必修直线与方程知识点归纳总结

1、第三章直线与方程1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：1 .与X轴相交；ii轴正向；iii.直线向上方向. 直线与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.倾斜角的范围001800. 090,k0；90180,k0(2)直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90°的直线斜率不存在。经过两点R(X1,y)P2J2,y2)(X1X2)的直线的斜率公式是k五1(X1X2)X2X1每条直线都有倾斜角，但弁不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有I1/I2k1k

2、2。特别地，当直线1*2的斜率都不存在时，I1与I2的关系为平行。(2)两条直线垂直如果两条直线li2斜率存在，设为kik,则liI2ki求21注：两条直线li,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-i,可以得出两直线垂直，反过来,两直线垂直，斜率之积不一定为-i0如果li,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，li与l2互相垂直。二、直线的方程i、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式yyik（XXi）(Xi,yi)为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于X轴的直线斜截式ykXbk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于X轴的直线

3、两点式yyiXXiy2yiX2Xi（其中XiX2,yiy2）(Xi,yi),(X2,y2)是直线上两定点不包括垂直于X轴和y轴的直线截距式Xyiaba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于X轴和y轴或过原点的直线一M式AxByC0（其中A,B/、同时为0）A,B,C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点Pi(Xi，yi),P2(X2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表7K?(不一定。()若X2且yiy2,直线垂直于X轴，方程为xx;(2)若XiX2且yiy2,直线垂直于y轴，方程为yy;(3)(3)若XiX2且yiy2,直线方程可用两点式表7K)2、线段的中点

4、坐标公式若两点P1(x1,y1),P2(X2，y2),且线段Pi,B的中点M的坐标为(x,y),XiX2X则2yyiy2y23. 过定点的直线系斜率为k且过定点(xo，y0)的直线系方程为yyok(xx°);过两条直线lAxBiyCi0,I2:A2XB2yC20的交点的直线系方程为AixBiyCi(&xB2yC2)0(为参数)，其中直线I2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式1 .两条直线的交点设两条直线的方程是Ii：AxBiyCi0,l2：A>xByC20两条直线的交点坐标就是方程组ax®yCi0的解，A2XB2yC20若方程组有唯一解，则这两条直线相

5、交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2 .几种距离(i)两点间的距离平面上的两点Pi(xi,yi),P2(x2，y2)间的距离公式PlP24(X2Xi)(y2yi)特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离OPJx2y2(2)点到直线的距离点P(Xo,y0)到直线l:AxByC0的距离d1A"B"C,A2B2(3)两条平行线间的距离两条平行线li：AxByCi0,I2：AxByC20间的距离(注忌: 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能

6、套用公式计算。)补充：1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角倾斜待0（0-(于，林)斜率取值0（0,斗3）不存在增减性/递增递增(2) .已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为(0,万)的子集，且为增函数；若k为负数，则的范围为(，)的子集，且为增函数。若k的范围有正有负，2则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知A(xi,y1),B(X2,y2),C(X3,y3),若x2X3或kABkAc,则有A、BC三点共线。注：斜率变化分成两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论

7、。3,两条直线位置关系的判定：已知l-AxByCi0,I2:AxByC20,贝U：(1) liI2A1A2B1B20l1/|2AB2-A2B10，AC2A2cl0；(3) 11与12重合a1b2-a2b10，ac2a2c10；(4) I1与I2相交AB2A2B0如果A2B2c20时,则：(1) l1l2A1?仓1B1B2(2) l1/l2ABCABC不为0);A2B2C2(3) l与b重合&旦邑八,B2,C2不为0)A2B2C2(4) l1与l2相交国旦(A2,B2不为0)a2b24.有关对称问题常见的对称问题：(1)中心对称若点M(xi»)及N(x2,y2)关于P(a,b)

8、对称,则由中点坐标公式得x2axiy2byi直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用lil2,由点斜式得到所求直线方程。(2)轴对称点关于直线的对称若两点Pi(xi，yJ与之x2,y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段PP2的中点在对称轴l上，而且连接PiP2的直线垂直于对称轴l上，由方程组A(J)B(jC022X2七_3？(鸟iy2x2xiB可得到点P关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A0,xix2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情

9、况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线yxb对称的解法：y换x,x换y.例：曲线f(x,y)0关于直线yx2对称曲线方程是f(y2,x2)0曲线C:f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线方程是f（2ax,2by）05.两条直线的交角直线11到l2的角（方向角）；直线11到12的角，是指直线11绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角,它的范围是(0,),当90时tank2ki1kik2两条相交直线11与12的夹角：两条相交直线11与12的夹角，是指由11与12相交所成的四个角中最小的正角，又称为11和12所成的角，它的取值范围是0,鼻，当90,

10、则有tank2k11k1k26.直线1上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：在直线1上求一点P,使尸A|PB取得最小值， 若点A、B位于直线1的同侧时，作点A（或点B）关于1的对称点A/或由连接A/B（或AB/）交1于P,则点P即为所求点. 若点A、B位于直线的异侧时，连接AB交于1点P,则P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线1上求一点P使PA|PB取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”若点A、B位于直线1的同侧时，连接AB交于1点P,则P为所求点。若点A、B位于直线的

11、异侧时，作点A（或点B）关于1的对称点A/或B/,连接A/B（或AB/）交1于P,则点P即为所求点.(3)|PA2|PB2的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。7.直线过定点问题：含有一个未知参数，y(a1)x2a1ya(x2)x1(1)令x20x2,将x2代入(1)式，得y3,从而该直线过定点(2,3)含有两个未知参数(3mn)x(m2n)yn0m(3xy)n(x2y1)0令3xy0x2y1从而该直线必过定点(13)778 .点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0,y。)到x轴的距离d|y0|。(2)点P(x0,y0)至Uy轴的距离d|x0|.(3)点P(x0,y。)到与x轴平行的直线的距离d|y0a|o(4)点P(x°,y°)到与y轴平行的直线的距离d|x°a|.9 .与已知直线平行的直线系有：(1)平行于直线AxByC0的直线可表示为AxByC/0(C/C)(2)平行于直线ykxb的所有直线为ykxb/(b/b)10 .易错辨析：(1)讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论： 斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在