常微分方程第1次课

1、常微分方程主讲人：刘祚秋副教授Lzq_MobTel1 如何建立微分方程（方程组）？如何建立微分方程（方程组）？2 如何求解常微分方程（方程组）？如何求解常微分方程（方程组）？3 微分方程的基本理论：解的存在性、唯微分方程的基本理论：解的存在性、唯一性、稳定性和几何意义？一性、稳定性和几何意义？4 初值问题和边值问题初值问题和边值问题主要内容主要内容本课程包括哪些内容？目的：利用微积分的思想，结合线性代数，解析目的：利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的一些最重要也是最基本的微分方

2、程问题。中出现的一些最重要也是最基本的微分方程问题。成绩考核：平时作业（20%），考勤（15%）、课堂讨论（5%），期末考试（闭卷考试、60%，）（作业、考勤、讨论成绩期末考前给出）答疑时间：课后或到办公室（工学院B304H）本次课程主要内容1、常微分方程的发展简史2、什么是微分方程？3、微分方程一些应用 1.1.19世纪中叶，主要由等人完成的奠定性工作：解的存在唯一 性定理，以及等人对线性常微分方程的系统性研究工作。 2.2.19世纪末，20世纪初，由和分别创立了常微分 方程定性理论和稳定性理论，这些工作的主要特点是不用求出方程的解， 可直接从方程本身讨论其解的性质，这代表了一种崭新的研究非

3、线 性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影响到今天 解决科学问题的过程解决科学问题的过程数值计算方法数值计算方法实际问题实际问题数学模型数学模型数值问题数值问题程序设计程序设计数值解数值解解析解解析解第一步建立实际问题的数学模型一般是比较困难的，既需要建立实际问题的数学模型一般是比较困难的，既需要熟悉与问题有关的自然规律，又需要有一定的数学知识。熟悉与问题有关的自然规律，又需要有一定的数学知识。2222222222sinsinsin0,sin,0dmamgmldtdmlmgdtdgdtlglddt 所以即当很小时令则有12cossin22CtCtlTg解析解：周期：一般情况单摆方程无解析解，

4、需数值求解。 假设假设什么是微分方程？ 建立数学模型建立数学模型, ,当问题涉及变量的变化率时当问题涉及变量的变化率时, ,该模型就是微分方程该模型就是微分方程. . 联系着自变量联系着自变量, ,未知函数及其导数的等式未知函数及其导数的等式. . 微分方程理论及方法是研究自然规律和社会微分方程理论及方法是研究自然规律和社会规律的最为基本的数学理论和方法规律的最为基本的数学理论和方法. .什么是微分方程？它是怎样产生的？什么是微分方程？它是怎样产生的？ 客观现实世界运动过程中量与量之间的关系 ( )( )dP tkP tdt0)sin(ttvsv微分方程的应用 自然科学自然科学: : 物理、化

5、学、生物、工程、航物理、化学、生物、工程、航空航天、医学等学科领域。空航天、医学等学科领域。 社会科学社会科学: : 经济经济、金融等领域金融等领域 例如：牛顿第二定律、万有引力定律、机械例如：牛顿第二定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。例例1 镭的衰变规律镭的衰变规律微分方程举例已知镭的衰变速律与其质量成正比，设已知镭的衰变速律与其质量成正比，设t t

6、0 0时刻，有时刻，有 克镭，试确定时刻克镭，试确定时刻t t镭镭剩余的质量剩余的质量0R解: 设设t t时刻镭的质量为时刻镭的质量为R R（t t）,)()(dttdRtR对时间的变化律是由于镭元素的衰变律就:衰变律可得依题目中给出镭元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0随时间的增加而减少是由于这里tRk 其 解 ： kteRtR0)(即镭元素的存量是指数规律衰减的即镭元素的存量是指数规律衰减的. 将某物体放置于空气中将某物体放置于空气中, 在时刻在时刻0t时时, 测得它的温度为测得它的温度为,1500Cu10分钟后测量得温度为分钟后测量得温度为 试确定试确定此物此物.1001Cu体的

7、温度体的温度 和时间和时间 的关系的关系.ut例例2 物理冷却过程的数学模型物理冷却过程的数学模型Newton 冷却定律冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻设物体在时刻 的温度为的温度为 根据导数的物理意义根据导数的物理意义, 则则 温度的变化速度为温度的变化速度为 由由Newton冷却定律冷却定律, 得到得到 t).(tu.dtdu)

8、,(auukdtdu其中其中 为比例系数为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型学模型.0k注意注意:此式子并不是直接给出此式子并不是直接给出 和和 之间的函数关系之间的函数关系,而只是而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式。如何求解？如何求解？ut解解:“姆潘巴现象姆潘巴现象”：热牛奶比冷牛奶先结冰？：热牛奶比冷牛奶先结冰？由由(2)就可以求任何时刻就可以求任何时刻t物体的温度物体的温度u的数值：的数值：；Cut；Cut；Cut01.24,1803 .24,12070,20Cut24,，用这一结果

9、可解释实际问题。，用这一结果可解释实际问题。0.05124 126(2)tue( )ktau tuce有有 k 和和 c 两个未知数待确定。两个未知数待确定。两个已知条件：两个已知条件：0,150tuC10,100tuC) 1 ()(auukdtdu式（式（1）是一阶线性微分方程，解之）是一阶线性微分方程，解之上例求解结果的图例上例求解结果的图例) 1 ()(auukdtdu；Cut；Cut；Cut01.24,1803 .24,12070,20Cut24,，用这一结果可解释实际问题。，用这一结果可解释实际问题。)2(1224051. 0teu 回顾整个求解过程：回顾整个求解过程： “姆潘巴现象

10、姆潘巴现象”：热牛奶比冷牛奶先结冰？：热牛奶比冷牛奶先结冰？例例3 R-L-C电路电路 如图所示的如图所示的R-L-C电路电路. 它包含电感它包含电感L,电阻电阻R,电容电容C及电源及电源e(t). 设设L,R,C均为常数均为常数,e(t)是时间是时间t的已知函数的已知函数.试求当开关试求当开关K合上后合上后,电电路中电流强度路中电流强度I与时间与时间t之间的关系之间的关系. 电路的电路的Kirchhoff第二定律第二定律: 设当开关设当开关K合上后合上后, 电路中在时刻电路中在时刻t的电流强度为的电流强度为I(t), 则电流则电流 经过电感经过电感L, 电阻电阻R和电容的电压降分别为和电容的

11、电压降分别为 其中其中Q为电量为电量,于是由于是由Kirchhoff第二定律第二定律, 得到得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因为因为 于是得到于是得到,dtdQI .)(122dttdeLLCIdtdILRdtId这就是电流强度这就是电流强度I与时间与时间t所满足的数学关系式所满足的数学关系式. 解解:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零. 例例4 传染病模型传染病模型: :,假设条件为时间以天为计量单位不变考察地区的总人数假设在疾病传播期内所N).()()1 (titst和别为在总人数中所占比例分染者人群中易感染者和已感在时刻.,)2(称日接触率的平均人数是每个病人每天有效接触解解:根据题设根据题设,每个病人每天可使每个病人每天可使.)( 个健康者变为病人ts由于病人总人数为由于病人总人数为),(tNi所以每天共有所以每天共有.)()(个健康者被感染titNs于是病人增加率为于是病人增加率为,NsidtdiN再由初始条件得又因, 1)()( tits)1 (iidtdi0)