平行线分三角形两边成比例

1、平行线分三角形两边成比例【知识要点】平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。【重点、难点】重点：平行线分三角形两边成比例。难点：平行线分三角形两边成比例的灵活运用。【知识讲解】一、平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。在使用这个性质的时候，应特别注意对应的问题。如图中的AD与AE、DB与EC、AB与AC分别是对应线段。对应线段成比例是指同一边上两条线段的比等于另一条边上与它们对应的线段的比。AD=AEAD=AEDB=EC在上图中，若DEIIBC,那么DBEC'ABAC、ABAC等。另外，根据比例AD=DBAD=ABDB=AB的性质还可得到：AEEC&#

2、39;AEAC、ECAC等。这些根据比例性质得到的式子在今后的计算与论证中，只要DEIIBC就可直接应用。为了大家加深对对应”的含义的理解，掌握好对应关系，还可使用一些简单的形象化的语言，帮助自已加深记忆。例如：在上图中，如果DE/BC,那么：AD_AEDBEC可说成是上比下等于上比下”；AD=AEABAC可说成是上比全等于上比全”；DB=ECAB数可说成是下比全等于下比全工根据比例的性质，我们还将上述结论中的比例式化成AD=DBAEEC可说成是左比右等于左比右”；AD=ABAEAC可说成是左比右等于左（全）比右（全）”等等。使用这些形象化的语言，不仅能够按照要求准确而迅速地写出比例式，而且也

3、容易检查比例式写得是否正确。二、平行于三角形一边的直线截其两边的延长线，所得的对应线段也成比例。AE=AD如图，AABC中，若DEIIBC交BA、CA的延长线于D、E,则ACAB。【典型例题分析】例1、已知：如图，DEIIBC,AB=14,AC=18,AE=10,求AD长。解：,DE/BCAD=AE,瓦三,n_ABAE_14x1070_一7AD=7-！：二二例2、如图，ED/BC,且AB=5,AC=7,AD=2,求AE的长解：,ED/BC,AE=ADACAD=7x2AEAB2.8例3:已知：如图，AB±BD,EDXBD,垂足分别为B、D,求证:AC=BCECDC证明：,.ABXBD,

4、EDXBD,./B=ZD=90°AB/DEAC=BCECDC交PM于N,过N作DN例4、在AAPM的边AP上任意选定点B和C,过B作BNIIAM/CM交AP于D,求证：PAPD=PBPCMPA_PC分析：欲证PAPD=PBPC,运用等积式与比例式的互化，即欲证PBPD,根据已知条PA=PMPM=PCPA=PC件BNIIAM,可推出PBPN,由DNIICM,可推出PNPD,从而得PBPD。证明：BNIIAM,PA=PM'P3,又DNIICM,PC=PMTT正7,PA=PCPAPD=PBPC例5:如图，在AABC的AC边上取一点D,延长CB到E使BE=AD，连ED交AB于F,EF

5、=AC求证：FDBC。EF=AC分析：欲证无¥5,可考虑EF、FD、AC、BC是否是一角的两边被两条平行线所截得的四条线段。而本题所求证中的四条线段不属于上述情况，故一般通过寻求媒介比，即寻找BE=EF两条线段使之与EF、FD成比例来解决。观察图可知，需作DG/AB,则有BGFD,进而考BEAC虑BG是否与BC相等。根据已知条件AD=BE,易证它们是相等的，故得证。证明：过D作DGIIAB交BC于G,EF_EB.产<,AD=BE,EF=ADDGIIAB,AC=ADE-,EF=ACFDBC.BDAB例6:已知：AABC中，AD是角平分线，求证：DCACEBD=AB如要证明分析：在比例式DCAC中，AC是BD、DC、AB的第四比例项。从图中又可看出,果过点C作CE/AD交BA的延长线于E,就可得到BD、DC、BA的第四比例项AE。BD=ABDCAC,只要证明AC=AE即可。