相互为相反数反数；零零有一个平方根，它是有一个平方根，它是零零本身；本身；负数负数没有平方根。没有平方根。正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。a的一个平方根是3，则另一个平方根是，a= 。-393a-22和2a-3是m的两个平方根，试求m的值。开平方开平方：

26、 求一个数求一个数a(a0)a(a0)的平方根的运算，叫做开平的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知方，开平方运算是已知指数指数和和幂幂，求，求底数底数。是不是所有的数都能进行开平方运算？是不是所有的数都能进行开平方运算？不是，只有正数和零才能进行开平方运算。不是，只有正数和零才能进行开平方运算。 由于平方与开平方由于平方与开平方互为逆运算互为逆运算，因此可以通过，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来算来检验检验一个数是不是另一个数的平方根。一个数是不是另一个数的平方根。 1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根

27、。、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。（1）12 , 144 （2）0.2 , 0.04（3）102 ，104 （4）14 ，2562、选择题、选择题 （1） 0.01的平方根是的平方根是 （ ） （A）0.1 （B）0.1 （C）0.0001 （D）0.0001 （2） （0.3）2 = 0.09 （ ） （A）0.09 是是 0.3的平方根的平方根. （B）0.09是是0.3的的3倍倍. （C）0.3 是是0.09 的平方根的平方根. （D）0.3不是不是0.09的平方根的平方根. 是是是是是是不是不是BC练习练习2：1. 判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）9的

28、平方根是的平方根是3; ( )（2）49的平方根是的平方根是7 ； ( )（3）（）（2）2的平方根是的平方根是2 ；（；（ ）（4）7是是(-7)2的的 算术平方根算术平方根 ； （ ）（5）1 是是 1的平方根的平方根; （ ） （6）7的平方根是的平方根是49. ( )（7）若）若X2 = 16 则则X = 4 （ ） (8) 的平方根是的平方根是14 ( )196判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）5是是25的算术平方根的算术平方根（2）5/6是是25/36的一个平方根的一个平方根（3）（）（4）2的平方根是的平方根是4（4）0的平方根与算术平方根都是的平方根与算术平方根

29、都是02. 问问：3 有没有平方根有没有平方根 ？ 若有若有 ，怎样表示？没，怎样表示？没有，说明为什么有，说明为什么 ？ 例例1 1 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：(1) 100；169)2(3) 0.25(4) (-2005)2(5)11（5）11的平方根是的平方根是11解解: (1)(10)10)2 2=100,100=100,100的平方根是的平方根是10,10,100100= =1010即即169 (2)( ) )2 2 = , = , 的平方根是的平方根是 3 43 416916943= =即即 (3)(0.5)0.5)2 2=0.25, =0.25, 0.25 0.25

30、的平方根是的平方根是0.5,0.5, 即即25. 0=0.5=0.5 (4)(2005)2005)2 2=(-2005)=(-2005)2 2, , (-2005) (-2005)2 2的平方根是的平方根是2005,2005,即即22005= =20052005判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。若没有，说明为什么。若没有，说明为什么。（1） 0.81 （2 （3） （4） （2 ）2 （5 ）9 （6）0 （7）100 （8） 104122536 （1） 0.81的平方根是 0. 9,即（2） 的平方根是 ，即（7） 100 是负数， 10

31、0 没有平方根；362581. 09 . 029 . 081. 0362565256653625解：19681. 0196121例例3,已知已知 有意义有意义,求求x的取值范围的取值范围.12 x例例4,求下列求下列x的值的值: 2042x049162x2512x3x例例2,求下列各式的值求下列各式的值: (1) ;(2) ; (3) (4) (5)2) 2(2)3(2.计算下列各式的值：计算下列各式的值：8164(3) 0.0049-(2) 169) 1 (1.如果一个正数的平方根是如果一个正数的平方根是a-1和和a+3,则则a=_那么这个正数是那么这个正数是4-1（2）25 的平方根是（4

32、）（5）2（3）（5）2（1）25的平方根是3、填空、填空（2）一个负数的平方等于121，这个负数是（1）一个正数的平方等于0.36，这个正数是5 55 555 50.60.6-11-114。填空填空?,)3(?2 . 7)2(?12149?)64)(1 (2222等于多少对于正数等于多少等于多少等于多少aa（ a）2a（a0）a2 意意义义？为为何何值值时时，下下列列各各式式有有例例：xxx141x3x2x21 ）（）（）（）（222x181x7x61xx5）（）（）（）（ x242x9 ）（的平方根。的平方根。，求，求已知已知ba3a31836ab 的值。的值。、，求，求满足：满足：、已知

33、已知ba4ba525aba 1.一个正数有个平方根，它们互为一个正数有个平方根，它们互为若一个数只有一个平方根，则这个数为，若一个数只有一个平方根，则这个数为，它的平方根是。它的平方根是。2.正数正数x的平方是，正数的平方是，正数x的平方根是的平方根是_)(2x3. 平方根是；平方根是；1.21的平方根是；的平方根是；的平方根是的平方根是411222247 2相反数相反数00 x2xx271.154.（9）2的平方根是的平方根是95.如果某数的一个平方根是如果某数的一个平方根是3，则另一个平方根是，则另一个平方根是-37)3(x31)4(x解解: (1) (2) (3) (4) 例例4.已知已

34、知 求求 a-b的平方根的平方根4210225aab拓展：拓展：.若若求求m+nnmmm3399222. 求求myxyxmyxmyx199 19932253x2x8-84343-？1210.360-4 比一比比一比看谁最聪明？看谁最聪明？ 如图，求左圈和右圈中的如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：表示的数： 1 1、知识方面知识方面：这节课我们学习了平方根的概念、表：这节课我们学习了平方根的概念、表 示方法、求法及平方根的性质。示方法、求法及平方根的性质。 2 2、思维方法思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验。可以互相检验。 3 3、探究策

35、略探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径。发现问题和解决问题的基本方法和途径。 4 4、用、用定义定义解决问题也是的常用方法和有力工具。解决问题也是的常用方法和有力工具。平方根习题课如果一个正数如果一个正数x的平方等于的平方等于a,即即x2a,那那么这个正数么这个正数x叫做叫做a的算术平方根的算术平方根1、算术平方根、算术平方根记作：记作： 读作：读作：“根号根号a” a叫做叫做被开方数被开方数规定：规定：0的算术平方根为的算术平方根为0a如果一个数如果一个数X的平方等于的平方等于a，即，即X2=a，那么这个数那么这个数X

36、叫做叫做a的平方根（二次方根）的平方根（二次方根）2、平方根、平方根记作：记作：aa表示a的算术平方根 a表示a的算术平方根的相反数（也叫（也叫a的负平方根）的负平方根）平方根的性质：平方根的性质：正数正数有有两个两个平方根平方根a，它们互为相反数；，它们互为相反数；0的平方根是的平方根是0；负数没有负数没有平方根平方根.02aaaaa2（a为任意数）为任意数）?303,30000300,03. 043是多少吗的值说出根据你能的近似值，你发现的规律说出个有效数字），并利用（结果保留用计算器计算被开方数的小数点每向右（或向左）移动被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位位,它的算术平它的算术平方

37、根就相应的向同方向移动一位（方根就相应的向同方向移动一位（2：1）反之算术平方）反之算术平方根每向右（或向左）移动一位，被开方数相应的向同方向根每向右（或向左）移动一位，被开方数相应的向同方向移动两位移动两位732. 13 1732. 003. 032.17300 2 .17330000 思考：1.下列各式哪些有意义，哪些没有意义？（1）- （2）（3） （4）443232。；的算术平方根是2212516. 2213。的取值范围是则，）（若xxx033. 32X34、已知数、已知数m的平方根是的平方根是a+3和和2a-15， 求求m745003.535,1.251.118,125_,0.125

38、_1、若 12.5那么2.729,272.9,y2、 若 已 知7.45那 么 y=_11.180.3535题型一：平方根或算术平方根的求法1、求下列各数的算术平方根。 （1） （-16）解：（-16）=256=164=16 （-16）的算术平方根为4.总结：做此类题目时，要先观察这个数是不是最做此类题目时，要先观察这个数是不是最简数，若不是，要先将它化为最简数（带简数，若不是，要先将它化为最简数（带分数的化为假分数），再求它的平方根或分数的化为假分数），再求它的平方根或算术平方根。算术平方根。练习：1、求下列各数的算术平方根。（1）12+1/4 （2）81 （3） 4/16强调：解题时，题目

39、中如果说求下列各数的平方根或算术平方根，不能直接使用等号，如果说求下列各数的值，则可以直接使用等号，注意解题过程的书写。解： 12+ =49/4 （7/2） = 49/4 12+1/4的算术平方根为7/2。解： 81 =9 3 = 9 81的算术平方根为3。解： 4/16=1/4 （1/2） = 1/4 4/16的算术平方根为1/2 。题型二：“一元二次方程”型平方根的求法例：求9x -25=0中x的值解： 9x -25=0移项 9x =25 系数化为1 x =25/9（此式也即是求25/9的平方根）x=5/3 或 x=-5/3 总结：做此类题目时，第一步移项（将含未知数的项做此类题目时，第一

40、步移项（将含未知数的项放在等式的左边，常数项放在等式的右边），放在等式的左边，常数项放在等式的右边），第二步将未知数的系数化为第二步将未知数的系数化为1，最后求出，最后求出x的值。的值。练习：（1） 81x -49=0（2） 49（x +1）=50解： 81x -49=081x =49x =49/81x=7/9 x=-7/9解：49（x +1）=50 x +1=50/49x =1/49 x=1/7 x=-1/7自我检测：自我检测：1、25的算术平方根是的算术平方根是 ，0.04的算术平方根的算术平方根是是 。2、(-3)2的算术平方根是的算术平方根是 .3、一个数的算术平方根、一个数的算术平方

41、根 ，这个数是，这个数是 。4、若、若m的算术平方根是的算术平方根是3，则，则m= 。5、16的算术平方根是的算术平方根是x，那么，那么x的算术平方根的算术平方根是是 。6、一个整数的算术平方根、一个整数的算术平方根a，则比这个整数大，则比这个整数大6的数的数是是 。7、若、若 ，则，则2x+5的算术平方根的算术平方根是是 。22 x3550.2392592a2+63探究：？，的的值值，对对于于任任意意数数，）（，）（，）求求（ 2222222aa0765321。，则，则）（练习：练习： m31m. 12。的取值范围是的取值范围是，则，则）（若若aa22a.2 4或-2a2？），（的的值值，对

42、对于于任任意意非非负负数数）（，），（），（），（）求求（ 222222aa04925942的值。代数式，求满足，已知探究：abb2a2a444bbaaa22。的整数部分和小数部分求探究31531的的整整数数部部分分是是解解：53131 的的小小数数部部分分是是小数部分=原数-整数部分。的的整整数数部部分分与与小小数数部部分分思思考考：77 ；小数部分是，的整数部分是不用计算器解答：、 53 4；则它的小数部分是，的整数部分是、 5 65、的整数部分为的整数部分为3，则它，则它 的小数部分是的小数部分是 ；. )( , 32 1的值求代数式部分为，小数的整数部分为记、babba 比较两个数大小

43、的方法很多，最常见比较两个数大小的方法很多，最常见的方法是：的方法是：（1）类比法；）类比法；（2）“作差作差”比较法比较法.下面先学习用类比法比较两个数的大小下面先学习用类比法比较两个数的大小.bababa，则若、已知非负数试比较下列各组数的大小试比较下列各组数的大小（）（）154与（）（）672与1515,16422解解:(1)154 (2)93 , 7)7(2237 6725 . 0215与试比较试比较 的大小的大小 232 34,55解：解：23235523552325502 32355练习练习例例3、已知、已知a、b、c在数轴上如图所示，在数轴上如图所示， 化简：化简：bbccaa2

44、2)(ca0b。的取值范围是的取值范围是则则，）（若若x03x3x2 0251x2430100 x20256x91x222 ）（）（）（）（的值：的值：计算各式中计算各式中X0补充练习；。；的算术平方根是的算术平方根是 2212516. 1。），则（，则（若若 25x245x2.。的的算算术术平平方方根根为为时时，当当a3a9a.2。的关系为的关系为与与此时此时，的最大值为的最大值为baba5. 4 的算术平方根。的算术平方根。求求）已知（已知（zyx03z2y.2 2132560-5互为相反数的值。的值。、，求，求例：已知例：已知yx05y2x4yx 1y3x05y2x04yx解解方方程程组

45、组得得解解：由由题题意意得得我们已学习了3种非负数，即绝对值、偶数次方、算术平方根。几个非负数的和为零，它们就同时为零，然后转化为方程（或方程组）来解。补充练习：。的算术平方根是的算术平方根是；的算术平方根是的算术平方根是8181. 1。的的数数是是算算术术平平方方根根是是 9. 2。的算术平方根是的算术平方根是36. 3。的算术平方根等于的算术平方根等于）（23. 4 2.3 2.3 立方根立方根（1）什么叫一个数）什么叫一个数a的平方根？如何用符号的平方根？如何用符号表示数表示数a（a0）的平方根的平方根?（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？

46、负数是什么？负数 有没有平方根？有没有平方根？0的平方根的平方根是什么？是什么？ （3）平方和开平方运算有何关系？）平方和开平方运算有何关系？（4）算术平方根和平方根有何区别和联系？）算术平方根和平方根有何区别和联系？如：如：2 2是是8 8 的立方根，的立方根，3 3是是 的立方根的立方根 ， 0 0是是 的立方根的立方根 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x x的平方等于的平方等于a a，即，即x x2 2= =a a，那么这个数那么这个数x x就叫做就叫做a a的平方根（也叫做二次方的平方根（也叫做二次方根）如：根）如：是的平方根，的平方根是是的平方根，的平方根是试一试，你能给出立方根

47、定义吗？试一试，你能给出立方根定义吗？ 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x的立方等于的立方等于a，即，即x3=a, 那么这个数那么这个数x就叫做就叫做a的的立方根立方根（cube root,也叫做三次方根）也叫做三次方根）-270怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？；）（001. 03 ；）（64273 . 03）（ 1 . 0430（1 1）正数有几个立方根？）正数有几个立方根？（2 2）0 0有几个立方根？有几个立方根？（3 3）负数呢？）负数呢？立方根立方根平方根平方根与与立方根立方根 2 2平方根的性质平方根的性质一个

48、正数有两个平方根；一个正数有两个平方根；0 0只有只有一个平方根，它是一个平方根，它是0 0本身；负数本身；负数没有平方根没有平方根2 2立方根的性质立方根的性质正数的立方根是正数；负数的正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；立方根是负数；0 0的立方根是的立方根是0 0立方根立方根1 1开平方的定义开平方的定义求一个数求一个数a的平方根的运算，叫的平方根的运算，叫做开平方，其中做开平方，其中a叫做被开方数叫做被开方数如：如： . 24422 ，求一个数求一个数a的立方根的运算，叫的立方根的运算，叫做开立方，其中做开立方，其中a叫做被开方数叫做被开方数如：如：1 1开立方的定义开立方的定义 . 288233，立方根的表示方法：立方根的表示方法： a叫做被开方数叫做被开方数3 3叫做根指数叫做根指数 注意注意: :这个根指数这个根指数3 3是绝对不可省的是绝对不可省的. . 立方根立方根3a用定义进行开立方运算用定义进行开立方运算例例1 1 求下列各数的立方根求下列各数的立方根: :；216. 0. 5；27；1258；833立方根立方根（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）例例 求下列各式