幂级数的展开

1、函数的曷级数展开研究摘要：本文主要讨论函数项级数中的哥级数的展开。我们把按照泰勒定理及相关定理展开函数的哥级数的方法叫直接法。一般情况下，只有少数简单的函数能利用直接法得到其哥级数展开式。更多的函数是通过间接法得到。间接法就是根据唯一性定理，利用已知函数的展开式，通过线性运算、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幕级数的展开式的方法。同时哥级数在近似计算、数值逼近、微分方程的解等许多数学方面具有重要作用，但前提是正确展开一个函数的哥级数。因此，我们的目的是通过实例总结和研究高等数学中函数的哥级数展开的常用方法和实际问题中的应用。关键词：函数；哥级数；展开式Abstract:T

2、hispapercentersontheexpansionofpowerseriesinfunctionseries.WedefinethemethodofexpandingpowerseriesaccordingtoTaylor'theoremandrelativetheoremstheDirectMethod.Normally,onlyafewsimplefunctionscangettheirexpansionofpowerseriesthroughtheDirectMethodwhilemostoffunctionsthroughtheIndirectMethod.TheInd

3、irectMethodisamethodofgettingthepowerseriesoffunctionsindirectlythroughlinearoperation,variablesubstitution,identicaldeformation,derivationorintegrationtermbyterm,basedontheUniquenessTheoremandtheexpansionofknownfunctions.Meanwhile,powerseriesplaysansignificantroleinmanyaspectsofmathematicssuchasapp

4、roximation,numericalapproximation,thesolutionofdifferentialequationonconditionthatthepowerseriesisexpandedcorrectly.Therefore,ourpurposeistostudydifferentmethodsoftheexpansionofpowerseriesinHigherMathematicsandtheirapplicationinpracticalproblemsbysummarizingdemonstratingexamples.Keywords:Function;po

5、werseries;expansion.级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割第1页（共18页）圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马德哈瓦，他首先发展了幕级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数收敛法则，使级数理论全面发展起

6、来。中国传统数学在事级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幕级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，它可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具，且在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。1预备知识本文将使用以下定义与定理。1.1 泰勒定理设f(x汽U(x0,6)内具有n+1阶导数，则在U(xo,6)内。若一、Jfk(Xo),、kf(x)7(X-Xo)Rnxk斗k!其中Rn(x)=f(n1)()(n1)!(x-x)n+为拉格朗日型余项1.2 唯一性定理1QO设f(

7、x)在U(xo,6)可以展开成幕级数f(x)an(x-xo)n,则n=0产(?)n!,n=1,2,1.3 泰勒级数与麦克劳林级数1设f(x)在x=xo点具有任意阶导数，则称第2页(共18页)二f(n)(Xc)(1) Z四(x-%门为f(x)在点X0的泰勒级数，记作n卫n!二f(x)Cf(x匚F(x-x0)(2) £Cxn称为f(x)的麦克劳林级数，记作n卫n!x0=0n=0n!1.4解析函数泰勒展式2定理1设函数f(z)在圆盘U:|z-Zo|<R内解析，那么在U内，有f(z)=f(zo)f(z0)(z-zo)f(z0)(z-zo)21!2!(n)/.侬(z-z0)nn!证明设z

8、属于D,以4为心，在U内作一个圆，使z属于其C内区域。有f(z)=Cd由于当，属于C时,z-Zo一z0=q<1,又因为所以=1.：2.h，n.(|:卜：1)z-zo-(z-z0)-z01(z-z0)n1_z-z0nm(-4尸Ih一z0上式的级数当，属于C时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得f(z)：0:Mz-zo).:n(z4)n.其中f()n-、n1(-z)n!(n=0,1,2,.;0!=1)由于z是U内任意一点,所以定理的结论成立。第3页(共18页)定理2函数f(z)在一点Zo解析的必要与充分条件是它在Zo的某个邻域内有定理1中的幕级数展开式。在定理1

9、中，f(Z)在U内的幕级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。所以根据定理1有幕级数-be：n(Z-Zo)n=0'：-1(Z-Zo)-：2(Z-Zo)2:n(Z-Zo)n一n=O是它的和函数f(Z)在收敛圆内的泰勒展式，即f(Zo)30,%=(n=O,1,2,.)0n!2函数展开成哥级数我们把按照泰勒定理和唯一性定理以及相关的定理展开函数的幕级数的方法叫直接法。一般情况下，只有少数简单的函数其幕级数展开式能利用直接法得到。更多的函数是根据唯一性定理，利用一些已知函数的展开式，通过线性运算、变量代换、包等变形、逐项求导或逐项积分等方法来间接地求得幕级数的展开式。而这种方法则称为函数展开成幕级

10、数的间接法。2.1直接法(麦克劳林级数法)如何根据函数求得其麦克劳林级数呢？首先分别求出f(x),f(O)；然f(n)(O)n后写出f(x)的麦克劳林级数f(x)£L(上Xn并求出级数的收敛半径R;再讨n=on!论limRn(x)=O或f(n)(x)<M,|x|<R;最后在收敛区间I上有nc117oOf(x)cnOf(n)(O)nxn!例1将f(x)=ex展开成x的幕级数。解按照上面给出的直接法来展开函数f(x)=ex,即有f(n)(x)=ex,f(O)=1,n=1,2,第4页(共18页)所以就有f(x)八n=0n!ci.an(n+1)!/小R=lim=lim=lim(n

11、+1)=收nT|ann!5°|Rn(X)|=f"(D-(n+1)!e-n书X(n+1)!n1<e|x|x|>(n1)!:二n2n所以eX=£x-=1+x+x-+_x_+，-oci<x<+«n壬n!2!n!我们再来看看下面这个初等函数的幕级数展开式。例2将f(x)=sinx展开成x的幕级数。解对于f(x)=sinx,显然有(n)f(x)=sin(x+n),n=Q1,2,2因此f0)=0,f0)=1,f0)=0,f0)：二一1,ffm-)=0,ffm*)(0尸(-1"取n=2k+2,因为f2k20=0,f2k3x二sin2k

12、3x+x)3故sinx=x-3!52k1(-1)k-5!(2k1)!sin4二十8x2k3x“2k+3y由于正弦函数的有界性，得到2k3_kimR2k2x11ms1n.2k3x二02k3!从而就有oOsinx八(-1)n12nn4x(2n-1)!同理可得3x二x一一3!57xx1''I5!7!*、：l2ncosx=Z(-1)nn2n!246=1a人工2!4!6!一二x二第5页(共18页)对于上面例2我们也可将sinx的展开式逐项微分，从而获得cosx的展开式然而我们在通过直接法求幕级数展开式中不难发现有三个问题，一是求函数在x=0的各阶导数；二是求级数的收敛区间；三是求收敛区间

13、上满足余项极限为零的x范围。这些都是高等数学上的难点，没有统一的方法，有些还很难运算。所以我们可以寻求其他简单的方法。2.1 间接法间接法即是根据唯一性，利用常见函数的展开式，通过变量代换，四则运算,包等变形，逐项求导，逐项积分等方法来求函数的幕级数展开式。2.1.1 利用级数的四则运算主要根据幕级数在收敛区间上的绝对收敛性进行级数的四则运算。例33求f（x）=exsinx的麦克劳林展开式。二二n二二解由于ex=£人与sinx=£nzon!_1nx2n1一",且两级数在R内绝对收敛，故柯n/2n1!西积分也收敛。于是有对于任意的xx2113esinx=0(10)x

14、(010)x()x2!3!日一和44一321315.=xx-x-x3302.1.2 代换法将问题中的函数按照类似的已知的函数求幕级数展开式的方法进行代换，从而得出我们所求的函数的幕级数展开式。例4将f（x）=sinx展开成（x-工）的幕级数。4解先将s1nx按照sinx=.|cos（x-）+sin（x-'J进行变换，然后利用2_44sinx与cosx的幕级数展开式进行代换cos'x-Iffisin1x-|来求出问题。由于44第6页（共18页）f(x)又已知QOsinxJ(1)nn02n1x(2n1)!-二：x：二2nnxcosx=£(-1,n.2n!那么sin(x-)

15、Inji1nnjin=sin(x-)=sincos(x-)cossin(x-)|444444八(_1)n1n=0.2又已知00=zn=0-1n二2)n=0n12n(x-1j,-1<x<3那么od=£n=0xx-1=Z(-1)nn(x-nn,4-3:x:5n=0111f(x)=；J1)(23一8，二2n，=2n-1(x-)(x-)-二二x：二4+4(2n)!(2n+1)!一1一.一一.将f(x)=展开成(x-1)的幕级数。x4x3解将f(x波解因式成一一；,再类比于的展开式41上8111x2.4来解决问题。由于1111f(x)二2x)2J44)(3+x)4'1+x-

16、1；8'1+x-1；11n三)(尸-科)(x7匚-<3。2.1.3 逐项求导、积分法第7页(共18页)这类题目的思路就是利用求导或者积分，把系数中的n去掉，让它变成只有xn相加的等比级数，这样就好求了，别忘了求出和以后要变回去，比如先求导之后要积一次分，同理先积分之后要再求导一次，这样才是真正要求的答案。例6将f(x)=ln(1+x)展开成x的幕级数。那么解已知ln(1x)=£(-x)n=£(-1)nxn,n=01n(1x)=01n(1t)dt。(-1)n.0tndtc(-1)nz0n=0xn1E|x1<1又已知£(-1)n收敛，于是n：0n1

17、xn11n(1x)=：L1)n."23n-1+(-1)n,-1<x<1o23n1例7求函数f(x)=ln(x+x/1+x2)的幕级数展开式。解注意到而由(1+xm的展开式可求得1d1213222.*-x1x22413523.x246n2n-1!2-1x22n!上式两端从0到x逐项积分，即可得到ln(x+，1+x2)=fdx0.1x262.45“2n-1上+2n!2n1n2n1！x2n1x+£(T)(1<xE1)。n+2n!2n1幕级数在收敛区间内可逐项求导或逐项积分，且逐项求导或逐项积分后所得第8页(共18页)的幕级数的收敛区间不变，但在收敛区间的端点处，

18、收敛性可能会改变，需讨论确定。如上题收敛区间为x<1,当x=1时，级数为绝对收敛。因此级数的收敛域为XE1。在其上展开式中成立。2.2 利用复数的实部，虚部展开幕级数复数的实部和虚部主要利用eix=85*+15*公式转化成eix形式，然后展开幕级数的方法。例84将excos%os(xsine)展开成幕级数。解因为复数eXCosHfxsin0eXcosQ+sinQ)“"实部就是excos0cos(xsin9),为此先求e"的展开式，只要在ex的展开式中x用xei书代即可xe'l1n二xn*Jxn.e='一xe一='_ecosniisinnin=0

19、n!nNn!n=on!比较上式两端的实部，即得一字xn.e"cos(xsine)=£一cosn9(|x<z)nfn!比较虚部，又可得-：；nxcosxesinxsini=sinn二xn=on!以上介绍了几种函数幕级数展开方法，高等数学题型是多种多样的，实际问题也会随之变化，因此同一道题幕级数展开的方法也有多种方法或者要综合运用几种方法，我们在解题过程中要注意方法的总结，看清题意，灵活运用。3哥级数的应用幕级数在许多方面具有重要作用，我们可以借助幕级数的展开形式很容易的解决一些较为复杂的问题。巧妙地利用函数的幕级数展开式及幕级数的性质能够第9页(共18页)把一个复杂的性

20、质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，因此用它来解题，往往能思路清晰、条理清楚。3.1 近似计算计算函数值f(x)以某个幕级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成qQ无数级数的和f(x)=£anxn=Sn(x)+rn(x),并依据要求，选取部分和作这个量n=0的近似值，误差用余项rn(x)估计，给出精度d,通过|rn(x)|<6确定项数n,继而可得对应的近似值Sn(x);给定项数n,可求得近似值Sn(x),通过|rn(x)|可估计精度6。3.1.1 计算函数的近似值例9计算遍的近似值。解这是一个关于e的简单计算,主要利用ex的麦克劳林展开式。在ex的

21、麦克劳林展开式中，令x=1,得222!23!24!2取前5项作为心的近似值，即有111111.6482448384其误差115.116117.5!26!27!2J”5!12)11：511I5!2d工10001_12其中不等式成立，是因为两端的级数均为收敛的正项级数。例10计算ln2的近似值，要求误差不超过0.0001。解法一将2分解成1+1,然后利用已知的ln(1+x)的展开式来求。由于n123n1xxxxln(1x)二工(-1)n=x-(-1)n,-1:x三1n$n123n1第10页(共18页)取x=1，有n1ln2=ln(11)c(_1)n-nqn1.11.n1二1一一一(-1)1rn|马

22、若要求误差不超过10工，则应取n=9999,即要计算1-(-1)2399991丑10000八23n1有10000项!已知解法二通过对数的运算法则与利用快速收敛级数法进行近似计算。n1xln(1x)(1)n,-1：x<1n=0n11x那么ln二ln(1x)-ln(1-x)1-xn1c(-1)nnJ_n1(-x)"2k1=2g,«2k1-1：x:二1人1X令1-XCOln2=2k=02kH2k+1。若取n=4,有|r/=21<91.13911111.»'-"T1»,11.311133132211-9:二

23、43970000（截断误差）一，11=2得x=-这样311111111、于是ln22十+i&0.6931<3333535737J其舍入误差0.6931347574,对比精确值ln2=0.6931471806r。通过上面两种方法的比较可知，对于近似计算问题，我们可以有不同的方法来解决它，但是我们必须学会灵活应用，并将其与学过的知识之间相连接，争取第11页（共18页）用最简单的方法求解。3.1.2计算定积分的近似值利用幕级数展开式取有限项的办法近似计算定积分，如果被积函数在积分区间上能展开成幕级数，则把这个幕级数逐项积分，用积分后的级数即可算出定积分的值。例11计算岩e1xxxxe2

24、x1解将被积函数变形成，其中一三能展开成幕级数e2x-11-e1-exxdx0e2：x-1Txedx：:xe"x1e"xe4"dxxI.-：T-eox.4-x一e4二2二，111,，二,2二21222324二2624例12计算定积分1的近似值，要求误差不超过0.0001。（取、之0.56419）J冗2解被积函数e“有麦克劳林展开式，再根据幕级数在收敛区间内可逐项积二二nx分来求。已知e=£,g<x<+）,那么n=0n!:二/2n二二2ne*=n匚二=£旷J一比。n=0n!n=0n!91291：v2nn1于是2edx：2'、（

25、T）dx='、2xdx、00.二0nJn!、.二n±n!0第12页（共18页）2；(-1)n1:(-1)n-2n：；i_；=_2n；n02(2n1)n!，二n2(2n1)n!73!T2'4一T623252!2若取n=4,有|r4|<u4一.，二2894!90000截断误差)于是e*dx124、.二2232452!2673!:0.52053.2微分方程的幕级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们要寻求其他解法。这里举例说明下简单微分方程的幕级数解法。求方程dy=f(x,y)dxYx二Vox0的特解，其中f(x,y)=Eaim(xX0)(y-y0)

26、。l,m如果先令y=y0+2an(x-X0)n,有y'=Enan(x-*。尸，其中an为待定系n=1n=1数；然后代入方程(冲)两端，得到两端均为(X-Xo)的多项式；再比较两端系数并Q0列出方程组，可解得an,n=1,2,；最后y=y0+£an(x-x0)n若在其收敛区间内n1则即为方程行)的特解。例13求曳=x+y2满足y1=0的特解。dx解本题中方程是一阶微分方程，因此只需求出一阶导函数即可。令n'3n4y=ZanX,y=£nanX其中an为待定系数；代入方程(*)两端，得QOn1jnanXn100二x'cnxnn=2令上式左边m=n-1,上式

27、右边m=n,则有QOQO(m1)am1Xm=x%m=0m=2mCmx第13页(共18页)其中比较两端系数，得m_j(mj)amj=cm=、'akam_kkm_jaj=0,a2amj“akam_k,m-2,34mjk4a3ka2_kj2j,二一'、aka3'=-(aja2a2a)二0,4y3a53二aka4_kj/、j(aa3a2a2a3a)二,520a65_kj-(aa4a2a3a3a2a4aj)0，6a7aka6-kj，、c二-(aja5a2a4a3a3a4a2a5aj)二0,as二一、aka7j/、二一(a2a5a5a2)二8320所以原方程的特解为j2y=x2x5

28、x820320mJcm=ajamJ'a2am_2''amaj=''akam_kk4例仰向求y"xy'y=0的解。解题目中涉及到二阶导函数，因此在按照幕级数解微分方程的方法中要求出二阶导函数，再按照后续步骤进行解方程。设方程的解为y=£anxn,则n=0、二,、nanxn4,y=、nnTanxn4cn2njan2xnn=0n=0将y,y，y"代入y"xy'y=o中二nn-jan2xn-x;nanxn-4tnjanx=0n=0n=0nn-2njan2-njanxn=0n=0"an2=,n=0,

29、j,2第14页（共is页）a0aoa2=C，a4=-28a2k=aok!2ka_ala_aa_a33，5152k12k1!k=1,2,32n/2n1原方程的通解为y=%£+ai£（%,ai是任意常数）。t2nn!72n1!3.3利用幕级数展开式级数求和我们求£ansinnx与2ancosnx的和函数，可以构造复函数幕级数-n4n1设法£anzn的和函数f（z）,令2=3则有n4-一88、ancosnxi%ansinnx=feixn1n=4比较上式两端左右的实部与虚部，则可得00nZanZ,n=1oO8、ansinnx=Imfeixiiancosnx=Re

30、feix-nNn1在求£anzn的和函数中，我们常常用到以下结论：n123neZ=1z,z满足所有：2!3!n!）=1zz2-zn-：|z：二123-In1-z=z23”zW1且z=1）。例15口求下列级数的和函数。<cosnxn=on!0ozn=0sinnxn!解利用三角函数与复数之间的关系ixe=cosx+isinx与幕级数展开式的逆向灵活运用。令nz=eix则有<cosnxn=on!,nix.sinnx.e广二、n=on!n=on!ixcosxisinxcosx二eecossinx!isinsinx.i第15页（共18页）所以cosnxcosx.:=e(cos(si

31、nx),工n!n卫sinnxn!=ec0sxsinsinxii3.4利用幕级数展开式证明不等式不等式是数学应用的重要工具，其证明方法多种多样，下面使用幕级数的展开式来对一些特殊不等式进行证明。X2例16网证明对于任意实数x,不等式ex+e/<2e成立。证明将不等式左右两边进行麦克劳林展开，然后比较幕级数展开式的大小。因为于是2n再由于2n2n!2n!nXLXe=乙,nn!QOX.xzee=2'n=02nX-Xe2n!nXnX2n2eT=2；nR2n!X2,故对于任意实数x,有ex+eiw2e2。例179f（X）在（a,b）内二阶可导，且f'（X）0。证明对于（a,b）内任

32、意两点X1,x2及0EtEi,有f(1t)Xi+tX2jw(1t)f(Xi广tf(X2)0证明类比于上题，将不等号左边进行泰勒展开，与右边进行比较。令（a,b）内任一X0=（1-1）f（Xi）+tX2，将f（X）在X=X0处按一阶泰勒公式展开得12f（X）=f（X0）+（XX0）f'（X0）+（X-X。）f伯在X与X0之间）分别将Xi,X2代入上式，得12.fXi=fX0x-X0fX02!Xi-X0f112.fX2=fX0X-X0fX0aX2-X0f2则有1-tfXitfX2=fX0唯1-tXitX2-X0fX0-7x1-木门代电2-%)”(小由题设f'（X）之0,且0MtM1

33、知1-tfX1tfX2-fX0第16页（共18页）即有f(1-t)X1+tx21M(1-t)f(x1)+tf(x2)。3.5利用幕级数展开式求极限极限思想是许多科学领域的重要思想之一。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要。对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果。所以我们可以利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的麦克劳林展开式，常能求得一些特殊形式的数列极限。同时等价无穷小代换也是求极限的重要方法，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限，而对两个无穷小量非乘且非除的极限，则不能凑效，而泰勒公式代换则是解决此类极限问题的一种有效的方法。tansin