[理学]第2讲向量组的秩ppt课件

1、12,rAAr 设有向量组 ，若在 中能选出 个向量，满足:定义：定义：012 1: ,rA （）向量组线性无关；21 1ArAr（ ）向量组 中任意个向量（如果 中有个向量的话）都线性相关，0AA则称向量组 是向量组 的最大线性无一个关向量组；一、最大线性无关向量组和向量组的秩一、最大线性无关向量组和向量组的秩简称最大无关组。r最大无关组所含向量个数 称为向量其中：组的秩，0.0只含零向量的向量组没有最大无关1定组，秩为 规注：注：12,rA 0向量组 中任2 条件(2)可意向量可由换为： 线性表示。AR记作：如，全体维如，全体维 n 向量构成的向量组向量构成的向量组 Rn12:,nnE e

2、 eeR向量组是的最大无关组；nRRn且秩二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系证证. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA阶子式阶子式并设并设，设设关关；列列线线性性无无知知所所在在的的由由定定理理根根据据rDr022 . 4 .11 个个列列向向量量都都线线性性相相关关中中任任意意阶阶子子式式均均为为零零，知知中中所所有有又又由由 rArA无关组，的列向量组的一个最大列是所在的因此ArDr . r等于等于所以列向量组的秩所以列向量组的秩).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证. 它它的的行行向向量量组组的的秩秩量量组组的的秩秩，也也等等于于矩矩

3、阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向定理：定理：. 它它的的行行向向量量组组的的秩秩量量组组的的秩秩，也也等等于于矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向定理：定理：01 .rrrDDADrr所在的 列即是列向量组 若是矩所阵 的一个最高阶非在的 行即是行的一个最大无关组，向量组的一个最大零子式则无关组，注：注：;02 最大无关组不唯一03.向量组与它的最大无关组是 等价的 04. 一个向量组的任意两个最大无关组是等价的97963422644121121112 A设矩阵 例1例1.用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列

4、向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换变变为为对对 A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初初等等行行变变换换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首421.,421无无关关组组为为列列向向量量组组的的一一个个最最大大故故aaa线性无关线性无关，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成成行行最最简简形形矩矩阵阵再再变变线线性性表表示示，必必须须将将用用要要把把Aaaaaa ),421aa

5、a（现实上现实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 00000310003011040101 初等行变换初等行变换A 4215213334,aaaaaaa 即得即得. 的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组ABAB., : ,: 1010srsraaAAbbBBsr倘若不然，要证的一个最大无关组为向量组，的一个最大无关组为设向量组 证证定理定理. 00组组线线性性表表示示组组能能由由表表示示，组组线线性性组组能能由由组组线线性性表表示示，组组能能由由因因AAABBB.00组组线线性性

6、表表示示组组能能由由故故AB使得使得即存在系数矩阵即存在系数矩阵),(ijsrkK 三、向量组秩的重要结论 srsrsrkkkkaabb111111),(),(），有非零解（因简记为，则方程组因为rsKRKxxxKsrrsr)( )0( 0 1有有非非零零解解，从从而而方方程程组组0),( 1 Kxaas有非零解，有非零解，即即0),( xbbr. 0srsrB 不能成立，所以不能成立，所以线性无关矛盾，因此线性无关矛盾，因此组组这与这与. rsBA和和的的秩秩依依次次为为与与向向量量组组设设向向量量组组证证. 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1,同时成立同时成立与与故故s

7、rrs 示，示，表表两个向量组能相互线性两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即因两个向量组等价，即. rs 所以所以, rrB个向量，则它的秩为个向量，则它的秩为含含设向量组设向量组 证证. 2的一个最大无关组是向量组则向量组线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组的部分，若向量是向量组设向量组推论ABBABAB.1条条件件所所规规定定的的最最大大无无关关组组的的满满足足定定义义所所以以向向量量组组B，组的秩组的秩组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因rABA 个个向向量量线线性性相相关关，组组中中任任意意从从而而1 rA., 等价与向量组秩相等，证明向量组且它们的线性表示能由向量组设

8、向量组推论BAAB3.3.,59354645),( ,13112032),( 2121bbaa已知例2例2.),(),(2121等价等价与与证明向量组证明向量组bbaa.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使阶方阵阶方阵要证存在要证存在证明证明.X先求先求 5913351146204532),(2121bbaa最最简简形形矩矩阵阵：施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行阵阵对对增增广广矩矩的的方方法法类类似似于于线线性性方方程程组组求求解解),(, 2121bbaa 5913453246203511 5913351146204532),(2121b

9、baa31rr 591345324620351131rr 462010155046203511132rr 143rr )2(2 r 46201015502310351113312rrrr 143rr 462010155046203511 0000000023103511)2(2 r 462010155023103511235rr 242rr 0000000023103511235rr 242rr .0000000023101201 21rr 11 r X.,., 01 21211等价等价与与此向量组此向量组因因即为所求即为所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 000000002310120

10、1),(2121初初等等行行变变换换bbaa 即即得得 2312.例3. 求下列向量组的一个最大无关组，并将其余 向量表示成最大无关组的线性组合234012141412031 1（1） ，23414122131154136701（2） ， ，1212123222 ,12AR 34；为最大无关组；且1212122 ,2AR 34；为最大无关组；且1. 1. 解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa假设记：假设记：1一、齐次线性方程组解的构造一、齐次线性方程组解的构造,aaaaaa

11、aaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21那么上述方程组那么上述方程组1可写成向量方程：可写成向量方程：. 0Ax 2假设假设1212111nnx,x,x 为方程为方程 的的0 Ax解，那么解，那么 121111nx 称为方程组称为方程组(1)(1)的解向量，它也就是向量方程的解向量，它也就是向量方程(2)(2)的解的解2. 2. 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质性质性质1 1： 假设假设 为为 的解，的解，那么那么 21 x,x0 Ax12x0 Ax也是也是 的解的解. .性质性质2 2： 假设假设 为为 的解，的解， 为实数，那么为实数，那么1 x0 Axk

12、1xk0 Ax也是也是 的解的解3. 根底解系及其求法根底解系及其求法12,0 tAxS 若是 的解集 的最大无关组，则1 122ttxkkk定义：定义：0 Ax 为 的通解，此最大无关组为该方程的基并称础解系。求法：求法：设系数矩阵设系数矩阵A的秩为的秩为 r , 于是于是 A的行最简形矩阵为：的行最简形矩阵为：并无妨设并无妨设 A的前的前 r 个列向量线性无关个列向量线性无关 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax即：即：1111100r

13、bbC1222010rCbb1,001n rn rr n rbbC1,rnxx将作为自由未知量，1-,n rCC并令它们依次等于可得可得1的通解：的通解：11rrnxxxx12n r12,n r 则为基础解系。法一法一现对现对 取以下取以下 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分别别代代入入., 100, 010, 001法二法二依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn,

14、 1,bbr 212,bbr 111,12,n r 则为基础解系。定理：定理：( ),0.Sm nAR ArnAxSRnr设矩阵 的秩则 元齐次线性方程组的解集 的秩01 ( ),R An当时 方程组只有零解 故没有基础解系( ).,R Arnnr02 当时 方程组必有含个向量的基础解系总结：总结：0Ax 对于(,0);此时解空间只含一个零向量 为 维向量空间2,n r 1为一个基若设础解系，12121,n rnrn rkkxkkk则方程组的通解为： 其中为任意实数111,.n rn rn rSxRkkkk解集例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 043214

15、3214321xxxxxxxxxxxx的根底解系与通解的根底解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A .7475,7372432431xxxxxx 便便得得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对对应应有有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 0765302305532034543215432

16xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解: 76513123115531234111A对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行初等行变换10212011310000000000初等行变换初等行变换 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，且其根底解系中有三个线性无关的解向量且其根底解系中有三个线性无关的解向量. .1345234522 3xxxxxxxx 543xxx令令, 010, 001. 100,xx 1221依依次次得得. 12, 31所以原方程组的一个根底解系为所以原方程组的一个根底解系为:, 001121 故原方程组的通解为：故原方

17、程组的通解为：.kkkx332211 .k,k,k为任意常数为任意常数其中其中321, 010312 . 100123 1212,0.xxAxbxAx性质1：设及都是的解 则为对应的齐次方程的解1. 1. 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的性质2 0 .,xxxAxAxAxbb性质 ： 设是方程的解是方 程的解，则仍是方程的解1 1n rn rxkk其中其中 为对应齐次线性方程组的为对应齐次线性方程组的rnrnkk 112. 2. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解 通解，通解， 为非齐次线性方程组的恣意一个特解为非齐

18、次线性方程组的恣意一个特解.例例3 3 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行变变换换对对增增广广矩矩阵阵B 2132111311101111B,00000212100211011 并并有有故故方方程程组组有有解解可可见见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即即得得方方程程组组的的一一个个解解.021021 取取中中组组在在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程程组组的的基基础础解解系系即即得得对对应应的的齐齐次次线线性性方方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,