托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题二

1、托勒密定理、婆氏定理圆中基本模型专题（二）ACBEABCDABBE旋转一拖二得ABCsAED,ACDEBCAD【模块二对角互补模型-旋转视角】图m【教学重难点】1 .圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角2 .婆罗摩笈多定理3 .例题探究【模块一圆中托勒密定理】在希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年-公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理.古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯托勒密（约90年-168年）J从伊巴谷的书中将其摘出并完善.托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余

2、弦的和差公式及一系列的三角恒等式.1 .基本图形与结论：如图1,当A、B、C、D四点共圆，则ACXBD=ABXDC+ADXBC.2 .简单证明：在线段BD上取一点E,连AE,使/AEB=/ADC,易得AEBsADC,ACCDACBCADDE由十得：ACX（BE+DE）=ACXBD=ABXDC+ADBC.3 .模型识别：具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算.X4.广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD,则有ACXBDABXDC+ADXBC.证明从略1 .基本图形与模型识别：如图2,对角互补且一组邻边相等的四边形，可通过旋转变换将四边形转

3、化为等腰三角形（等腰思旋转）.2 .四类常见对角互补模型：模型一：等边60对120型条件：如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60,ZBCD=120结论：（1）CA平分/BCD;（2）BC+CD=AC.证明：证明：如图，将4ACD绕点A逆时针旋转60至AAMB,使AD,AB重合，则ACDAAMB, ./ADC=/ABM,AC=AM,CD=BM,/ACD=/M, ./BAD=60,/BCD=120, ./ABC+ZADC=180,./ABC+ZABM=180,.M,B,C三点共线， ./MAC=ZBAD=60, .MAC为等边三角形，MC=AC,/M=ZACD, .MB+BC=AC

4、,/ACB=/ACD, CA平分/DCB,CB+CD=AC.模型二：等腰直角对直角型条件：如图4,在四边形ABCD中，AB=AD,/BAD=/BCD=90.结论：(1)CA平分/DCB;(2)CB+CD=J2AC.证明：略A模型三：等腰顶角120对60型条件：如图5,在四边形ABCD中,结论：(1)CA平分/BCD;(2)证明：略模型四：同侧双直角型条件：如图6,在四边形ABCD中，/BCD=90.结论：CB-CD=72AC.证明：略AB=AD,AB=AD,CB+CD=【模块三对角互补模型托密视角】1 .等腰三角函数计算：如图7,BC2ABcos2mcos2 .托勒密定理应用：如图8,对角互补

5、型：mambc2mcosab2ccos结论：当a=60时，a+b=c当a=45时，a+b=V2c当a=30时，a+b=3c利用角平分线性质也可直接得ab2c如图9,同侧等角型：a2mcosmbmccb2acos结论：邮当a=45时，cb=72a【模块四婆罗摩笈多定理】婆罗摩笈多(约公元598约660年)是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓,婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具一一数学.罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世

6、界都是领先的.婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”.若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.1 .简单证明：已知：如图，四边形ABCD内接于圆O,对角线于点F,求证：F是AD中点.证明：-.ACIBD,MEXBC ./CBD=/CME ./CBD=/CAD,/CME=/AMF ./CAD=/AMF.AF=MF .ZAMD=90,同时/MAD+/MDA=90 ./FMD=ZFDMMF=DF,AF=DF即F是AD中点.ACXBD于点M,MEBC于点E,延长EM交CD2 .婆罗摩笈多逆定理请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理

7、：(1)如图1,四边形ABCD内接于圆O,对角线ACLBD于点M,F为AD中点，连接FM并延长交BC于点E,求证：MELBC.(2)如图2,4ABC内接于圆O,/B=30,ZACB=45,AB=2,点D在圆O上，/BCD=60,连接AD交BC于点P,作ONLCD于点N,连接并延长NP交AB于点M,求证PMXBA,并求PN的长.3 .共顶等腰直模型(婆罗摩笈多模型)已知：如图，两个等腰直角三角形RtAABORtACDO,顶点重合，连接AC,BD.结论：如果F是AC中点，那么一定有EFXBD;如果EFXBD,那么一定有F是AC中点；Sabod=Saaoc；2FO=BD.证明：(1)法一：(外)弦图

8、构造法，如图1(2)法二：导角构造一全等构造法，如图2【例1】如图3所示，试证明：上述共顶等腰直模型中结论例2如图，向4ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG:(1)过A作AHLBC于H,AH与EG交于M,求证：EM=MG,BC=2AM.(2)若M为EG的中点，求证：AHXBC.【模块四真题探究】【例3】（改编）如图1,。的半径为1,A,P,B,C是。O上的四个点，/APC=/CPB=60.（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点p位于Ab的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.44【例4】（2013成都中考改编）如图2,A,B,C为。O上相邻的三个n等分点，AbBc，点E在？C上，EF为。的直径，将。O沿EF折叠，使点A与A重合，点B与B重合，连接EB,EC,EA.设EB=b,EC=c,EA=