第3章2流体动力学基础

1、流体动力学基础流体动力学基础 流体动力学概述流体动力学概述 理想流体的运动微分方程式理想流体的运动微分方程式 理想流体的伯努利方程式理想流体的伯努利方程式 实际流体总流的伯努利方程式实际流体总流的伯努利方程式 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 动量定理及其应用动量定理及其应用流体动力学概述流体动力学概述n流体动力学是研究流体在外力作用下的运动流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。量之间的关系的科学。3.43.4 理想流体的运动微分方程式一、理想流体运动微分方程一、理想流体运动微分方程1 1、选取控制

2、体：在所研究的运动流体中，、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一微小平行六面体，如图所示。六面体任取一微小平行六面体，如图所示。六面体边长分别为边长分别为d dx x、d dy y、d dz z，平均密度为，平均密度为 ，中，中心心A A 处的流体压强为处的流体压强为p p。以。以X X方向为例方向为例2 2、受力分析、受力分析质量力：质量力：X X d dx xd dy yd dz z 表面力：作用在微元体中心表面力：作用在微元体中心A A点压强为点压强为p p，则，则 六面体左侧六面体左侧A1A1点压强为点压强为: : 六面体右侧六面体右侧A2A2点压强为点压强为: :则根据牛顿第二定

3、律有：则根据牛顿第二定律有：)(dxxpp21)(dxxpp21dtdudxdydzdxdydzXdydzdxxppdydzdxxppx)()(2121两边同除以两边同除以 dxdydz,得得dtduxpXx1同理可得同理可得Y和和Z方向方向dtduypYy1dtduzpZz1 为理想流体运动微分方程式（欧拉方程）为理想流体运动微分方程式（欧拉方程）对于静止或平衡流体：对于静止或平衡流体：0zyxuuu由前式直接得出欧拉平衡微分方程：由前式直接得出欧拉平衡微分方程：01xpX01ypY01zpZ将加速度代入前式理想流体运动微分方程，将加速度代入前式理想流体运动微分方程，可得：可得：即欧拉运动微

4、分方程式另一种表示方式：即欧拉运动微分方程式另一种表示方式：zuuyuuxuutuxpXxzxyxxx1zuuyuuxuutuypYyzyyyxy1zuuyuuxuutuzpZzzzyzxz1注意：注意：欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间的关系。是研究理想的力与流体运动加速度之间的关系。是研究理想流体运动规律的基础。适用于可压缩及不可压缩流体运动规律的基础。适用于可压缩及不可压缩理想流体的稳定流或不稳定流。理想流体的稳定流或不稳定流。二、理想流体沿流线的伯努利方程式二、理想流体沿流线的伯努利方程式D.D.伯努利伯努利（D.Ber

5、nouli 1700D.Bernouli 170017821782，瑞），瑞）,1738,1738年对孔口出流与变截年对孔口出流与变截面管道流动进行了仔面管道流动进行了仔细观察、推理和广泛细观察、推理和广泛的测量，提出著名的的测量，提出著名的定常不可压缩流体的定常不可压缩流体的伯努利定理。伯努利定理。dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1dxdtdudxxpXdxx1dydtdudyypYdyy1dzdtdudzzpZdzz1分别乘分别乘dx、dy、dz1()()yxzdupppduduXdxYdyZdzdxdydzdxdydzxyzdtdtdt相加相加稳定流时流线与迹线重合，

6、质点沿流线速度分稳定流时流线与迹线重合，质点沿流线速度分量为：量为：dtdxuxdtdyuydtdzuzpppdpdxdydzxyzWWWdWdxdydzXdxYdyZdzxyz2222111()22xxyyzzxyzdWdpu duu duu dududududu1()()yxzdupppduduXdxYdyZdzdxdydzdxdydzxyzdtdtdt若为不可压缩流体，对上式求积分得：若为不可压缩流体，对上式求积分得：22puWc不可压缩理想流体在稳定流下沿流线不可压缩理想流体在稳定流下沿流线的运动微分方程伯努利积分。的运动微分方程伯努利积分。 22puWc它表明：对于不可压缩的理它表明

7、：对于不可压缩的理想流体，在有势质量力的作想流体，在有势质量力的作用下作稳定流动时，处于同用下作稳定流动时，处于同一流线上的所有流体质点，一流线上的所有流体质点，其积分函数其积分函数之值均是相同的。之值均是相同的。对于不同流线上的流体质点对于不同流线上的流体质点来说，其伯努利积分函数来说，其伯努利积分函数的值一般是不同的。的值一般是不同的。2()2puW 在重力作用下沿流线或微小流束在重力作用下沿流线或微小流束伯努利伯努利方程方程 0,0,XYZg dWXdxYdyZdzgdz Wgz 22puzg 常数cupW22对单位重量流体而言对单位重量流体而言只受重力作用时：只受重力作用时：根据根据得

8、出：得出：对于同一流线上的任意两点对于同一流线上的任意两点1、2，有，有 =常数常数 2211221222pupuzzgg适用条件：适用条件：理想流体理想流体不可压缩不可压缩只受重力作用只受重力作用稳定流动稳定流动沿流线或微小流束沿流线或微小流束三、伯努利方程式的意义三、伯努利方程式的意义1、物理意义（能量意义）、物理意义（能量意义） = 常数常数 Z 单位重量流体流经给定点时所具有的位置势能，称单位重量流体流经给定点时所具有的位置势能，称为比位能为比位能(ratio of potential energy)。 单位重量流体流经给定点时所具有的压力势能，称单位重量流体流经给定点时所具有的压力势

9、能，称为比压能为比压能(ratio of pressure energy)。 单位重量流体流经给定点所具有的动能，称为比动单位重量流体流经给定点所具有的动能，称为比动能能(ratio of kinetic energy)。P22ug2211221222pupuzzgg 单位重量流体的总势能，称为比势能单位重量流体的总势能，称为比势能 (ratio of potential energy)。 单位重量流体的总机械能，称为总单位重量流体的总机械能，称为总 比能比能(total specific energy)。n能量意义：由伯努利方程可知：能量意义：由伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿单位重量的

10、理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位置势能、压力势能和动能置时总是保持不变的，但其位置势能、压力势能和动能是可以相互转化的，即遵循能量守衡与转换定律。是可以相互转化的，即遵循能量守衡与转换定律。 22puzgpz2、几何意义、几何意义 参照流体静参照流体静力学中水头的概力学中水头的概念，用几何图形念，用几何图形将伯努利方程中将伯努利方程中各物理量的变化各物理量的变化关系描述出来，关系描述出来，这就是伯努利方这就是伯努利方程的几何意义，程的几何意义，如图所示。如图所示。 理想流体伯努利方程的几何意义理

11、想流体伯努利方程的几何意义 z位置水头。位置水头。曲线曲线AB位置水位置水 头线。头线。 压强高压强高 度，称为度，称为 压强水头。压强水头。曲线曲线CD测压管测压管 水头线。水头线。 速度水头速度水头。 直线直线EF理想流体的总水头线。理想流体的总水头线。 p22ug *理想流体伯努利方程式的几何意义：理想流体伯努利方程式的几何意义：理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头之和总是保持不变，即理想流体各过流断面上的水头之和总是保持不变，即理想流体

12、各过流断面上的总水头永远是相等的。总水头永远是相等的。 此方程只适用于理想流体而不适用与实际流体，只适用此方程只适用于理想流体而不适用与实际流体，只适用于流束而不适用于总流。且在流束上单位重量流体的总于流束而不适用于总流。且在流束上单位重量流体的总比能处处相等也与事实是不符合的。实际流体是有粘性比能处处相等也与事实是不符合的。实际流体是有粘性的，在流动过程中与边界的摩擦、流体分子之间的摩擦的，在流动过程中与边界的摩擦、流体分子之间的摩擦会产生阻力，同时局部的干扰也会产生附加阻力，使能会产生阻力，同时局部的干扰也会产生附加阻力，使能量得到损耗。因此，流体沿流束流动时，总比能是逐渐量得到损耗。因此

13、，流体沿流束流动时，总比能是逐渐减少的。减少的。3.5 3.5 实际流体的伯诺利方程实际流体的伯诺利方程2211221222pupuzzgg一、实际流体流束的伯诺利方程一、实际流体流束的伯诺利方程理想流体理想流体流束伯努利流束伯努利方程方程 设单位重量流体从断面设单位重量流体从断面11流动到断面流动到断面22所损所损耗的机械能为耗的机械能为 ，即，即能量损失能量损失，称水头损失称水头损失。则则 实际流体微小流束的伯努利方程。实际流体微小流束的伯努利方程。 即：实际流体的总水头线沿着流体的流动路程是一条下即：实际流体的总水头线沿着流体的流动路程是一条下降的曲线。而不象理想流体水头线是一条水平线降

14、的曲线。而不象理想流体水头线是一条水平线。2211221222lpupuzzhgglh 实际流体伯努利方程的几何意义实际流体伯努利方程的几何意义 实际流体具有粘实际流体具有粘性，在流动过程性，在流动过程中产生能量损失。中产生能量损失。即沿流体流过的即沿流体流过的路程，单位重力路程，单位重力流体所具有的总流体所具有的总水头不断减小。水头不断减小。二、实际流体总流的伯努利方程二、实际流体总流的伯努利方程 n微小流束和总流的区别：微小流束和总流的区别： 微小流束微小流束： 很小，在同一很小，在同一 上，各流体质点的上，各流体质点的z、p、u等物理量可以看作是相同的等物理量可以看作是相同的; 总流总流

15、：A为有限大，在同一为有限大，在同一A上，各流体质点的上，各流体质点的z、p、u等物理量之值变化较大。等物理量之值变化较大。n 微小流束微小流束总流总流 （1）任一微小流束上某点处流体单位重量的能量）任一微小流束上某点处流体单位重量的能量e为：为：dAdAgupze22（2）单位时间内通过微小流束有效断面的重量流量）单位时间内通过微小流束有效断面的重量流量dG，其，其具有的总能量具有的总能量dE为：为：udAgupzedGdE)(22（3）总流由无数微小流束组成，则流体通过总流有效断面的）总流由无数微小流束组成，则流体通过总流有效断面的总能量总能量E为：为：udAgupzdEEAA)(22（4

16、）通过总流有效断面的平均单位重量流体的能量为：）通过总流有效断面的平均单位重量流体的能量为：AudAgupzQQEGEe)(2121、缓变流、缓变流 （1）定义）定义n急变流急变流流线的曲率半径流线的曲率半径r 很小，流线之间的夹角很小，流线之间的夹角很很大的流动。大的流动。 n缓变流缓变流流线的曲率半径流线的曲率半径r 无限大，流线之间的夹角无限大，流线之间的夹角无限小，即流线接近于平行直线的流动无限小，即流线接近于平行直线的流动。n 图急变流与缓变流图急变流与缓变流 （2 2）、缓变流断面压力分布）、缓变流断面压力分布作用在n-n方向的力有：上断面流体总压力：(p+dp)dA下断面流体总压

17、力：pdA微小柱体自重：dG=rdAdz离心惯性力：Fn=dAdz*u2/R根据力的平衡有：0 dAdzdpdA0 dzdpcpz2()0updAdAdzpdp dAdAdzR 但在不同的缓变流有效断面上有不同的常数值，即但在不同的缓变流有效断面上有不同的常数值，即 cpzpz111pzc222pzc在缓变流断面上，不同流线上各点压力的分布与静压力分布规律完全一样，即同一有效断面上各点的 =cApzudApzQ)(1因此有：因此有：对不可压缩流体有：对不可压缩流体有：2 2、动能修正系数、动能修正系数单位时间内通过某一有效断面的真实流体动能为：单位时间内通过某一有效断面的真实流体动能为：其中其

18、中231122mAAdq uu dA33322332111()(33)2221322AAAAu dAvu dAvvuv uu dAv Av u dA 对不可压对不可压缩流体缩流体AvAvdAuAvA3223213121)(即：即：AvdAuA33因此第二项积分：因此第二项积分：gvAvgQdAugQudAguQAA22121212332得到缓变流断面上单位重量流体的能量为得到缓变流断面上单位重量流体的能量为AudAgupzQQEGEe)(212gvpz22得理想流体总流的伯努利方程式：得理想流体总流的伯努利方程式：2211 12221222pvpvzzgggg理想流体伯努利方程的物理意义是：在

19、满足一定的理想流体伯努利方程的物理意义是：在满足一定的条件下，沿总流单位重量流体所具有的总机械能条件下，沿总流单位重量流体所具有的总机械能（位置势能、压力势能及动能）可以相互转化，但（位置势能、压力势能及动能）可以相互转化，但总和不变，它是机械能守恒定律在理想流体中的表总和不变，它是机械能守恒定律在理想流体中的表现形式。现形式。 2211 12221222fpvpvzzhgggg实际流体总流的伯努利方程式：实际流体总流的伯努利方程式：1：适用条件：适用条件 （1）不可压缩流体（）不可压缩流体（ = constant）；）；（2）稳定流动；）稳定流动；（3）只在重力作用之下（质量力只有重力）；）只在重力作用之下（质量力只有重力）；（4）沿流程流量保持不变；）沿流程流量保持不变；（5）所选用的有效断面必须是缓变流断面。）所选用的有效断面必须是缓变流断面。NOTENOTE3 3、使用伯努利方程时的注意事项、使用伯努利方程时的注意事项： A. 方程中方程中 、 的基准面可任选，但必须选择同一基准的基准面可任选，但必须选择同一基准面，一般