指数指数函数

1、指数指数函数【重点难点解析】1.本单元的知识结构指数概念指数函薮应用2 .指数概念由特殊乘法运算定义，是乘法运算的开展，是人类探索化简运算的过程中，创造并开展的数学知识；它由正整数指数开始，到负整数指数、零指数，再到分式指数（根式），最后到实数指数.3 .指数运算的特点是强概念性及性质使用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表示既是重点也是难点.4 .指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被无视而成为难点.【考点】i.指数运算一般结合其他知识在应用中进行考查.5 .根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及.【典型热点考题】例i完成以下计算:(52)1；32(5)(3-)

2、3；O31二(6)()2900思路分析运算时，一般将根式化为分指数，运用指数运算性质进行化简计算，但要注意的是分指数的运算实质是方根的化简，必须依照方根运算的要求进行，即注意根指数（分指数的分母）的奇偶性来决定结果，一般偶次方根化简时尤须注意.解:13(3)3(3)33390023(302)2303=27000.例2化简以下各式：1111131(1)(ab2a2b2)2丫(a2b2)3；22a3b3ab1(2)-11-2112,a3b3a3a3b3b3思路分析多项式的乘法公式，本质上给出的是多项式的次数与它的因式的次数间的关系(当然也有多项式中的运算及形式的关系，引入分指数的概念后，这种公式的

3、本质并未改变，只不过由于指数形式的复杂，使它们指数间的倍比关系较难判断清楚，因此就给如何应用公式分解因式并化简带来了困难只要抓住多项式及根式化简的通法、通性，这些难题不会造成困难.解：11111(1)(ab2ab2)2：(a2b2)311111213：(a2)2(b2)22a2b22(a2b2)311111(a2b，)22a2b1111|a2b2|ab2当ab0时，VaMb1111原式a2ba2b112(a2b2)2(、a.b)当ba0时，/b01111.原式b2aa2b=0.(2)解法22a3b3ab1-1T2112a3b3a3a3b3b311(a3)2(b3)211a3b311(a3)3(

4、b3)3-1111(a3)2a3(b3)21111(a3b3)(a3b3)11a3b3111111(a3b可(a3)2ab缶(b)21111(a2a3b3(b3)21111a3b3a3b312b322Hb解法二：11设a3m,b3n_3a,na2m2,b322a3b3ab1112112a3b3a3a3b3b322mmnn=mn(m+n)=2n12b3b，其实设辅助未知数是对数点评不要认为设辅助未知数只是一种可有可无的运算技巧学问题的“层次性的深刻熟悉的表现，是把复杂问题转化为两个或多个根本问题的重要的分析思维的具体表达.例3化简以下各式：29“8)3(ViO2)2府;思路分析用根式计算时，必须

5、将根式化为同次根式才能进行乘、除、塞的计算，假设式子中有重根式(根号套根号)的形式，化同次根式更难更容易出错；如果逐层将根号处理为分指数，再用指数的运算性质运算既简捷又方便.解:29(8)3(3102)2.10512191(23)23(102)寸(10千121953-()22231032102521103102110万1X31()51X21()31X51(-)210Xx2x5X315XX10X15X6231xx2411xx2351(x)431(x2)3(x8)3113-(x2)4211x247x8-7x8=1.点评重根式化简只需作13个题，通过具体演算到达了解方法的目的即可.例4求以下函数的定

6、义域和值域：(1)yk;1(2)y(1)x.思路分析由于一般指数函数yax(a0且aw1)的定义域是一切实数，值域是(0,十8工所以复杂的与指数函数有关的定义域、值域问题，主要考虑与自变量有关的代数式的运算限制和取值范围,就可以解出定义域；但值域问题一方面考虑指数函数的单调性，同时必须兼顾“指数函数的值域是(0,+0).解：(1)x20x2，函数y362的定义域是2,+8).x2,+8)时,x2A0,x2031,以3为底数的指数函数是增函数y3K301，函数y3的值域是1,+8).(2)1中xw0x111一函数y(_)x的定义域是X|XW0且XCR.XW0时，10X1 21c11(2)X(2)

7、01M(-)X01，函数y(1)X的值域是y|y0且yw1.例5求以下关于x的不等式的解集.26Xx21；2.12(2)a0且aw1时，ax()a.a思路分析由于不等式中的变量x在指数局部，所以这类不等式(称指数不等式)的解法是：利用指数函数的单调性，将各不等式先转化为一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式组求解由此看来，函数的单调性是用来处理与函数有关的量大小比拟的有力工具.解：61,那么以6为底的指数函数是增函数26X160x2x202x1，不等式的解集为x|-2x1时，以a为底的指数函数是增函数.22x2xa2一2X22xa20=44a24(1a2)0，不等式的解集为R.当0a1时

8、不等式的解集是R,0a1时，不等式的解集是x|1V1a2x1v1a2.a例6设f(x)2x-1(a为实数)2x(1)xCR,试讨论f(x)的单调性，并且用单调性定义给出证实；(2)当a=0时假设函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称.求函数y=g(x)的解析式.解：(1)(i)a=0时,f(x)2x1任取x1,x2R,x1x2-f(x1)f(x2)2x12x22x1(12x2x1x2x10,2x2x1201f(x1)f(x2)函数f(x)是增函数.(ii)a0时,f(x)是增函数，下面给出证实:任取x1,x2R,x1x2-f(x1)f(x2)2xi2*2aa2Xl2X2(

9、2X12X2)2X1x2a2%X2xi2xi2x2又丁a0,2X1x2a-f(Xi)f(X2)从而得：函数f(X)是增函数.x,、a.(iii)令u2,g(u)u-1u0a1时f(x)=1时，可得：ua11u22ua0u1.1au又u2X是增函数存在X1X2,有：2X11.1a,2X21.1a也就是：存在两个实数x15X2,x1x2，但有f(x1)f(x2)10a1时,f(x)在全体实数R上不是单调函数一1一一一a=1时,1时,f(x)也不是单调函数.(请读者自己给出证实)(2)在函数y=g(x)的图象上取一点P(x,y),点P关于直线x=1的对称点Q(x1，y1)从而得:x2x1yy1,函数

10、y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，Q(x1,y1)在y=f(x)的图象上也就是：y12X11从而，可得：y22x1也就是：g(x)22x1.点评函数f(x)不是单调函数存在x1，x2,x1x2，但有f(x1)f(x2).【同步达纲练习】一、选择题1.假设a；:(8)3,b%：(10)2，那么a+b的值是()A.-18C.22.函数yB.18D.2)A.(-1,2C.(-oo,-1)U(-1,23.代数式VaVava的值是()B.(-oo,2D.(一00,一1)73A.a8B.a213C.a8D.a44.0.7m0.7n,那么m、n的关系是()A.1mn0C.mn3(

11、件.卡(51a31a)25.代数式小4.3(a)1nm0m1)()A.在(8,0)上是增函数C.增函数7 .假设2a3b，那么实数a、b间应该有的关系是()A.abB.a=bC.abD.以上答案都可能成立8.三个数a(0.3),b(0.3)2,c20.3,那么a、b、c的关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca9.假设指数函数y(a1)x在(8,+8)上是减函数，那么()A.0a1B.-1a0C.a=1D.an1,那么实数a的取值范围是()A.(1,十0)C.(0,兀一1)5.3x10,那么这样的x值(A.存在且有且只有一个C.存在且x0且aw1),假设对mnf(n)成立，那么a的取

12、值范围是()A.(0,1)B.(1,+8)C.(-1,0)U(0,1)D.(-00,_i)u(1,+oo)7 .假设(0.25)5x4，那么x的值是()A.1B.-1C.4D.68 .a30.2,b(0.2)3,c(3)0.2，那么a、b、c的大小关系是()B.bacD.bcaA.abcC.cab9 .函数f(x)23x在区间(一8,0)上的单调性是()A.增函数C.常数B.减函数D.有时是增函数有时是减函数五、填空题1 .f(x)2x,使f(x)2f(x)的x的值的集合是.2 .函数f(x)中3x2x的定义域是集合.、，23 .满足3x1的x的值的集合是.94,函数f(2x)的定义域是1,2

13、,那么函数f(x)的定义域是.x15.指数函数f(x)ax的图象经过点(2,)，那么底数a的值是六、解做题22_27bab1.1 .当a30且aw1）a参考答案【同步达纲练习】1. D2. C1提不：一1一要求xw1即可.31-x13.A4,D5.D6. D提示:(1)xa3b可能成立，当a=b=07. D提示：ab0时，2a3b可能成立，当ab0时，2a时,2a3b18. C9. B提示：底数满足0a+11.1. .(8,52. 211131提示：(x2x4)xx4x23. mx4.提示：272x(33)2x36x5. 9证实：设x1、x2是区间(00,0上的任意两个值,x1x2xix20f

14、(X2)f(xi)2x22x2(2xi2xi)2x22xii(2xii2x2)2x22xi2x22xi2xi2x2(2x22x122x22xix2xi函数y2x是增函数2x22xi,2xix2xix20,2xix220i.2xix2f(x2)f(xi)即f(x2)f(xi)f(x)在区间(一8,0上是减函数.四、i.A提示：3(3)33,4(2)42.4.D提示：a1a1.5. A提示：作函数y3x图象，看y=10时的图象上的点的x值.6. B提示：f(x)是偶函数作出图象观察.7. D提示：(0.25)5x(-)5x4x548. B3提小：c0,b5,0a02. x|x033一提不：3x2x03x2x(|)x1(铲x0.3.1提不：32,x212无解.91、4 .二,42提示：1WxW2,那么212xt22.15 .一4提示：a2工且a016六、1.解:a3a3bab12112