数学中考压轴题旋转问题经典答案版

1、ACA、BCD和AACD八13SABC-BCACo设点B扫过的路线与AB的交点为D,连接CD,22.BC=DC.BCD是等边三角形。BD=CD'1.，点D是AB的中点。Sacd；SabcSSoABC扫过的面积S扇形ACA1S扇形BCDSACD90（百26012<333311v1'3也生口故选Do36036044641242.（湖北）如图，O是正ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO,下列结论：ABOA可以由ABOC绕点B逆时针旋转60°得到；点O与O'的距离为4;/AOB=150;S3边

2、形AOBO=6+343;S.、aocSAOBC9.36+4其中正确的结论是A.B.C.旋转拔高练习一、选择题1.（广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到AAiBiC,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【】B.4C,J吏D,上+巡421241、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形计算即可:1.在AABC中，/ACB=90,/BAC=30,AB=2,BC=-AB=1,/B=90/BAC=60ACAB2BC232【分析】正AABCAB=CB/ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°

3、;得至IJ线段BO,BO=BO,/O'AO=6001/14确。&9边形AOBOSAOOSOBO11一一34+4236+4322故结论错误。如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O'点.易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5直角三角形。则SAOCSAOBSAOCOSCOOSAOO1.134+故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选Ao3.（四川）如图，P是等腰直角ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°至ijBP,已知 ./O'BA=60°-ZABO=OBA.BO心BOC._B

4、OA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论正确。连接OO,.BO=BO,/O'AO=60°,.OBO是等边三角形。OO=OB=4故结论正确。 在AAO。中，三边长为O'A=OC=5OO=OB=4OA=3是一组勾股数， .AOO是直角三角形。AOBMAOO+/O'OB=90°+60°=150°。故结论正/APB=135,P'A:P'C=1:3,贝IP'A:PB=【A.1:j2B.1:2C.y/3:2D.1:733、【分析】如图，连接AP,BP绕点B顺时针旋转90到BP,.BP=BP,/ABP

5、吆ABP=90。又.ABB等腰直角三角形，.AB=BC/CBP+/ABP'=90；/ABPNCBP。在AABP和CBP'中，:BP=BP',/ABP=/CBP',AB=BC,.ABPACBP(SAS。.AP=PCo.nA:P'C=1:3,/.AP=3|PA。连接PP',则APB?是等腰直角三角形。./BP'P=45°,PP'=2PB2/14./APB=135,./APP=135-45=90,.APP是直角三角形。设P'A=x贝UAP=3x在RtAPP'中，ppAP2PA23x2x22j2-x。在RtAPP

6、中,PP<2PB。<2PB=2v12-x,解得PB=2%.P'A:PB=x2x=1:2。故选B。4.（贵州）点P是正方形ABCDiAB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90。，得线段PE,连接BE贝U/CBE等于【A.75°B,60°4【分析】过点E作EF，AF,交AB的延长线于点F,则/F=90°,.四边形ABC的正方形，AD=AB/A=/ABC=90。./ADP+APD=90。由旋转可得：PD=PEzDPE=90,/APD+EPF=90。/ADPWEPF在4APD和4FEP中，/ADPWEPF/A=/F,PD=P

7、E.AP¥FEF3(AAS。AP=EFAD=PF又.AD=ABPF=AB即AP+pb=PB+BFAP=BFBF=EF又/F=90°,.BEF为等腰直角三角形。EBF=45。又./CBF=90,CBE=45°o故选Co【答案】Co5.（广西）如图，等边ABC的周长为6Tt,半径是1的从与AB相切于sDIB产点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则自转了：【A.2周B.3周C.4周D.5周5【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：00在三边运动时自转周数：671

8、-271=3:00角时，共自转了三角形外角和的度数：360。，即一周。自转了3+1=4周二、填空题6.（四川）如图，四边形ABCD中，/BADRBCD=90°,AB=AD,若四边形AC长是cm.3/14绕过三角形外故选Co一一一一，一一、,一_,一一，,_.一一一_.,一，,_.一一一，-26【分析】如图，#AADC旋转至ABE处，则AAEC的面积和四边形ABCD勺面积一样多为24cm,这时三角形AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF,则AF=1EC=FC,SAAEC=IaF-EC=AF2=24。AF2=24。AC2=2AF2=48AC=4j3。7.（江西南昌）如图，正方形ABC

9、内正三角形AEF的顶点A重合，将AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，/BAE的大小可以是7【分析】正三角形AEE以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求当正三角形AEF在正方形ABCM内部时，如图1,正方形ABCDW正三角形AEF的顶点A重合，AB=ADAE=AF当BE=DFM,在4ABE和4ADF中，AB=ADBE=DFAE=AF.AB珞ADIZ(SSS。，/BAE至FAD/EAF=60,.BAE吆FAD=30。./BAE至FAD=15。当正三角形AEF在正方形ABCM外部，顺时针旋转小于1800时，如图2,同上可得AAB白ADIZ(SSS)°，/

10、BAE至FAD-/EAF=60,./BAF4DAE90°+60°+/BA斗/DAE=360°,/BAF4DAE=105。/BAE至FAD=165。当正三角形AEF在正方形ABCM外部，顺时针旋转大于1800时，如图3,同上可得AAB*AADF(SSS)。./BAE至FAD-/EAF=60,/BAE=90,.90°+ZDAE=60+/DAE这是不可能的。，此时不存在BE=DF勺情况。综上所述，在旋转过程中，当BE=DFM,/BAE的大小可以是15°或165°。8.（吉林省）如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD.将BCD绕点B

11、逆时针旋转60°得到4BAE连接ED.若BC=10,BD=9,则4AED的周长8【分析】BCD绕点B逆时针旋转60°得到BAE，根据旋转前、后图2D4/14DB的图形全等的旋转性质，得，CD=AEBD=BE.ABC是等边三角形，BC=1Q.,.AC=BC=10b.A曰AD=AC=10又,.旋转角/DBE=60°,.DBE是等边三角形。，DE=BD=9.AED的周长=DE+A斗AD=9+10=19。三、解答题9.（北京市）在4ABC中，BA=BC,BAC,M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ（1）若且点P与点M重合（如图1）

12、,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形，并写出/CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B,M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想/CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M重合）时，能使得【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ是等边三角形，即可得出答案：=BA=BC/BAC=60,M是AC的中点,.BMLACAM=AC.将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQAM=M,Q/AMQ=120。，CM=MQ/CMQ=6°0。.CMQ是等边三角形。./ACQ=60。./CDB

13、=30。（2）首先由已知得出AP¥ACPID从而彳#出/PAD廿PQD=PQC+PQD=180,即可求出。（3）由（2）得出/CDB=90a,且PQ=QD/PADWPCQ=PQC=2CDB=1802a。.点P不与点B,M重合，/BAD>/PAD>ZMAD，2a>180°2a>a,.45°Va<60°。5/1410.(福建)在平面直角坐标系中，矩形OAB或口图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为(m,1) (m>0),将此矩形绕O点逆时针旋转90°,得到矩形OAB'C'.(1)写出点AA、C&#

14、39;的坐标；(2)设过点AA、C'的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,求此抛物线的解析式；用含m的式子表示)(3)试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在(2)若能，求出此时m的值.10【答案】解：(1).四边形ABC提矩形，点B的坐标为(m,1)(m>0),.A(m,0),C(0,1)。矩形OAB'C'由£!形OABCI车990°而成，.A'(0,nD,C'(1,0)。(2)设过点A、A'、C'的抛物线解析式为A(m,0),A'(0,项，C'(1,0),2ambmc0a1.

15、cm,解得bm1。：此抛物线的解析式为：y=-x2+abc0cm(3) .点B与点D关于原点对称，B(m,1),.点D的坐标为：(一m,1),2假设点D(m1)在(2)中的抛物线上，：0=-(m)+(m-1)x(m+m=1,即22m2m+1=0,=(2)24X2X2=4<0,.此方程无解。.,点D不在(2)中的抛物线上。【分析】(1)先根据四边形ABC说矩形，点B的坐标为(m1)(m>0),求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A'、C'的坐标即可。(2)设过点A、A'、C'的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、A'、C'

16、三点的坐标代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式。(3)根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。11.(江苏)(1)如图1,在4ABC中，BA=BCD,E是AC边上的两点，且满足/DBE=-ZABC(0°21</CBg1/ABC)以点B为旋转中心，将BEC按逆时针万向旋转/ABC得，到ABE'A(点2C与点A重合，点E到点E'处)，连接DE。求证：DE=DE.a、b、c可中的抛物线上?y=ax2+bx+c,(m1)x+mo6/14（2）如图2,在AABC中，BA=BC/ABC=90,D,E是AC边上

17、的两点，且满足/DBE=1/ABC（0°</CB&45°）,求证：DCuADkEC2.211【答案】证明：（1）.ABE'A是BEC按逆时针方向旋转/ABC得一到，.BE'=BE/E'BA=/EBC/DBE=1/ABC/AB打2/EBC=1/ABC2/AB济/E'BA=1/ABC即/E'BD=1/ABC22./E'BD力DBE在AE'BD和AEBD中，BE'=BE/E'BDNDBEBD=BD£'B*AEBD（SAS。.DE=DE（2）以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向

18、旋转/ABC=90,得,到BEA（点C与点A重合，点E到点E'处），连接DE由（1）知DE=DE由旋转的T生质，知E'A=EC/E'AB=/ECB又;BA=BC,/ABC=90,.BACNACB=45/E'AD=/E'AB+/BAC=90在RtADEA中，DEJAC2+E'A：.DEaD+eC。【分析】（1）由旋转的性质易得BE'=BE/E'BA=ZEBC由已知/DBE=1/ABC经等量代换2可得/E'BD=/DBE从而可由SAS得E'B®EBD得至1JDE=DE（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形

19、，即可得到直角三角形DEA,根据勾股定理即可证得结论。12.（四川德阳）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC勺边长为4,边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE!DB交x轴于点E.求经过点D、BE的抛物线的解析式；将/DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G,交中的抛121”，、一E物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=-DG能成立吗？请说明理52由.过中的点F的直线交射线CB于点P,交中的抛物线在第一象限的部分于点Q,且使PFE为等腰三角形，求Q点的坐标.7/1412【答案】解：(1).BHDB交x

20、轴于点E,OABB正方形，/DBC=EBA在4BCD与4BAE中，/BCDWBAE=90,BC=BA,/DBC=EBA,.BC国ABAE(ASA。-AE=CD-OABC是正方形，OA=4D是OC的中点，.A(4,0),B(4,4),C(0,4),D(0,2),.E(6,0).设过点D(0,2),B(4,4),E(6,0)的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有：c25a一1216a4bc4,解得"2。1336a6bc0b6c2经过点DB、E的抛物线的解析式为：y=2x2+£x+2。126(2)结论OF=1DG能成立.理由如下：由题意，当/DBE绕点B旋转一定的角度后，同理

21、2125213241224可证得ABCG2ABAF.-.AF=CGxg12,，yM=xj+xM+2二今。.M,摩)。51265551224设直线MB的解析式为yME=kx+b,/M(12,M),b(4,4),12.24,1一k+b=屈r/曰k二一155,解得2。一乂=-x+6o.G(0,6)。21DG=4包论OF=1DG成24k+b=4b=6.CG=2DG=4.1.AF=CG=2OF=OaAF=2,F(2,0)。OF=2(3)如图，4PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：若PF=FEFE=4,BC与OA平行线之间距离为4,，此时P点位于射线CB上。,F(2,0),P(2,4)。5o

22、1314此时直线FP-Lx轴。来-xQ=2o>.yq=xq+xq+2=,1263.Q1(2,14)。若PF=PE3如图所示，AF=AE=2BALFE,.BEF为等腰三角形。，此时点P、Q与点B重合。2(4,4)。若PE=EF.FE=4,BC与OA平行线之间距离为4,此时P点位于射线CB上。/E(6,0),P(6,4)。8/142k+b=0.一k=1设直线ypF的解析式为yPF=kx+b,F(2,0),P(6,4),，,解得。.ypkx6k+b=4b=259132Q点既在直线PF上，也在抛物线上，._x2+x+2=x2,化简得5x-14x-48=0,126解得x1=丝，x2=-2（不合题意

23、,5)oxc=2o，yQ=xQ2=52=154,2414、3(,)O55综上所述，Q点的坐标为Q（2,14,、，、241414)或Q(4,4)或Q(今)o35'5【分析】（1）由正方形的性质和BC国ABAE求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。（2）求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0,求得G点坐标，从而得到线段CG、DG的长度；由BCGABAF,可得AF=CG,从而求得OF的长度.比较OF与DG的长度，它们满足OF=DG的关系，所以结论成立；（3）分PF=FE、2PF=PE和PE=EF三种情况，逐一讨论并求解。13.（辽宁）（1）如图，在AABC和A

24、ADE中，AB=ACAD=AE/BACNDAE=90.当点D在AC上时，如图1,线段BDCE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的AADE绕点A顺时针旋转a角（0°<a<90°）,如图2,线段BDCE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.（2）当AABC和AADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由.甲：AB:AC=ADAE=1,/BACNDA字90°乙：AB:AC=ADAEw1,/BAC=DAE=90;丙：AB:AC=ADAEw1,/BAC=DA序90°.13【

25、答案】解：（1）结论：BD=CEBDLCE结论：BD=CEBDLCE理由如下：3:/BACNDAE=90,/BAD-/DACMDAE-/DAC即/BADRCAE在RtAABD与RtAACE中，AB=AC/BADRCAE,AD=AE.AB*AACE(SA0。.BD=CE延长BD交AC于F,交CEH在AABF与AHCF中，/ABFNHCF/AFBNHFC9/14./CHF=BAF=90。.BDLCE(2)结论：乙.AB:AC=ADAE,/BAC=DAE=90。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】(1)BD=CEBDLCE根据全等三角形的判定定理SAS推知AB*AA

26、CIE然后由全等三角形的又t应边相等证得BD=CE对应角相等/ABFhECA然后在AABD和ACDF中，由三角形内角和定理可以求得/CFD=90,即BDLCF。BD=CEBDLCE根据全等三角形的判定定理SAS推知AAB*AACIE然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE对应角相等/ABFNECA作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角/ABFNHCF再根据三角形内角和定理证得/BHC=90。(2)根据结论、的证明过程知，/BAC=DFC(或/FHC=90)时，该结论成立了，所以本条件中的/BAC=DA序90°不合适。14.(辽宁本溪)已知，在ABC中，AB=AC过

27、A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合)，BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方)，且BM=BN连接CM(1)当/BAC=MBN=90时，如图a,当=45°时，/ANC的度数为;如图b,当*45。时，中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图c,当/BAC=MB蚌90°时，请直接写出/ANC与/BAC之间的数量关系，不必证明。14【答案】解：(1)450。不变。理由如下过B、C分别作BDLAP于点D,CELAP于点E。/BAC=90,./BA济/EAC=90。/BDLAP,./ADB=9。/AB打/

28、BAD=90。./ABD=EAC又AB=AC/ADB=/CEA=90,.AD擎ACEA(AAS)AD=ECBD=AE;BD是等腰直角三角形NBMM边上的高，BD=DN/BND=45。.BN=BD=AE：DN-DE=A9DE,即NE=AD=EC.ZNEC=90,./ANC=45。(3)/ANC=90-ZBAC2【分析】(1):BM=BN/MBN=90,/BMN=BNM=45。又/CAN=45,BMN=CAN又AB=ACAN=ANBM降ACAIN(SAS)./ANCMBNM=45。10/14过EkC分别作BDLAP于点D,CHAP于点E。通过证明AD擎ACEA从而证明CEN是等腰直角三角形即可。(

29、2)如图，由已知得：/8=180O2/ABC-Z1(AB=AC=180°/2/6一/1(./BAC=MBNBM=BN=(180°/2/1)一/6B=/3+Z4+Z5-Z6(三角形内角和定理)=Z6+Z5-Z6=/5(/3+/4=/ABC=6)。.点A、BN、C四点共圆。/ANC之ABC=90-工/BAC215.(山东德州)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFLBD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)求证：EG=CG;(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45o,如图所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成

30、立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)证法一：连接AG,过G点作MN±AD于M,与EF在DAG与DCG中，,AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,.ADAGADCG.AG=CG.5分在DMG与FNG中，/DGM=/FGN,FG=DG,/MDG=/NFG,ADMGFNG.MG=NG第15题图的延长线交于N点.在矩形AENM中，AM=EN.6分在RtAAMG与RtAENG中，:AM=EN,MG=NG,EG=CG.8分AAMGAENG.AG=E

31、G.11/14证法二：延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,4分在DCG与FMG中，FG=DG,/MGF=/CGD,MG=CG,.DCG里FMG.MF=CD,/FMG=/DCG.MF/CD/AB.5分.EFMF.在RtAMFE与RtACBE中，:MF=CB,EF=BE,.MFE里CBE.MEFCEB.6分/MEC=/MEF+/FEC=/CEB+/CEF=90°.7分、，一一一一_1AMEC为直角二角形MG=CG,EG=MC.EGCG.8分(3)(1)中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论还有：rEG，CG.10分16、(襄阳)如图1,点A是线段BC上一点，ABD和4A

32、CE都是等边三角形.(1)连结BE,CD,求证：BE=CD;(2)如图2,将ABD绕点A顺时针旋转得到AB'D当旋转角为60度时，边AD落在AE上；在的条件下，延长DD'交CE于点P,连接BD:CD'.当线段AB、AC满足什么数量关系时，BDD与CPD'全等？并给予证明.16、解(1)证明：ABD和ACE都是等边三角形.AB=AD,AE=AC,/BAD=/CAE=60°,/BAD+/DAE=/CAE+/DAE,即/BAE=/DAC,在BAE和DAC中，ZBAE=Zr)AC,BAEDAC(SAS),.BE=CD;tAE=AC(2)解：./BAD=ZCAE

33、=60°,./DAE=18060X2=60°,.边AD落在AE上，旋转角=/DAE=60°当AC=2AB时，BDD与CPD全等.理由如下：由旋转可知，AB与AD重合，.AB=BD=DD=AD.,四边形ABDD是菱形, ./ABD=/DBDABD=1>0=30。，DP/BC,M2 ACE是等边三角形，AC=AE,ZACE=60°,AC=2AB,.AE=2AD ./PCD=ZACD=-ZACE=->60=30°,又:DP/BC,22 ./ABD'=/DBD'=/BDD=/ACD'=/PCD=/PDC=30°,在B