第5章专题01平面向量及其应用（题型篇）（原卷版）

专题01平面向量及其应用题型1平面向量的线性运算1平面向量的运算符合平行四边形法则和三角形法则；2平面向量的线性运算，用基底表示任一向量，方法有：首位相接法、构造平行四边形等，同时注意方法的综合运用；3在运算过程中，灵活运用一些小结论，比如三角形的中线；4掌握平面向量运算的坐标表示，利用建系的方法也可以。【注意】在平行向量的线性运算的应用中，用到基本定理，要注意基底的选择。1（2024·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，则AF=（

A．34AB+14AD B．12（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点，记AG=λAB+μAD，则A．1712 B．1312 C．7123（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，BM=2MC,N为线段AM上一点，且AN=(1-λ)ABA．34 B．25 C．56题型2平面向量的共线定理1两个向量共线共线定理非零向量a与向量b共线⇔有且只有一个实数λ，使得b当λ>0时,λa的方向与a当λ<0时，λa的方向与a当λ=0时，λa2设a=(x11（2023·北京海淀·二模）已知a、b是平面内两个非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2（2324高一下·广东江门·阶段练习）设a,b是非零向量，则aa=bA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3（2025·山东·模拟预测）已知平面向量a=-2,3，b=1,2，AB=a-3b，BC=λa+A．-23 B．-13 C．4（2025·江苏南通·模拟预测）已知0<θ<π，向量a=sinθ,2cos2θ2，题型3平面向量的垂直问题1若a⊥b，则2若

a(x13在平面几何中的垂直问题，可用平面向量处理。1（2025·甘肃白银·三模）已知角α是锐角，若a=5sinα+2,1，b=sinα,-3A．2425 B．247 C．12252（2025·浙江·二模）已知向量a=2,1，b=2,-1，则m=λa+b，A．存在唯一的实数对λ,μ，使得m//n B．存在唯一的实数对λ,μC．存在唯一的实数对λ,μ，使得m=n D．存在唯一的实数对λ,μ3（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量a=2,1，b=1,-2，若A．μ-λ=0 B．μ+λ=0 C．λμ+5=0 D．λμ-5=04（2425高三上·辽宁鞍山·期末）已知向量a=m+2,1,b=1,-3，若A．2 B．1 C．-1 D．-35（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量a,b满足2a→=A．cosa→,b→=32166（2025·浙江·二模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，y=fx的图象与y轴交于点C，A．4 B．25 C．10 D．题型4求平面向量的投影1向量b在向量a上的投影：|b|cosθ，它是一个实数，但不一定大于2向量b在向量a上的投影公式：a⋅3求投影或其坐标，多结合图形去思考。【注意】注意投影和投影向量的区别，投影是个数，投影向量是个向量。1（2025·陕西商洛·模拟预测）已知a+b=a-b，则A．b B．-b C．a D．2（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形PQRS中，若PQPQ+PSPS=3PRA．12PQ B．PS C．323（2024高三·全国·专题练习）已知向量a=3,m，b=2,-3，若a⊥b，则A．5,-1 B．3,2 C．52,-15（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,2)，|a-b|=A．110,15 B．15,6（2025·海南·模拟预测）已知平面向量a，b满足|a|=3,|b|≤2，且|3a题型5求平面向量的数量积1如果两个非零向量

a,b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)2设a=(x3求平面向量的数量积，主要有定义法(利用a⋅b=a|【注意】求数量积时，要注意的解题方法的选择。1（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形ABCD的边长满足AB=2AD=4，以A为圆心的圆与BD相切于P，则AP⋅AC＝A．325 B．C．8 D．42（2025·湖北黄冈·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，AB+AD=AB-A．2 B．22 C．3 D．3（2025高三·全国·专题练习）在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，P为平面ABCD内的任意一点，则PA⋅PC-A．2 B．0 C．-2 D．44（2025·浙江·三模）已知A，B，C是函数fx=2-log3x图象上的三点，A在x轴上，且BC//x轴，若A．0 B．－1 C．－107 D．82题型6平面向量的夹角问题1由数量积的定义可知cos<a2设a=(x13求夹角要清楚求的是哪两个向量的夹角。1（2023·四川内江·一模）设x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,-2)，且a⊥bA．210 B．22 C．5102（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量a，b满足a=b=3，且a在b上的投影向量为-32b，则向量A．π3 B．2π3 C．33（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量a,b满足a-b⊥A．33 B．22 C．134（2025·河南新乡·模拟预测）在△AOB中，记OA=a、OB=b，向量a、b满足a=3，b=2，A．352 B．353 C．1555（2025·河南·三模）在△ABC中，向量AB=x,1，BC=-3,2-x，若∠ABC为锐角，则实数A．12,3∪C．12,+∞题型7平面向量的最值问题1平面向量的最值是多样的，最常见的是求数量积的最值，方法有（1）定义法(利用a⋅b=（2）基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；（3）建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；（4）极化恒等式①平行四边形模式：在平行四边形ABCD中，AB∙即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的14②三角形模式：AB∙2利用平面向量的等和线，可以处理类似求AO=λAB3其他的一些最值问题，主要思路也是几何法或代数法。几何法强调对图形的观察，能够辨识出几何模型；代数法，主要是如何引入参数表示所求，再利用函数方法求解，引入哪个变量是难点。【注意】采取代数法求解最值，要注意引入的变量的取值范围。1（2025·河南·一模）如图梯形ABCD，AB∥CD且AB=5，AD=2DC=4，E在线段BC上，AC⋅BD=0A．1513 B．9513 C．15 D2（2025·安徽滁州·二模）已知A,B,C三点在单位圆上运动，且AB=3，则BC⋅A．-12,32 B．-33（2025·广东东莞·模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，则PM⋅PN的最大值是（A．-14 B．0 C．144（2025·北京丰台·一模）在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，2DO=DA+DB，且DOA．3 B．4 C．6 D．85（2025·甘肃·一模）已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，点M为边CD上的动点，若∠AMB=α，则cosα的范围是（

A．0,17 B．-17,1 C6（2024·河北保定·二模）如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动点，已知圆O1和圆O2的半径都为1，且A．2 B．4 C．22 D．7（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量a,b,c满足a-2c⋅A．1 B．2 C．3 D．48（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=30∘，点P在以BC为直径的半圆（△ABC外）内及边界上运动，若AP=λAB+μ9（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧AB（含端点）上的动点．记OC=λOA+μOB（(1)若O到弦AB的距离是12，求λ+μ(2)若3OA-OB≤52，向量2OA题型8平面向量在几何的应用1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.2用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.Eg点A、(1)证明直线平行或共线：AB//CD⇔(2)证明直线垂直：AB⊥CD⟺(3)求线段比值：ABCD=(4)证明线段相等：1（2025高三·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0，则A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心2（2025高三·全国·专题练习）O为△ABC平面内一定点，该平面内一动点P满足M={P|OP=OA+λ(|AB|sinA．重心 B．垂心 C．外心 D．内心3（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(0,2)A．3 B．5 C．7 D．94（2025高三·全国·专题练习）已知在△ABC中，BC=6,G,O分别为△ABC的重心和外心，且OG⋅BC=6，则△ABCA．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能5（2025·广东广州·二模）在平面四边形ABCD中，AC=AD=4,∠CAD=60°,∠ABC=90°，若△ABD的面积是△BCD的面积的2倍，则BD的长度为.题型9平面向量在物理的应用1速度、力是向量，都可以转化为向量问题；2力的合成与分解符合平行四边形法则.1（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F⋅S（其中W是功，F是力，S是位移）一物体在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．-5 D．-252（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知AB//CD,AB=4,BC=2,CD=3，AB⋅BC=-2，则质点PA．9 B．215 C．213 D3（多选）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行，已知船的速度v1的大小为v1=10 km/h，水流速度v2的大小为v2A．当船的航行时间最短时，θ=π2BC．当θ=π6时，船的航行时间为6分钟D．当θ=4（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，在同样的细绳OC的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是(三条绳本身质量忽略不计，横线上填OA或OB或OC)．题型10平面向量的新定义处理新定义问题，理解新定义的内容是重点，多结合简单的特例感性了解，再试图寻找其中的共性，把理解升华到理性分析，力求明白其中的本质。1（2025·吉林·模拟预测）设Ax1,y1，Bx2,y2，定义余弦距离e(A,B)=1-cosOA,OBA．2 B．1 C．1-22 D2（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，向量OA=a=x1,y1,OB=b=x2,y2，若A．|λ+μ| B．|λμ| C．|λ|+|μ| D．|λμ|3（2024·河北