工程力学精华版,感谢勤劳的老师4

1、弯曲变形弯曲内力弯曲内力 梁：梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。以弯曲变形为主要变形的杆件。 变形特点：变形特点：原为直线的轴线变为曲线。原为直线的轴线变为曲线。 受力特点：受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 MMABF平面弯曲：平面弯曲：当所有外力当所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )都都作用于作用于纵向对称面内时，杆件的轴纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平线在对称面内弯曲成一条平面曲线。也称为面曲线。也称为对称弯曲对称弯曲。本章讨论受弯杆件横截面上的内力。本章讨论受弯杆件横截面上的内力。 AB对称轴对称轴纵对称面纵

2、对称面梁的轴线梁的轴线P1P2RARB梁变形后的轴线梁变形后的轴线与外力在同一平与外力在同一平面内面内xmm一梁在载荷作用下，由平衡方一梁在载荷作用下，由平衡方程，可求得支反力。这样，就可以程，可求得支反力。这样，就可以进一步研究各横截面上的内力。进一步研究各横截面上的内力。截面法，取左段为研究对象截面法，取左段为研究对象 0yF1RSFFFA0OM)(1RaxFxFMAFs剪力剪力， M弯矩弯矩。 也可取右段为研究对象。也可取右段为研究对象。0S1RFFFA0)(R1xFaxFMA为了使无论取左段为研究对象，还是取右段为研究对象，求为了使无论取左段为研究对象，还是取右段为研究对象，求得同一截

3、面上的剪力和弯矩，不但数值相同而且符号也一样，把得同一截面上的剪力和弯矩，不但数值相同而且符号也一样，把剪力和弯矩的符号规定与梁的变形联系起来，规定如下：剪力和弯矩的符号规定与梁的变形联系起来，规定如下：在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置不在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置不同而变化的。如果横截面在梁轴线上的位置用横坐标同而变化的。如果横截面在梁轴线上的位置用横坐标 x 表示，则表示，则各横截面上的剪力和弯矩可表示为横坐标各横截面上的剪力和弯矩可表示为横坐标 x 的函数，即的函数，即)(SSxFF )(xMM 即为即为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。 以平

4、行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标 x 表示横截面的位置，以纵坐标表示表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。与绘制轴力图或扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面与绘制轴力图或扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面上剪力和弯矩沿轴线变化的情况。上剪力和弯矩沿轴线变化的情况。直接计算梁的任一横截面上的剪力和弯矩。直接计算梁的任一横截面上的剪力和弯矩。 ( (1) ) 某横截面上的剪力，在数值上等于该横截面左侧或者右侧某横截面上的剪力，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力的代数和。该横截面左侧

5、梁上的外力向上取正值，向下梁上外力的代数和。该横截面左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。取负值；该横截面右侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。 ( (2) ) 某横截面上的弯矩，在数值上等于该横截面左侧或者右侧某横截面上的弯矩，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截面左侧梁上的外梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时针为负值；该横截面右侧力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩逆时针为正值，顺时针为负值。梁上的外力对截面

6、形心取矩逆时针为正值，顺时针为负值。 口诀：口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。 例：例：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxMAC段：段： xFRAFRBx)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxMCB段：段： 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()

7、(axxlFbxM)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图( (设设 a b ) ) lFabMlFbFmaxmaxS例如：例如：AC和和DB段。段。 横截面上有弯矩又有剪力。横截面上有弯矩又有剪力。称为称为横力弯曲横力弯曲( (剪切弯曲剪切弯曲) )。 例如：例如：CD段。段。 横截面上有弯矩没有剪力。横截面上有弯矩没有剪力。称为称为纯弯曲。纯弯曲。 弯曲应力弯曲应力 中性轴：中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）面。（横截面绕中性轴转动）设想梁由平行

8、于轴线的众设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维组成，由底部纤维多纵向纤维组成，由底部纤维的伸长连续地逐渐变为顶部纤的伸长连续地逐渐变为顶部纤维的缩短，中间必定有一层纤维的缩短，中间必定有一层纤维的长度不变。维的长度不变。中性层：中性层：中间既不伸长也中间既不伸长也不缩短的一层纤维。不缩短的一层纤维。纯弯曲时正应力的计算公式：纯弯曲时正应力的计算公式：设横截面的对称轴为设横截面的对称轴为y 轴，向下为轴，向下为正，中性轴为正，中性轴为 z 轴（位置未定）。轴（位置未定）。非静定问题由几何关系、物理关系、静力学关系求解纯弯曲时正应力的计算公式：纯弯曲时正应力的计算公式：zIyM 一点的应力是拉应力或压

9、应力，也可由弯曲变形直接判定。一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。越大，其误差越小。IyMzmaxmax ymax当中性轴为对称轴时，横截面上的当中性轴为对称轴时，

10、横截面上的最大正应力最大正应力为为yymaxymaxZCyIWZZmax 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量WZWzMmax对于宽为对于宽为 b ，高为，高为 h 的矩形截面的矩形截面maxyIWzz对于直径为对于直径为 D 的圆形截面的圆形截面maxyIWzz对于内外径分别为对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面的空心圆截面maxyIWzz2/12/3hbh62bh2/64/4DD323D2/64/ )1 (44DD)1 (3243D对于中性轴不是对称轴的横截面？对于中性轴不是对称轴的横截面？求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力yzycmaxytmaxyMIZMy例：例：T字形截面铸铁梁

11、如图。铸铁许用拉应力字形截面铸铁梁如图。铸铁许用拉应力 =30MPa, 许用压许用压应力应力 =160 MPa。已知中性轴位置。已知中性轴位置 y1 = 52 mm，截面对形心轴，截面对形心轴 z 的惯性矩为的惯性矩为 Iz=763 cm4。试校核梁的强度。试校核梁的强度。tc解：解： 1.1.计算支反力计算支反力 kN5 . 2AFkN5 .10BF2.2.绘弯矩图绘弯矩图 mkN4BMmkN5 . 2CMFBFAmkN4BMmkN5 . 2CM3.3.强度校核强度校核 B截面：截面： C截面：截面： zBIyM1max, t4833m10763m)1088)(mN104(zCIyM2max

12、, t故该梁满足强度条件。故该梁满足强度条件。 tMPa1 .46MPa8 .284833m10763m)1052)(mN104(MPa3 .27zBIyM2max, cc4833m10763m)1088)(mN105 . 2(t按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件 WMmaxmax由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩 Mmax 的数值；二是

13、采用合理的截面形状，以提高弯曲截面系数的数值；二是采用合理的截面形状，以提高弯曲截面系数W 的数值。的数值。提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 1 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况 合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。 合理布置梁的支座，同样也可以降低梁的最大弯矩。合理布置梁的支座，同样也可以降低梁的最大弯矩。 2 采用合理的截面形状采用合理的截面形状 在截面面积一定时，环形截面比圆形截面合理，矩形截面比在截面面积一定时，环形截面比圆形截面合理，矩形截面比圆形截面合理，矩形截面竖放比平放合理，工字形截面比矩形截圆形截面合理，

14、矩形截面竖放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。面合理。3另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。 对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，宜采用中性轴偏对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。于受拉一侧的截面。 弯曲变形弯曲变形弯曲变形物理量：挠度与转角弯曲变形物理量：挠度与转角挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中

15、, 向上为正向上为正, 向下为负向下为负。转角：转角： 逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1q q (转角转角)F 挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线称为：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线。挠曲线方程挠曲线方程:式中式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该为该点的挠度。点的挠度。( )wf xyxABCw(挠度挠度)C1q q (转角转角)挠曲线挠曲线F 挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：tan( )wfxqqyxABCw(挠度挠度)C1q qq q (转角转角)F( ) M xwEI 梁的挠曲线近似微分方

16、程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)称为称为近似近似的原因的原因: (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; (2)略略去了去了w2项。项。再积分一次再积分一次, 得得挠度方程挠度方程上式积分一次得上式积分一次得转角方程转角方程若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量, 上式可改写成上式可改写成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：积分常数式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线

17、的边界边界条件条件和变形的和变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0q qA0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在挠曲线的任一点上在挠曲线的任一点上, 有有唯一的挠度和转角。如唯一的挠度和转角。如:不可能不可能CCww CCq qq qc条件条件：由于梁的变形微小由于梁的变形微小, , 梁变形后其跨长的改变可略梁变形后其跨长的改变可略去不计去不计, , 且且梁的材料在线弹性范围内工作梁的材料在线弹性范围内工作, , 因而因而, , 梁的梁的挠度和转

18、角均与作用在梁上的载荷成线性关系。挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 在这种情况下在这种情况下, 梁在几项载荷梁在几项载荷 (如集中力、集中力如集中力、集中力偶或分布力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加叠加。此即为。此即为叠加原理叠加原理。按叠加原按叠加原理求理求A A点点转角和转角和C C点挠度。点挠度。 解、解、载荷分解载荷分解如图如图qqPP=+AAABBB Caa例例: :试利用

19、叠加法试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为EI的简支的简支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：该梁上荷载可视为：该梁上荷载可视为正正对称载荷对称载荷与与反称对载荷反称对载荷两两种情况的叠加。种情况的叠加。(1) 正对称载荷作用下正对称载荷作用下4415(2)5384768CqlqlwEIEI (2) 反对称荷载作用下反对称荷载作用下在跨中在跨中C截面处截面处, 挠度挠度wC2等于零。等于零。BACq/2q/220Cw(3) 将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加, 即得即得4125768CCCqlwwwEI 例例 用叠加法求梁

20、中点处的挠度。设用叠加法求梁中点处的挠度。设bl / 2 。l/2lABqbxdx解解：将均布荷载看作许多微集：将均布荷载看作许多微集中力中力dF组成组成2222ddw(34)48d(34)48CFxlxEIqx xlxEI dF = qdx2222203(34)()48482bCqqbwxlxdxlbEIEI dFC当b=l/2时,2422( / 2)35( / 2) 482768Cq lqlwllEIEI 例例 叠加法（叠加法（逐段刚化法逐段刚化法) )抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI，求，求B处处的挠度与转角、的挠度与转角、C C处的转角。处的转角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价

21、等价等价等价PL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM简单超静定梁简单超静定梁lABq要求解如图所示的超静定梁，可以以要求解如图所示的超静定梁，可以以B端的活动端的活动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的梁即为原超静定梁的基本静定梁基本静定梁。 ABqFB为使基本静定梁的受力为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定及变形情况与原静不定梁完全一致，梁完全一致，还要求基还要求基本静定梁满足一定的变本静定梁满足一定的变形协调条件。形协调条件。 lABqABqFB 由于原静不定梁在由于原静不定梁在B端

22、端有活动铰支座的约束，因有活动铰支座的约束，因此，此，还要求基本静定梁在还要求基本静定梁在B端的挠度为零端的挠度为零，即，即 0Bw 此即应满足的此即应满足的变形协调条件变形协调条件( (或变形相容条件或变形相容条件) ) ABq建立补充方程建立补充方程0BBqBFwwwABFBwBFwBqABqFB由图可见，由图可见，B端的挠度端的挠度为零，可将其视为均布为零，可将其视为均布载荷引起的挠度载荷引起的挠度wBq与与未知支座反力未知支座反力FB引起的引起的挠度挠度wBF的叠加结果，的叠加结果，即即:ABqABFBwBFwBq48BqqlwEI 由由表表9.3查得查得力与变形力与变形间的物理关系间

23、的物理关系： 33BBFF lwEI34083BF lqlEIEI将其代入前式得：将其代入前式得： 即得补充方程即得补充方程 ABqFB38BFql由此解出多余约束反力：由此解出多余约束反力： 34083BF lqlEIEIlABq再利用平衡方程即可求得再利用平衡方程即可求得其他支座反力。其他支座反力。 0,0 xAxFF0,0yAyBFFqlFABqFBFAyMAFAx58AyFql2()0,02AABqlMMF lF218AMql一、选择题一、选择题1 1）梁发生平面弯曲时，其横截面绕（）梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ ）旋转。）旋转。 A A、梁的轴线、梁的轴线 B B、截面对称轴、截面

24、对称轴 C C、中性轴、中性轴 D D、截面形心、截面形心2 2）已知某梁段的剪力图）已知某梁段的剪力图( (左图左图) )，则该梁段的分布荷载，则该梁段的分布荷载q为为( )( )。 A A、2KN/m B2KN/m B、1KN/m C1KN/m C、 - 2KN/m D- 2KN/m D、- 1KN/m- 1KN/m3 3）用积分法求图示）用积分法求图示( (右图右图) )梁的弯曲变形，边界条件是：梁的弯曲变形，边界条件是：( ) ( ) 。 A A、 y(0)=0, =0, y(L)=0 B B、 y(0)=0, y(L)=0 C C、 y(0)=0, y (L)=0 D D、 y(0)=0, y(L)=0二、填空题二、填空题1 1）用积分法求左图所示梁的变形时，边界条件为：）用积分法求左图所示梁的变形时，边界条件为： 、 、和、和 ； 连续条件为连续条件为 和和 。a2aABDP2 2）右图所示梁，边界条件为：）右图所示梁，边界条件为： ；连续条件为；连续条件为 。三、作图题三、作图题1 1）作左图示悬臂梁的剪力图和弯矩图）作左图示悬臂梁的剪力图和弯矩图 2 2）作右图示梁的剪力图和弯矩图。）作右图示梁的剪力图和弯矩图。