广东广州2016届高三普通高中毕业班综合测试一数学理试题

1、绝密启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A=

2、xx<d,B=xx2xE0,则Ap|B=(A)x-1<x<ll(B)x0WxEl(C)x0<xEl(D)x0Wx<l(2)，3i已知复数z=3"，其中i为虚数单位，则复数z的共轲复数z所对应的点在1-i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四(A)6(B)8(C)10(D)12执行如图所示的程序框图，如果输入x=3,则输出k的值为Ji(A) 3(B) 6(C) 12(D) 24象限(3)如果函数f(x)=sin|cox+>0)的相邻两个零点之间的距离为I6)(5)(A) 52(B) 78(C) 104(D) 208设等差数列an的前n项

3、和为S,且a2+a7+a12=24,则§3(6)如果P1,P2,，R是抛物线C:y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x,x2,%,F是抛物线C的焦点，若%+乂2+|+%=10,则不|+佗5|十|+05=(A) n10(B) n20(C) 2n102n20(7)在梯形ABCD中，AD_'BAD=4BC=6,若CmBK(m,nRR1则(A)_3(B)(C)(D)3(8)设实数x,x_y_1M0,y满足约束条件x+y-1<0,x-1,2+(y+2)的取值范围是(1) 1,17一2,(8) 1,17(C)(9) 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,吁阿1

4、,顶点都在同一个球面上，则该球的体积为(A)二。二(B)三3(C)5二(11)已知下列四个命题:Pi:若直线和平面a内的无数条直线垂直，则P2:若f(x)=2x-2,则VxwR,f(x尸f(x)；1p3：右f(x产x+,贝U诙u(0,),f(x0)=1；x1p4:在ABC中，若A>B,则sinA>sinB.其中真命题的个数是(A) 1(B) 2(C) 3(11)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)8824.6(B)88、22.6(C)22.26(D)详解九章算术一书中的“杨(12)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的

5、辉三角形”.131220162820132014201520164027402940318056806016116该表由若干行数字组成,中最后一行仅有一个数,从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表则这个数为(A) 201722015(B) 201722014(0201622015(D)2016M22014第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.21题为必考题，每个试题考生都必须做(13)一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,，59,依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1,2,3

6、,，6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本,若在第1组随机抽取的号码为3,则在第5组中抽取的号码是2一X(14)已知双曲线C:-2ab2(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且bA_Bf=0,则双曲线C的离心率为.(15)(x2x2：的展开式中，x3的系数为(用数字填写答案)1，(16)已知函数f(x)=x4x2,x二1，x则函数g(x)=2xf(x)2的零点个数为x-1,个.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)如图，在ABC中，点D在边AB上，CD_LBC,AC=5®,CD=5，BD=2AD.(I)求

7、AD的长；(n)求ABC的面积.(18)(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得(19)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCDABQ1D1的底面ABCD是菱形，ACDbD=O,A。_L底面(20)(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A,左焦点为F1(-2,0),点B(2,后游椭圆C上，直线y=kx(k00)与椭圆C交于E,F两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.(I)求椭圆C的方程；(n)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函

8、数f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2.(i)若曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为1,求实数m的值;(n)当m一1时，证明：fx.g(x)-x3.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示，ABC内接于。O,直线AD与。O相切于点A,交BC的延长线于点D,过点D作DEJCA交BA的延长线于点E.(I)求证：de2=aebe；(n)若直线EF与。O相切于点F,且EF=4,EA=2,(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程求线段AC的长.在平

9、面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为P=2sine,6I0,2n).(I)求曲线C的直角坐标方程;(n)在曲线C上求一点D,使它到直线l:什向+/，为参数，twR)的y=-3t2距离最短，并求出点D的直角坐标.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数fx=x+Va|-,、一1(I)当a=1时，求不等式f(x)之的解集;2(n)若对任意aw0,1，不等式f(x)之b的解集为空集，求实数b的取值范围.绝密启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明：1 .本解答给出了一种或几种解法供参考

10、，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1) D(2)DA(8)A二.填空题(13)43(14)三.解答题(17)(I)解法一：在ABC中，因为BD=2AD，设AD=x(x>0),则BD=2x.(3)(9)(4) B(5)C(

11、6)A(10) B(11) A(12) B(15) -40(16)在BCD中，因为CD_LBC,CD=5,BD=2x,所以COS/CDBc-=5.2分BD2x在ACD中，因为AD=x,CD=5,AC=573,由余弦定理得cos/ADC=2_2_2ADCD-ACxADCD52-(5.3)22x5因为NCDB+/ADC=n,所以cosADC=-cos/CDB,日x252-(5.3)25即'1=一2x52x解得x=5.所以AD的长为5.解法二：在ABC中，因为BD=2AD，设AD=x(x>0),则BD=2x.在BCD中，因为CD_LBC,CD=5,BD=2x,所以BC=Rx'2

12、5._BC4x2-25.所以cos/CBD=.2分BD2x在ABC中，因为AB=3x,BC=4x'25,AC=56，由余弦定理得cosZCBA=AB2+BC2-AC22MABxBC_13x2-1006x3x225日,J4f-2513x2-1005所以=.5f2x6xx74x2-25解得x=5.所以AD的长为5.6分(n)解法一：由(I)求得AB=3x=15,BC=74x2-25=573.8分BCJ31所以cosZCBD=，从而sinZCBD=-.10分BD221所以S&bc=-xABBCxsinCBA1 r175点八=-X15X5V3X-=12分2 24解法二：由(I)求得AB

13、=3x=15,BC=v4x225=53.8分因为AC=5百，所以ABC为等腰三角形.10分因为cos/CBD,所以NCBD=300.BD2所以ABC底边AB上的高h=1BC=旦3.221所以S&BC=-xAB><h12分解法三：因为AD的长为5,CD51-所以COS/CDB=一=一，解得ZCDB=一BD2x2312二253所以SADC=ADCDsin二一一234SBCD1二一BDCD尸sin2325.3210分所以S.ABC=S.ADC75.31.BCD=412分(18)解：(I)设区间75,85内的频率为x,则区间155,65),65,75)内的频率分别为4x和2x.1分

14、依题意得(0.004+0.012+0.019+0.03户10+4x+2x+x=1,3分解得x=0.05.所以区间175,85内的频率为0.05.4分(n)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3.由(I)得，区间05,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.5分因为X的所有可能取值为0,1,2,3,6分且P(X=0)=c3M0.6°黑0.43=0.064,P(X=1)=C；父0.61乂0.42=0.288,P(X=2)=C2M0.62父0.41=0.432,P(X=3)=C3M0

15、.6隈0.4O=0.216.10分所以X的分布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216所以X的数学期望为EX=0父0.064+1父0.288+2父0.432+3父0.216=1.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到EX=np=3v0.6=1.8)12分(19)(I)证明：因为AO_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AQ1BD.因为ABCD是菱形，所以CO±BD因为A。nCO=O,A口所以BD_L平面ACO.3分因为BDu平面BBiDiD,所以平面BBDiD_L平面ACO.4分ITT(R)解法一：因为AO，平面ABCD,CO_LBD,以。为原点，OB,OC,方

16、向为x,y,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.5分因为AB=A/=2,/BAD=6d，所以OB=OD=1,OA=OC=V§,0/=7m2-OA2=1.则B(1Q,0),0(0,73.0),A(0,3,0),A(0,0,1),11分所以cos<n,m>=-=2V24因为二面角B-OBiC的平面角为钝角,所以二面角B-0B1-C的余弦值为一叵412分解法二：由（I）知平面A1CO_L平面BB1D1D,因为0,01分别是AC,AC1的中点,所以OA101c为平行四边形.且Op=OA=1.因为平面ACOD平面BB1D1D=OQ,过点C作CH_LOQ于H,则CH_L平面BBDQ

17、.过点H作HK1OB1于K,连接CK,则CK_LOB一所以NCKH是二面角BOBiC的平面角的补角.c01c0C1、,33OO1在RtA0C01中，CH=在AOCB中，因为AO_LAB,所以OB1=70A2+AB2=娓.因为AB1=CD,AB1/CD,所以b1c=ad=Jao2+OD2=72.因为BC2+0C2=0B2,所以A0CB1为直角三角形.CB10C所以CK二一16OB110分所以KH="'CK2-CH2=-3.25KH.611分所以cos.dCKH二CK4所以二面角B-OB1-C的余弦值为一旦412分22XV(20)(I)解法一：设椭圆C的万程为f+4=i(a>

18、;b>0),8212k所以x0=2.212k2，则y。22k12k2ab因为椭圆的左焦点为F1(2,0),所以a2b2=4.1分设椭圆的右焦点为F2(2,0),已知点B(2,点)在椭圆C上，由椭圆的定义知|BFj+|BF2=2a,所以2a=3应+72=4夜.2分所以a=2g,从而b=2.3分22所以椭圆C的方程为L十匕=1.4分8422解法二：设椭圆C的方程为4+4=1(a>b>0),a2b2因为椭圆的左焦点为F1(2,0),所以a2b2=4.42因为点B(2,J2堆椭圆C上，所以=1.2分ab由解得，a=272,b=2.3分22所以椭圆C的方程为+匕=1.4分84(n)解法

19、一：因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(2尬,0).5分22因为直线y=kx(k#0)与椭圆工+匕=1交于两点E,F,84设点E(%,y0)(不妨设X0>0),则点F(-X0,-y0).y二kx,联立方程组1x2v2消去y得x2L£=184所以直线AE的方程为y=/：(x+2611.12k2因为直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,2、,2k令X=0得y=.一_1,12k222k,即点M|0,1,12k22,2k所以MN=2、2k22k1x12k21-.12k22、212k2k同理可得点N0,二I1-V1+2k2)10分则以MN为直径的圆的方程为x2十2+2k2)设MN的中

20、点为P,则点P的坐标为P0,-Ik)11分即x2+y2+平y"令y=0,得x2=4,即x=2或x=2.12分故以MN为直径的圆经过两定点P(2,0),P2(-2,0).解法二：因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为(-2g,0).22因为直线y=kx(k=0)与椭圆X+y=1交于两点E,F,84设点E(X0,y°),则点F(-X0,-Yo).所以直线AE的方程为y=y_(x+2拒)X022因为直线AE与y轴交于点M,令*=0得丫=32军X)2.2,即点M0,2、'2yLXo22®)同理可得点N0,2y1.IX0-2V2J所以|MN|=i隼-丹=|粤|.X0

21、+2V2X0-2V2|xo-8|因为点E(%,yo)在椭圆C上，所以2X02+应=1.4所以MN2a)设MN的中点为P,则点P的坐标为P0,-"010分则以MN为直径的圆的方程为x2+.2x0yy0y0J16二2Jy0222、,2x0/11分即x+y+y=4.V。令y=0,得x2=4,即x=2或x=-2.12分故以MN为直径的圆经过两定点P(2,0),P2(2,0).解法三：因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(-2夜0).22因为直线y=kx(k=0)与椭圆工+匕=1交于两点E,F,84设点E(2V2cos0,2sin9)(0日冗)，贝U点F(2&cos&2sin

22、日).所以直线AE的方程为y=2sin?2.2cos22(x+2衣).因为直线AE与y轴交于点M,2sin2siny=,即点M,0,cos11cos11同理可得点22sin日、NI0,cosQ-1所以MN2sin12sin二cos-1cos-14sin-2cos-设MN的中点为P,则点P的坐标为P.0,-2cos.sin-10分则以MN为直径的圆的方程为x2+22cos4v+二7-,sin-sin丁224cos二，11分12分即x+y+y=4.sin二令y=0,得x2=4,即x=2或x=-2.故以MN为直径的圆经过两定点P(2,0),P2(-2,0).(21)(i)解：因为f(x)=ex+mx

23、3,所以f(x)=ex+m-3x2.1分因为曲线y=f(x产点(0,f(0)处的切线斜率为1,所以f'(0)=em=1,解得m=0.2分(n)证法一:因为f(x)=ex+mx3,g(x)=ln(x+1)+2,所以f(x>g(x)x3等价于ex+m-ln(x+1)-2>0.当m21时，ex+mln(x+1)2之ex+ln(x+1)2.要证ex+mln(x+1)2>0,只需证明ex+-ln(x+1)-2>0.4分以下给出三种思路证明ex1-ln(x1)-20.1思路1：设h(x)=eln(x+1)2,贝Uh(x)=ex*.x11一,1仅p(x)=e,则p'(

24、x)=e*+2>0x1x11所以函数p(x)=h(x)=ex+在(1,+如)上单调递增.6分x1一.11一因为h-l=e22<0,h(0)=e-1>0,21.r1、所以函数hx=e1在1,+"上有唯一零点刈，且，0.x+122J8分1一因为h(%)=0,所以e*=,即ln(%+1)=-(/+1).9分%1当x11,x°)时，h'(x)<0；当xw(x°，收)时，h'(x)A0,10分所以当x=x0时，h(x)取得最小值h(x0).所以h(x)>h(x0)=ex0+-ln(x0+1)-2=1-+(x0+1)-2>0

25、.综上可知，当m之1时，f(x)>g(x)_x3.12分思路2:先证明ex*>x+2(xRRJ.5分设h(x)=ex+-x-2,则h'(x)=ex+1-1.因为当xc1时，h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0,所以当x<-1时，函数h(x评调递减，当x>1时，函数h(x)单调递增.所以h(x)>h(-1)=0.x1所以e至x+2(当且仅当x=T时取等号).7分所以要证明ex+-ln(x+1)-2>0,只需证明(x+2)_ln(x+1)2>0.8分下面证明x-ln(x+1)之0.1x设p(x)=xln(x+

26、1),贝Up(x)=1=x1x1当1<x<0时，p'(x)<0,当x>0时，p'(x)A0,所以当1<x<0时，函数p(x浮调递减，当x>0时，函数p(x)单调递增.所以p(x)>p(0)=0.所以xln(x+1)之0(当且仅当x=0时取等号).10分由于取等号的条件不同，所以ex1-ln(x1)-20.综上可知，当m，时，f(x)>g(x)-x3.12分(若考生先放缩ln(x+1),或ex、ln(x+1)同时放缩，请参考此思路给分！)思路3：先证明ex4t-ln(x+1)-2>0.令t=x+1,转化为证明et-lnt

27、>2(t>0).5分因为曲线y=e,与曲线y=lnt关于直线y=t对称，点A、B到直线y=t设直线x=x0(x0>0)与曲线y=et、y=Int分别交于点A、B的距离分别为di、d2,则AB=72(di+d21其中,ex°一%X)-lnx)八di=,d2=三(xo>0).22设h(x0)=e"-xO(x°>0),贝Uh'(x0)=ex0-1.因为x0>0,所以h'(x0)=ex°-1>0.所以h(x0拉(0,收)上单调递增，则h(x°)>h(0)=1.所以d1=包下理.、,221x

28、-1设p(x°)=x0-Inx0(xd>0),则p(x0)=1-=.%xd因为当0<%<1时，p'x。尸0;当xA1时，px0)>0,当xo>1时，函数p(xo)=x°-Inxo单调递增.所以p(x0)>p(1)=1.xo-In%2所以d2=.22所以AB之&(d+d2)>。2."2+衣1=2.所以当0<%<1时，函数p(x。)=xIn小单调递减；122J综上可知，当m之1时，f(x)Ag(x)x3.12分证法二：因为f(x)=ex+m_x3,g(x)=ln(x+1)+2,所以f(xg(x)x3

29、等价于ex+m_ln(x+1)2>0.4分以下给出两种思路证明ex+m-ln(x+1)-2>0.x+m1x1思路1：设h(x)=ex+mIn(x+1)2,则h'(x)=e1-1x+m-,则p'(x)=ex+m+2>0.所以函数p(x)-hx=ex+m1,在(-1*y：单调递增.x1x1x1mm_m1-e-+mmmem所以h(1+e)=e-e=e(e1)<0,h(0)=e-1>0.1所以函数h'(x产exm在(-1,+8止有唯一零点x0,且x0w(1+e,0).x18分1 一因为h(x0)=0,所以e=,即ln(x0+1)=x0m.9分x01

30、当x0,%)时,h'(x)<0；当xW(%,+oc)时，hx)>0.所以当x=x0时，h(x)取得最小值h(x0)10分1x()11=+(x0+1)+m_3>0.x()1综上可知，当m之1时，f(x)>g(x)-x3.12分思路2：先证明ex>x+1(xeR)，且ln(x+1)Wx(xA-1).5分所以hxhx0)=e"-ln%1-2=x0m-2设F(x)=exx1,则F'(x)=ex-1.因为当x<0时，F'(x)<0;当x>0时，F'(x)A0,所以F(x)在(*,0)上单调递减，在(0,+=)上单调

31、递增.所以当x=0时，F(x)取得最小值F(0)=0.所以F(x)之F(0)=0,即ex>x+1(x=R).7分所以ln(x+1)Mx(当且仅当x=0时取等号).8分再证明ex+m-ln(x+1)-2>0.由ex之x+1(xwR),得ex*之x+2（当且仅当x=1时取等号）因为x>_1,m至1,且ex平之x+2与ln(x+1)Ex不同时取等号,所以ex+m-lnx1-2=em'ex1-Inx1-2m_1m_1>e(x+2)x2=(e-1)(x+2)>0.综上可知，当m之1时，f（x）g（x）-x3.12分（22）（1）证明：因为AD是。的切线，所以NDAC

32、=NB（弦切角定理）因为DEJCA,所以/DAC=/EDA所以/EDA=/B.因为ZAED=/DEB（公共角），所以AEDADEB.3分DEAE所以=.BEDE即DE2=AELlBE.4分（n）解：因为EF是。的切线，EAB是。的割线，所以ef2=eAeb（切割线定理）5分因为EF=4,EA=2,所以EB=8,AB=EBEA=6.7分由()知DE2=AELBE,所以DE=4.8分因为DEi.'CA,所以BACBED.9分所以BABE_ACED所以ACBAEDBE10分(23)(1)解：由P=2sin,日W0,2兀),可得P2=2Psin日1分因为p2=x2+y2,Psine=y,2分所

33、以曲线C的普通方程为x2十y22y=0(或x2+(y-1)2=1).4分(n)解法一：因为直线的参数方程为卜二疝+3,(t为参数，twR),y-3t2消去t得直线l的普通方程为y=-V3x+5.5分2 .2._.因为曲线C：x+(y1)=1是以G(0,1)为圆心，1为半径的圆，设点D(%,yo),且点D到直线1:y=-J3x+5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线1：y=-J3x+5平行.即直线GD与1的斜率的乘积等于1,即比二！父(一J3)=_1.7分x022因为x0+(y0-1)=1,解得x0=或x0=-.22所以点D的坐标为,1或i，3,3.9分I22JJ2；由于点D到直线y=-J3x+5的距离最短，广一a733、所以点D的坐标为,3.10分I22Jx3t3解法二：因为直线1的参数方程为r3t3,(t为参数，tWR),y=-3t2消去t得直线1的普通方程为J3x+