幂级数习题课

1、级数，不能直接用公式limnaT.an1limnan.常用方法是:1）进行变量替换.将原哥级数变为一个无缺项的哥级数.计算出后一哥级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原哥级数的收敛半径.111例如帚级数一x,可令yx2,化为哥级数一y,而帚级数一yn的收2 2nJ0nJ0nJn12n12敛半径为R2,从而当x22时，原哥级数收敛，当x22时，原哥级数发散，由此推2）对缺项哥级数需要按照类似于定理14.2来求.2n例如求哥级数 0n02“2n缺项哥级数）的收敛半径.对于哥级数 j,因为n02222nlim12111”，当号1时，即x2,收敛，则原来级数绝对收敛;22n当卫41时,2n即x2

2、,4发散，则原来级数发散，所以收敛半径R2.c2n2.如何求哥级数的收敛域答：1）首先求哥级数的收敛半径R;2）写收敛区间R,R;3）讨论端点处的收敛性，即讨论anRn,anRn的收敛性，如果两个都收敛,n0n0则哥级数的收敛域为R,R，如果两个都发散，则收敛域为R,R，如果其中一个收敛,一个发散，则收敛域为R,R（anRn收敛），R,R（anRn收敛）.n0n03.哥级数在R,R内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何答：1）哥级数在R,R端点处可能收敛可能发散.第十四章窑级数习题课疑难解析与注意事项1.如何求缺项哥级数的收敛半径答：如果一个哥级数有无限多个项的系数为零这样的哥级数称为缺项

3、哥级数，对这种哥nX、的收敛区间是1,1,在端点1处，级数nn1数一二收敛，收敛域是1,1.n2)如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛.nnXX在端点1处是条件收敛，。收敛域是1,1,在端点1与1处都是绝对收nn敛的.4.哥级数与逐项求导逐项积分后备级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗n1答：不一定，例如xn收敛域为1,1，但逐项积分和哥级数为工收敛域为n1n11,1.设备级数anXn,nanXn1,%收敛域分别是D,D1，D2,则有DDD2n0n1n0n1如果一个哥级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性.一般来说，逐项求导后，

4、系数由an变为nan,不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由an变为,不会使收敛区间端点处的收敛性n1变坏.5 .如何求哥级数的和函数答：首先求出哥级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求哥级数的和函数：(1)变量替换法一一通过变量替换，化为一较简单的哥级数.(2)拆项法一一将哥级数分拆成两个(或几个)简单哥级数的和.(3)逐项求导法一一通过逐项求导得出另一哥级数，而此哥级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原哥级数的和函数.(4)逐项积分法一一通过逐项求积得出另一哥级数，而此哥级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原哥级数的和函数.一般通

5、过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有n!,向eX的哥级数展开形式转化，系数含有2n!,2n1!向sinX,cosX展开形式转化.注意：上述运算过程在哥级数的收敛区间内总是可行的(而在哥级数的收敛域上却不一定可行).因此，我们一般只限定在哥级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求哥级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左(右)连续性来求.1发散，在端点1处级n例如哥级数还需指出， 这里所介绍的方法， 仅仅是可供选择的几种途经.对具体问题， 常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解.6.如何利用哥级数求数项级数的和答：选择合适的

6、哥级数，使该数项级数为哥级数在某收敛点数的和函数Sx,则Sxo便是原数项级数的和.7.如何求函数f在x0处的哥级数展开式答：主要有以下两种方法:limRnx0.n(2)间接法.借助某些基本函数的展开式，通过适当变换,逐项求积等方法，导出所求函数色哥级数展开式.这是常用的方法.注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围.典型例题求哥级数的收敛域:4,4).(1)直接法.计算函数f在x0处的各阶导数f(n)Xo,写出它的泰勒级数，然后证明2)令tX(2)(上一转化为(2n1)!12n1(2n1)!X0处的值.然后求出哥级四则运算，逐项求导或者1)啸x；2)2n1(x2)(2n1)!3)3n(2)nn

7、J(x1)n；n4)(11)xn；n5)21nx2n解：1)由于(n1)!22(n1)!(2n)!(n!)limn(n1)2(2n2)(2n1)敛半径R4,当x4时，这个级数为(n!)2(2n)!(4)n,通项记为Un,则有limnUn2,n22n(n!)4(n!)262n(2n)!(2n)!5(2n32n1,1)x4时级数(n!)2(2n)!xn发散，从而可知这个级数的收敛域卜面先求12n1(2n1)!的收敛域，因为limn12n1(2n1)!都收敛,因此3)令t3n的收敛域,由于收敛区间为11一时,3因为t2n1(2n1)!-12n1-(2n1)!12n1(2n1)!limn(2n的收敛域

8、为且(x1)n转化为3(2%n01,即对任意1)2n,因此的收敛域为3n(2)n1nn3n(2)nnimnan=nimn：n3,所以收敛半径因而级数(2)0Y的11)3,33n(2)n(1)收敛,11时，级数为3(2)nn收敛(收敛,(n2)发散,因此3n(n0t的收敛域为134)因为从而收敛半径R1,一一1可见级数(1-23nlimn又当x巨(x1)n的收敛域为n1,1时,lim(1n1一)(n1)nlimn0,vn11,所以1n.-)x在Xn1时发散，故这个级数的收敛域为(1,1).5)法1:(将其看成不缺项的哥级数0 x1x20 x3Jx422221n法2:令Xt,t收敛半径为2,故RJ

9、2.n12法3:(将其视为以x为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)即收敛半径为RJ2,收敛区间是五，五，当又行时，,X2n为n12n因此收敛域为衣,衣,2.应用逐项求导或逐项求积分方法求下列哥级数的和函数(应同时指出它们的收敛域):n(1)求哥级数工的和函数；n1nn(2)求哥级数人的和函数；n1n1(3)求哥级数nXn1的和函数;n1(4)求哥级数nXn的和函数;n1352n1(5)求哥级数X-一的和函数;352n1nX(6)求哥级数的和函数；n1n(n1)n(7)求哥级数人的和函数.n1n!注：应用：求哥级数的和函数0,设an12kn2k1n2k1nxn122nlimnUn1(X)Un

10、(X)2.Xlimn2v12时哥级数收敛,当X血时发散，故R点.含有n!,向ex的展开形式转化，假如系数含有2n!,2n1!向sinx,cosx展开形式转化）；收敛域若不是开区间，还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续.写出和函数，注明定义域D.解（1）1）求收敛域；limn/jajlimni1limL：1（或lim:n1lim11）;nnnnnnnann1n收敛半径R工1；收敛区间1,1;思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化.（假如系数含有n!,向ex的展开形式转化，假如系数含有2n!,2n1!向sinx,cosx展开形式转化）

11、.必须的知识点:11）等比级数W，Wn01Wn1x2）牛顿莱布尼兹公式ftdtfxfa；3）xftdta注意点:1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求f0时必须要看级数展开式中第一项;首项例设fxanxn,先看展开式中第一项是a0,因此f0a0.n0常见错误，有些人把0直接代通项，f000.n0设fxanxn,先看展开式中第一项是ax,因此f00.n13）涉及到除以x时，要讨论x为0不为0.哥级数求和函数步骤求其收敛半径R和收敛域D.在收敛区间内求和函数.（利用变量替换,逐项求积，逐项求导等方法），（假如系数当x1时，21一收敛；当x1时，-发散.n1nn1n因此收敛域为1,1.2）向等比级数

12、转化；n分析：因为等比级数系数为1或1n，而上的系数为-,要向等比级数转化必须要n1nn把n抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n抵消.n令fx,n1n在收敛区间1,1上逐项求导（注意哥级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）.x1dtIn1x,x1,101t1时，（若哥级数anxn在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这n0一端点上右（左）连续.）1,而要除以x,就必须讨论x为0 xn1n1不为0.当x0时，f000ftdtf1limfxlimx1x1In1x分析： 要向等比级数转化， 必须要把系数中的n1抵消，但是只有xn1的求导才能出现nn11,（只需要求出n1n1xn1n1n1-就

13、会求出fx,下面求n1n1在收敛区间1,1上逐项求导.n1,必须要乘一个x,除以一个x,收敛域1,1当x0时，fxx0gtdt1时,(3)收敛域为(4)0lntdtnnxn1nnxn1In1xxlim1glim:11,0 xlnU0,1xln211,11在1,1ntn1dt1上逐项积分;解1:收敛域为1,1nxnxxnxn1n1n-1解2由于limn；|an|=lim且当x1时,这个骞级数发散，所以骞级数的收敛域为(1,1),设f(x)nx1n1n1nx1令g(x)nnx在(1,1)上对g(x)逐项积分得,x0g(t)出n1nntdt=xn1所以g(x)()=12,从而f(x)1x(1x)x(

14、1x)2(5)讨论级数2n1x2n1limnx2n32n32n121,1,2x2n收敛,2x02n1-收敛;11,1,发散,2n102n11发散,因此收敛半径R1,收敛区间为1,1,1时,1n02n1(1)2n12n11n02n一都是发散级数，所以哥级数的收敛域1为(1,1),设f(x)2n1Jn02n1在(1,1)逐项求导可得f(x)所以f(x)*dt21n2nxI01x1x1),(6)由limnnn(n11知哥级数的收敛半径为1)R1.又x1时，级数均收敛,故哥级数的收敛域为1,1.令S(x)nxn1n(n1)x1,1则xS(x)n1xn(n,1)1,1由于x(1,1),有(xS(x)n(

15、十1n(n -)1)(xS(x)n()1n从而x(1,1),有-x_xdt.、(xS(x)0(tS(t)dt0的ln(1x),xxxS(x)(tS(t)dtln(1t)dtx(1x)ln(1x),00于是1xS(x)1ln(1x),x(1,1)0.x而由S(x)的定义，S(0)0.此外，当x1时，S(x)在x1处右连续,x1处左连续.故1x.S(1)limS(x)lim1ln(1x)12ln2,x1x1x1x.S(1)limS(x)lim1ln(1x)1.x1x1x综上知0,x0;1xS(x)1-ln(1x),x1,1)0;x1,x1.3.利用哥级数求数项级数的和.2n1,一2)求级数一厂的和

16、；n12n方法：先选择适当的哥级数，使该数项级数是所选哥级数在某收敛点x0处的值，然后求出和函数S(x),则S(x0)便为所求之和.解(1)法1：级数2nx2n的收敛域为1,1,2nx2nx2nx2n1,令n1n1n1s(x)2nx2n1(7)易求收敛域为nxn0n!1ex1,x1)求级数2nx2n的和函数,n1并求数项级数二的和;19x逐项积分0s(x)dx2n12nxdx0n12nx两边求导，得s1(x)2作)1x(12x22x)所以n2nx12nxs(x)(12x2F1,1从而n12n12吗2n(19)2964通过如下代数运算，使其求和过程非常简便.法2令s(x)2x24x46x62n2

17、nx2，、xs(x)2x44x66x82(n1)2nx(1x2)s(x)2(x2nx2x21x2所以s(x)2x2L2T?(1x)1,1(2)作哥级数n2n12n2n2x,并设和函数为x则0s(x)dxx2n12n2dx2n1)n两边求导，得S(x)(门2x2(2x2)2(x2T(x0),x2后)，因为x1在收敛区间内，故用x1带入上式得S(1)2n123.4.求函数的骞级数展开式1)将函数fxex,ax,sinx2展开成x的哥级数;2)将函数fxlnx展开成(x1)的哥级数;3)将函数2fxsinx展开成x的帚级数;4)f(x)0处的泰勒级数展开式;5)2在x1处的泰勒级数展开式;26)求f(x)ln(x,1)在x0处的泰勒级数展开式.看清要在哪点展开;确保得到的是哥级数;注出定义域.解：1)-2、将x视为一个整体,的展开式可知类似地xlnae一2sinx0小2)n12nx0n!1，、2na)(lna)nnxn!，(a0,a1)0(2n(1少1)!(1)n0(2n4n一x1)!)12)1xIn1Inxln1(x1)(1)n0n1(x1)n11,2).23)sinxcos2x221八2n2n1)n2_)(2n)!1)c2n2n