广东中山2012014学年高二数学上学期期末统一考试试题理

1、中山市高二级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.共150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 ."a>1且b&

2、gt;2"是"a+b>3”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .焦点在y轴上的双曲线，实轴长6,焦距长10,则双曲线的标准方程是（）.2222A.L.土=1B.£-±=1643636642222C.D,2-2=11699163.如果函数y=ax14-已知x>1，y>1且一lnx,一，lny成等比数列，则xy有（）.44a.最大值eb.最小值ec.最大值ed.最小值e.设有一个质点位于A（1,1,-2）处，在力F=（2,2,2版）的作用下，该质点由A位移到B（3,4,-2十两时，力F所作的功

3、（W=FS）的大小为（）.+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aObF面上的区域为（注:下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（）.ABCD6.A.16B.14C.12D.10方程7.某同学对教材选修2-2上所研究函数13f(x)=-x-4x+4的性质进行变式研允，并结合3TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证(如右图所示)，根据你所学的知识，指出下列错误的结论是().A. f(x)的极大值为f(_2)=283B. f(x)的极小值为f(2)=_43C. f(x)的单调递减区间为(,2)D. f(x)在区间T3上的最大值为f(4)=78 .P是以Fi,F2为焦点的椭圆上一

4、点，过焦点F2作NF1PF2外角平分线的垂线，垂足为M,则点M的轨迹是().A.椭圆B.圆C.双曲线D.双曲线的一支第n卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上)9 .在等差数列中，若23+24+25+a6+a7=90,则数列a0的前9项的和为一10 .若命题“5x0eR,x02+(a-1)%+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为.11 .过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xby1),B(x2,y2)两点，若x1+x2=6,那么|AB等于.12 .在ABC中，有等式:asinA=bsinB;bsinC=csinB;a

5、cosB=bcosA;_a_=匕2.其中恒成立的等式序号为.sinAsinBsinC13 .某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站km14 .已知下列命题：TT4 若A、B、,CD是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0;|a+b|=|a|十|b|是a、b共线的充要条件； 若a,b,c是空间三向量，则|ab|日ac|+|cb|； 对空间任点O与不共线的三点A、BC,若OP=xOA+yOB+zOC(其中

6、x、y、zCR),则P、ABC四点共面.其中不正确的命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)15. (13分)如图，在树丛中为了测量河对岸AB两点之间的距离，观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C并测量得到图中的一些数据，此外，/CDA=/CEB=60d(1)求MBC的面积；(2)求A、B两点之间的距离16. (13分)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1；(2)若S5A同,求为的取值范围.17. (13分)

7、人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg?最低花费是多少？18.(13分)如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=1,BOB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角

8、的余弦值；(2)求直线BE与平面ABC所成角的正弦值19. (14分)已知直线l:y=2x与抛物线C：y=1x2交于A(Xa,yA)、0(0,0)两点，过点O4与直线l垂直的直线交抛物线C于点B(xB,yB).如右图所示.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)求经过AB两点的直线与y轴交点M的坐标；(3)过抛物线x2=2py的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点AB的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.20. (14分)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处

9、与直线y=b相切，求a与b的值.(3)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围中山市高二级2013-2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：ADCBBADB二、填空题：9.162;10.1,3;11.8;12.；13.5;14.三、解答题：15.解：（1）RtMCD中，AC=16Jtan604=16T3.,（2分）RtMCE中，BC=16Utan60O=16T3.,（4分）1.2、MBC的面积为Sbc=3><1643M16«3Msin30*=192（m）.,（6分）（2）MBC中，AB=J（16点）2+（16寸3）22/16

10、73M16点Mcos30©,（9分）=164J+1-2x23=16容&褥,（11分）=16曲直支=24夜8班.,（13分）16.解：（1）因为数列an的公差d=1,且1a,a3成等比数列，所以a；=1父（4+2）,（3分）2,一一即&a1一2=0,解信a11或a1=2.,（6分）（2）因为数列an的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>a；+8a1，,（9分）即研2+3a1一10<0,解得一5<a1<2,（13分）17.解：设每天食用xkg食物A,且x,y满足约束条件0.105x0.105y-0.0750.07x0.14y_0.

11、060.14x+0.07y>0.06'lx-0,y-07x7y-5.f7x14y-6整理为V,（14x7y-6x-0,y-0作出约束条件所表示的可行域,ykg食物B,总花费为z元，则目标函数为z=28x+21y,3分）5分）如右图所示.，7分)将目标函数z=28x+21y变形为4zy=-x十一.如图，作直线321L:28x+21y=0,当直线k平移经过可行域，在过点M处时，y轴上截距巴最小，即此时z有最小值.，7x7y=5解方程组y219分)14x7y=6坐标为x=1,y=4.,77zmin=28x21y=1611分)12分)1每天需要同时食用食物A约1kg740.143kg),

12、食物B约-kg(或0.571kg),7能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.，,18.解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、13分)y、z轴建立空间直角坐标系则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).2分)EB=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),AC=(0,2,-1)Ii-22cos<EB,AC>=-,5,554分)6分).、,2所以异面直线BE与AC所成角的余弦为25(2)设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则小TT由n_AB知：AB=2x-z=0;HT由R_AC知：n1AC=2y-z=0.,7分)9分)取n1

13、=(1,1,2),TTcos<EB,n1>2-1.3055630所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为.303010分)12分)13分)19.解：(1)抛物线C:y=1x2的方程化为x2=4y,所以2P=4,p=2.,(2分)4抛物线C的焦点坐标为(0,1).,(4分)下12(2)联立方程组4y7x,解得点A坐标为(8,16).,(6分)y=2x12yx联立方程组44,解得点B坐标为(二,1).,12x7分)一，、一16_1所以直线AB的方程为y1=-6M(x+2),8-(-2)8分)令x=0,解得y=4.点M的坐标为(0,4).,9分)(3)结论：过抛物线x2=2py的顶点任意

14、作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB通过定点(0,2p).10分)证明如下:设过抛物线x2=2py的顶点的一条直线为1y=kx(k#0),则另一条为y=xk联立方程组-2x=2pyy=kxA坐标为_2(2pk,2pk).,11分)联立方程组2x=2py1yFB坐标为2Pk糊，,k12分)所以直线AB的方程为y-学k2pk22pk-(2P2k2Pk(x+2p)，k13分)令x=0,解得y=2p.14分)20.解：(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx,得f(x)=x(2cosx).,1分)直线AB恒过定点(0,2p).2分)是f(x)的最小值.，q,0)上单调递减，在区间(0,收)上单调递增,4分)f(0)-15分)令f(x)=0,得x=0.f(x)与f'(x)随x的变化情况如下(2)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切,所以f(a)=a(2+cosa)=0,b=f，7分)解得a=0,b=f(0)=1.,(9分)(3)当b£l时，曲线y=f(x)与直线y=b最多只有