应用函数的凹凸性解高考数学题

1、应用函数的凹凸性解高考数学题摘要：函数凹凸性问题在近几年高考试卷中屡见不鲜。但笔者通过平时的教学及高考后学生对这方面问题的反馈中发现大部分学生对此类问题缺乏应变能力，本文通过探讨函数凹凸性定义及几何特征入手，结合具体案例，研究凹凸性问题的一般解法，以期在今后复习过程中，提高针对性和时效性，同时，培养学生探讨创新能力，鼓励学生进行研究性学习，提高学生的数学素养。关键词：函数凹凸性问题探究问题导入：2006年高考重庆卷(9)理，如图，单位圆中弧或B的长为x,f(x)表示弧次B与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是()图1图2函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型.这

2、种题情景新颖、背景公平,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神.但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。一、凹凸函数定义及几何特征1、引出凹凸函数的定义如图3根据单调函数的图像特征可知：函数f1(x)与f2(x)都是增函数。但是f1(x)与f2(x)递增方式不同。不同在哪儿？把形如fi(x)的增长方

3、式的函数称为凹函数，而形如f2(x)的增长方式的函数称为凸函数。2、凹凸函数定义(根据同济大学数学教研室主编高等数学第201页)：设函数f为定义在区间I上的函数，若对(a,b)上任意两点x1>x2，恒有:f为(a,b)上的凹函数;f为(a,b)上的凸函数。Xx2、f(x1)f(x2)(1)f(-2)<21,则称22)则称223、凹凸函数的几何特征：几何特征1(形状特征)图4(凹函数)图5(凸函数)A1(x1,f(x),A2(x2,f(x2),过点作ox轴的垂线交函数于凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A与a2之间的部分位于弦凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点儿与A2之间的部

4、分位于弦如图，设人，人2是凹函数y=f(x)曲线上两点，它们对应的横坐标X<x2,则x-、A,交A1A2于B,A1A2的下方；A1A2的上方。简记为：形状凹下凸上。几何特征2(切线斜率特征)图6(凹函数)图7(凸函数)设A,A2是函数y=f(x)曲线上两点，函数曲线A与A2之间任一点A处切线的斜率:凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=f(x)随x增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=f(x)随x增大而减小；简记为：斜率凹增凸减。几何特征3(导函数特征)根据几何意义可知，切线的斜率随X的增大而增大，意味着导函数也为增函数,切线的斜率随X的增大而减小，意味着导函数也为减函数简记

5、，导函数凹增凸减。几何特征4(增量特征)图8(凹函数)图9(凸函数)图10(凹函数)图11(凸函数)设函数g(x)为凹函数，函数f(x)为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量x逐次增加一个单位增量Ax时，函数g(x)的相应增量Ayi,Ay2,Ay3,越来越大；函数f(x)的相应增量Ayi,Ay2,Ay3,越来越小；由此，对x的每一个单位增量Ax,函数y的对应增量Ay(i=1,2,3,)凹函数的增量特征是：Ay越来越大；凸函数的增量特征是：Ay越来越小；简记为：增量凹大凸小。弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题

6、.二、函数凹凸性的应用1、凹凸曲线问题的求法下面我们用增量特征(增量法)准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题.我们先来解决篇头提出的问题：解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=x-sinx.方法一：增量分析法：由于y=*是直线，每当x增加一个单位增量Ax,y1的对应增量Ay不变；而y2=sinx是正弦曲线，在0,兀上是凸的，在为2n上是凹的，故每当x增加一个单位增量Ax时，y2对应的增量i(i=1,2,3,)在0,山上越来越小，在TT,2n上是越来越大，故当x增加一个单位增量Ax时，又力立的f(x)的变化，在xC0,也上其增量Af(x)i(i=1,2,3,)越来越大，在xCTt,2也

7、上，其增量Af(x)i则越来越小，故f(x)关于x的函数图象，开始时在0,兀上是凹的，后来在Tt,2兀上是凸的，故选D.方法二：导数分析法：易得f'(x)=1Cosx当xw0,n时，f'(x)单调递增，对应图像在0,n为凹函数，同理，当xwn,2n时，f(x)为凸函数，选D。下面再通过一些具体案例分析这类问题解法：问题1:(2008福建卷理12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()ABCD图12图13解法：导函数分析法：由于y=g'(x)单调递增，y=f'(x)单调递减，故对应的y=g(x)和y=

8、f(x)必为凹函数和凸函数，RD符合，又知，f'(xo)=g'(x°)过在点Xo处切线必平等，选(D)问题2:一高为H、满缸水量为V的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是图13中的().图14图15解：据四个选项提供的信息（卜从。H）,我们可将水流出”设想成流入”，这样,每当h增加一个单位增量Ah时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故V关于h的函数图象是先凹后凸的，因此，选B.问题3向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关

9、系的图象如图14所示，那么水瓶白形状是（图15中的）（）.（1998年全国高考题）Ah,V的相应增量（即注水量）V关于h的函数图象是凸的，即每当h增加一个单位增量量AV越来越小.这说明容器的上升的液面越来越小，故选B.问题4在某种金属材料的耐高温实验中,的图象如图16所示.现给出下面说法：前5分钟温度增加的速度越来越快；前5分钟温度增加的速度越来越慢；5分钟以后温度保持匀速增加；5分钟以后温度保持不变.其中正确的说法是（）.A.B.C.温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示图18D.解：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平行直线,即5分钟前每当t增加一个单位增量At,则y相应的增量Ay越来越

10、小，而5分钟后是y关于t的增量保持为0,故选B.注：本题也选自中学数学教学参考2001年第12合期的试题集绵，用了增量法就反成了看图说画”.问题5（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是（）图19A.h2>h1>h4B.h1>h2>h3C.h3>h2>h4D.h2>h4>h1解：设内空高度为H,剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2

11、（h）、V3（h）、V4（h）,根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为因为函数V1(h)、V2(h)为凹函数,V1(h)当h从OH,Ah增加一个单位增量，AVi(i=1,2,3,)增大，则hi>0,5H=h4；同理V2(h)当h从。一H,Ah增加一个单位增量，双(i=1,2,3,)增大，则h2>0.5H=h4；所以%>h4、h2>h4；由Vi(h)、V2(h)图象可知，h从H-h2,AVi(h)>W2(h)，而0.5V1(h)>AV1(h),AV2(h)=0.5V2(h)，则当W1(h)=0.5Vi(h)日hi>h2,所以答

12、案为A.图202凹凸函数问题的求法问题6、(2005湖北卷)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中，当0<xi<x2<i时，41+勺)>/+/(演)22恒成立的函数的个数是().A.0B.iC.2D.3分析：运用数形结合思想，考察各函数的图象.注意到对任意xi,x2CI,且xi<x2,当f(x)总满足22时，函数f(x)在区间I上的图象是土凸”的，由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x,应选B。本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质-凹凸性，对试题中的不等关系式：41+勺)>

13、/(为)+/(/)22,既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义问题6、(05北京卷理i3)对于函数f(x)定义域中任意的xi,x2(xi次2),有如下结论：f(xi+x2)=f(xi)f(x2)；f(xix2)=f(xi)+f(x2)；f(Xi)f(X2)xix2),f(一)f(x2)>0；22.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是()。本题把对数的运算()、对数函数的单调性()、对数函数图像的凹凸性()等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的考生就会有问题。通过以上的例子可以看出在高三复习时，有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息题，也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知