复变函数习题答案习题详解_第1页
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1、复变函数习题答案第4章习题详解第四章习题详解1.下列数列an是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：-5mi1)a2)a3)a4)a5)a1eni2n2.证明:liman0,a,a1,a不存在，a1,a13.1)判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:nn2)3)4)cosinno4.下列说法是否正确？为什么?1）每一个品级数在它的收敛圆周上处处收敛;2）每一个品级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;5.品级数3）每一个在z0连续的函数一定可以在z0的邻域内展开成泰勒级数。Cnz2n能否在z0收敛而在z3发散?n06.求下列品级数的收敛半径:1)nznp（p为正整数）；2)3)4)i_enzn；5)6)n二

2、一oInin7.如果cnzn的收敛半径为n0R,证明Recnznn0的收敛半径Ro提示:nRecnzcn|zn8.证明：如果lim2存在ncn,下列三个品级数有相的收敛半径ncn1n8，T7zn1)ncnZO9.设级数cnn0收敛，而扁发散，证明n0ncnZn0的收敛半径10 .如果级数Cnzn在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对n0收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。11 .把下列各函数展开成z的品级数，并指出它们的收敛半径：2);3) cosz2；4) shz；5) chz;6) ezsinz2；z7)L；18).二。12.求下列各函数在指定点z。处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径

3、：z。1；3)3z。1；4)4z,05) tgz;z。6) arctgz；z。0。13.为什么在区域函数fz展开成数？zR内解析且在区间R,R取实数值的的品级数时，展开式的系数都是实14.证明在fzcosz2以z的各募表出的洛朗展开式中的各系数为Cn2-0c0s2coscosndnn0,1,2,O提示:在公式4.4.8中,取C为1,在此圆上设积分变量eio然后证明Cn的积分的虚部等于零。15.下列结论是否正确?用长除法得因为-z-0z1所以1 1234Fr1zzzz02 3zz16.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数:1)1；2；2)z13)T?，14)”，15)-,在以i为中心的圆环域内;zzi6)sin士，在z1的去心邻域内;17.函数tg1能否在圆环域0z展开成洛朗级数？为什么?18 .如果k为满足关系k21的实数，证明,nsinksinn12n012kcosk,ndCOSkkcosn12n012kcosk提示：对zk展开zk1成洛朗级数，并在展开式结果中置zei部相等。,再令两边的实部与实部相等，虚部与虚19 .如果C为正向圆周z3,求积分fzdz的值

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