平面几何基础知识

1、平面几何基础知识（基本定理、基本性质）中线定理三线定理垂线定理角平分线定理重心：三角形的三条中线的交点三角形皿、垂心：三角形的三条高四心内心：三角形的角平分线的交点线的交点内接圆外心：三角形的三条中线的交点外接圆三角定理正弦定理余弦定理1 .中线定理：设ABC的边BC的中点为P,则有：AB2AC22AP2BP2,中线长:2222b2ca2 .垂线定理：ABLCDAC2AD222BCBD，一bc.身线长，sinAcsinBbsinCa3 .角平分线定理：三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。4 .重心性质：设G为ABC的重心,(1)连结AG,并延长交BC于D,则AG:

2、GB=2:1(2)1SAABGSabcgSacg-Saabc3(3)222222BC3GBCA3GBAB3GC2 221222GAGBGC&ABBCCA322_2_2_2_2_2PAPBPCGAGBGC3PG(P为abc内任意一点)(4)三角形内到三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2GB2GC2最小(5)三角形内到三边距离之积最大的点是重心。5 .垂心性质：(1)三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍(2)垂心关于ABC的三边的对称点均在ABC的外接圆上。(3)AABC的垂心为H,则AABC,ABH,4BCH,4ACH的外接圆是等圆。6 .内心的性质：设I为4ABC的内心，

3、则：(1)1到4ABC三边的距离相等(2) ZBIC=90+；/A,/AIC=90°+1ZB,ZAIB=90+1ZC(3) /A平分线交BC于D,交ABC外接圆于点K,则AIAKIKbcIDKIKDa7 .外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等(2)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外切圆半径之和。8 .梅涅劳斯定理定理：一条直线与ABC勺三边ABBGCA所在直线分别交于点DE、F,且DE、F均不是ABC的顶点，则有ADBECF/1.DBECFA梅涅劳斯定理的逆定理定理：在ABC勺边ABBC上各有一点DE,在边AC的延长线上有一点F,若ADBECFDBECFA1,那么

4、，DE、F三点共线.9 .塞瓦定理条直线分别交ABCE边ABBCCA于点DE、F,且DE、F三点均不是ABC的顶点,BC定理：在ABC3一点P,该点与ABC的三个顶点相连所在的三则有ADBECF.1DBECFA塞瓦定理的逆定理定理：在ABCS边ABBCCA上各有一点DE、F,且DE、ADBECFF均不是ABC的顶点，若二1，那么直线CDAEBFDBEC卜A10 .托勒密定理A定理：凸四边形ABC京某圆的内接四边B形，则有AB-CD+BCAD=ACBD.托勒密定理的逆定理定理：如果凸四边形ABCDf足ABXCD+BCXAD=ACXBD那么A、B、CD四点共圆.托勒密定理的推广定理：如果凸四边形ABCD勺四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABXCD+BCXAD>ACXBD11 .西姆松定理定理：从ABC外接圆上任意一点P向BCCAAB或其延长线引垂线，垂足分别为DE、F,则D,E、F三点共线.12 .欧拉定理定理：设ABC勺重心、外心、垂心分别用字母GQH表示.则有GQH三点共线（欧拉线），且满足OH3OG.13.蝴蝶定理定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引