成考专升本高等数学二重点及解析精简版

1、高等数学（二）重点知识及解析（占 80 分左右）I、函数、极限一、基本初等函数（又称简单函数）：（1）常值函数：yc（2）募函数：yxa（3）指数函数：yax（a0,且a1）（4）对数函数：ylogax（ao,且a1）（5）三角函数：ysinx,ycosx,ytanx,ycotx（6）反三角函数：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：|ylncosx是由ylnu,ucosx这两个个简单函数复合而成.L一t3x 一,vv一八一、_.或.丁例如：yarctane是由yarctanu,ue和v3x这

2、三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将x0代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即limf（x）f（x0）oxx0注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limCC0（2）该方法的使用前提是当xx0的时候，而x时则不能用此方法。例 1：lim44,lim33,limlg2lg2,limxx1x2nI,.x3x1例 2：limx0 x1的Mlimtan（x1）tan（21tan1（非特殊角的三角函数值不用计算出来）x2x1212、未定式极限的运算法（1）对于0未定式：分子、分母提取公

3、因式，然后消去公因式后，将 x0代入后函数值即是极限值。0_2023?0101r-x29例 1：计算limx3x30未定式，提取公因式0(x3)(x3)解：原式=limlim(x3)6x3x3x3.一x2x10.例 2：计算lim2-未定式，提取公因式x1x102x1x10解：原式=lim=lim=0 x1x1x1x1x12(2)对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次募，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。.2n3例 1：计算lim2n上一未定式，分子分母同时除以n3n1202解：原式lim一n一-无穷大倒数是无穷小n13033.n3、利用等价无穷小的代换求极限(1)定义：设

4、和是同一变化过程中的两个无穷小，如果 lim=1,称与是等价无穷小，记作(2)TE理：设、均为无分小，又，旦lim存在则lim=hm或lim?lim?(3)常用的等价无穷小代换：当x0时，sinxx,tanxx当x0时，sin2x2x,tan(3x)3xn距?口，.sin2x2x,22例 2：极限lim=lim一=lim一=一x05xx05xx055tan3x3x=lim=lim33xx0 xx0例 2：计算limx3x22x12x3x25.未定式，分子分母同除以解：原式=limx3_2_工xxx.0212220无穷大倒数是无穷小，因此分子是0 分母是 2sin2x用 2x等价代换tan3x用

5、3x等价代换例 3：极限limx0n、一元函数的微分学、导数的表示符号(1)函数f(x)在点x0处的导数记作:f(X0),yxx0dydx(2)函数f(x)在区间(a,b)内的导数记作:f(x),y或？dx二、求导公式(必须熟记)、(1)(c)0(C为常数)(2)(x)x(3)(ex)ex(4)(Inx)1x(5)(sinx)cosx(6)(cosx)sinx(arcsinx)1x2例：1、x=3x2、6(8)(arctanx)21x12c-x23sin=0,c14、05、-2x三、导数的四则运算运算公式(设 U,V 是关于x22x36、x1X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U

6、和 V 即可，代入后(1)(uv)uv(2)(u?v)uvuv特别地(Cu)Cu(C为常数)(3)(u)vuvuv2vCT；-1 一一一、,.，4_例1：|已知函数yx3cosx2,求y.总用4c-33斛：y=x3cosx2=4x3sinx0=4x3sinxrTT1一一、“一 2 一一一E-,、2.2斛：f(x)=xInxxInx=2xInxx21=2xInxxx所以f(e)=2eInee2ee3e(注意：ine=i,ini=0)四、复合函数的求导1、方法例如求复合函数ysinx2的导数.(1)首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的如ysinx2由ysinu和ux2这两个简单函数复合而

7、成(2)用导数公式求出每个简单函数的导数即dy=cosu,du=2X(3)每个简单函数导数的乘想即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量 X 替代回去.,dydy-du2?=2XCOsu=2XCOsXdxdudx2、方法二(直接求导法)：复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数ycos(3x),求y.斛：y=cox(3x)=sin(3x)(3x)=sin(3x)(3)=3sin(3x)例 2：悭函数ye1nx，求y.AT?lnxlnx1lnx斛：y=e=e(lnx)=-ex注

8、,总十个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：y,f(x)或d?dx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数2、求法：(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：知已矢口y5sinx,求y.例 3:已知函数f(x)1X2，求f(X).一x解：f(x)=一2.22XX1X1XX2X11X221X222X7Xx,y。，fxx0,y0,z-zxx0,y0zzyx0,y0，解：y=5cosx,.y=5sinx2x例2：知已矢口ye，求yxo-解：:y=e2x2x=2e2x,y=2e2x2x=4e2x即yxo=

9、4六、微分的求法：(1)求出函数yf(x)的导数f(x).一_(2)再乘以dx即可.即dyf(x)dx.例1：知已矢口ylnx2,求dy.一，.2121一2斛：y=lnx=x=2x=xxxdy=2dxx例2:性函数yx4cosx,求dy.应力44434 斛：y=xcosxxcosx=4xcosxxsinx34dy=4xcosxxsinxdx田、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域,，通常记作D。例如：二元函数通常记作：zf(x,y),(x,y)D二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：(1)设二元函数zf(x,y

10、),则函数z在区域 D 内对x和对y的偏导数记为:zz,fx(x,y),zx；，fy(x,y),zyxy(2)设二元函数zf(x,y),则函数z在点x0,y0处对x和对y的偏导数记为:2、偏导数的求法(1)对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可.(2)对y求偏导时，只要将 x 看成是常量，将y看成是变量，直接对y求导即可.如果要求函数在点xo,y0处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将x0和y0代入即可n-71-，一“32Z一Z例 1：已知函数zxy2yx,求一和一.xyZ_2_2Z3.斛：一=3xy2y,=x4xyxyn-2Z_Z例 2：已知函数Zxsin2y,求和

11、.xyZZ_2_解：一=2xsin2y,=2xcos2yxy三、全微分1、全微分公式：函数Zf(x,y)在点(x,y)处全微分公式为：dZdxZdyxy2、全微分求法：(1)、先求出两个一阶偏导数.(2)、然后代入上述公式即可xy例 1：性函数Zsin(xy)3x2y1,求dZ.解：=ycos(xy)6x,=xcos(xy)1xy1dzdxdyycos(xy)6xdxxcos(xy)1dyxy例 2：忸函数ze2xy，求dz.解：,1=2e2xy,=e2xy1dzzdxdy2e2xydxe2xydyxyxy四、二阶偏导的表示方法和求法：,八/Z2Zk 一，4”(1)()=2=fxx(x,y)=

12、zxx两次都对x求偏导xxx,z、z-()=f(x,y)=z先对x求偏导，再对y求偏导yxxyIV、一元函数的积分学都有F(x)f(x),则称F(x)是f(x)在区间 I 上的一个原函数.例 1：(sinx)cosx,因此sinx是cosx的一个原函数，cosx是sinx的导数.由于(sinxc)cosx,可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个r-一一一.1,例 2:设f(x)的一个原函数为一，求(2)(3)-(-)=xy=fyx(x,y)=zyxyx先对y求偏导，再对x求偏导(4)Zz2z，、，()2fyy(x,y)=zyyyyy两次都对y求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种，它

13、们都是x,y的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序(写在符号前面的变量先求偏导)例 1：设函数z323xy3xyxy2z3和x2z-2.，一z_2解：=一=3x2x3y3zo3-=2xyy9xy22得一2=6xy2x=6x2y9y2=6x2y9y22=2x318xyy例 2:设函数ycosx,求2z2，x解：:x2ysinx得一-xycosx,2z=sinxxy、原函数的定义：设F(x)是区间 I上的一个可导函数, 对于区间I 上的任意一点 x,一，11解：因为一是f(x)的一个原函数,xL,、1一一、，1F(x)=,所以f(x)=F(x)=一f(x).得f(x)=-2x2,汁1

14、-3(汪：一3xx1)79例 2:又如:(四)、基本积分公式0dxxdxexdx（和导数公式一样,必须熟记）Csinxdxdx1x23dxkdx6cosxarctanx3xC,2tanxdtanxcos1xdcosxkxC(k为常数)1)41dxxcosxdxsinxC8dx1=x2lnxCarcsinxC2sinxdx32.Uudu3lncosxC、不定积分的计算-2cosxtanC-3C（利用换元法，设tanx-.2.3-.lnxdlnx-lnx2C31、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。2242,.42.x1dx=x2x1dx=xdx2xdx5dx

15、=5例 2:31(12sinx-)dx1dx2sinxdx3dxxx2cosx3lnx2、凑微分法（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法、不定积分f(x)dxF(x)C(其中F(x)f(x)、不定积分的性质f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dx(其中k为常数)（一）、定义：我们把f（x）的所有原函数称为f（x）在区间 I 上的不定积分，记作:注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C 勿忘！（2）凑微分法解法步骤.凑微分2换元3直接积分法4反换元例 1：际不定

16、积分xcosx2dx解：原式=cosx2d-x2=cosx2dx2（1.凑微分）将xdx凑成dx222212.=-cosudu（2.换兀）将x换元成u21.-=-sinuC（3.直接积分法）求出u的不定积分21.22 一，一=-sinxC（4.反换兀）u再用x反换兀2例 2:旭不定积分lnxdxx2-1.解：原式=ln2xd（lnx）（1.凑微分）将一dx凑成dlnxx=u2du（2.换元）将Inx换元成u3=C（3.直接积分法）求出u的不定积分3（4.反换元）u再用lnx反换元何丁族不定积分e3x2dx.一.11解：原式=e3x2d（3x2）（1.凑微分）将dx凑成d（3x2）331=-ed

17、u（2.换兀）将3x2换兀成u31u 一=-eC（3.直接积分法）求出u的不定积分313x2=-eC（4.反换兀）u再用3x2反换兀3注意：淡微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而直接进行积分。4.3,_3.3.s1nx例 4：sinxcosxdx=sinxdsinx=4C（将dx凑成1d3x3例 5:x1x2dx=12、1x2d（1x2）=11312C（将xdx凑成一d1x）23、分部积分法(考到概率为40%左右，要了解的可参考重点解析“详细版”)三、不定积分(一)、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式bA=f(x)dx(A为曲边梯

18、形的面积)a其中f(x)为被积函数，a,b为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。用定积分所要注意的事项： 1、 因为定积分是曲边梯形的面积,零。因此定积分的值个常数,所以对定积分求导，导数值必为dx1arctanxdx0，022tsintd2、当 a=b 时,bf(x)dx=0a因定积分上限ba,当ba 时,f(x)dx=abf(x)dx例:1sinxdx0,11cosx(二)、定积分的计算1、变上限积分的计算32f(x)dx23f(x)dx(1)记作定义：积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限x(x)f(t)dtax的函数,(2)变上限积分的导数：xf(t)dtf(x)将x代入到f(t)即可a例 1：及f(x)xsintdt， 则0(x)sinx.tdtx3x2、牛顿莱布尼茨公式(1)公式：如果F(x)是连续函数f(x)在a,b上的一个原函数，则有f(x)dx=F(x)ba=F(b)F(a)连续函数f(x)在a,b上定积分，就是f(x)的一个原函数F(x)在a,b上的增量(上限值减下限值)。而连续函数f(x)的不定积分，就是f(x)的全体原函数(原函数后面加常数C)可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的(2)由公式可知：02co