3-34协方差相关系数及其它特征ppt课件

1、主要内容主要内容1.5学时）学时）一、协方差一、协方差 (重点重点)二、相关系数重点）二、相关系数重点）三、不相关与独立的关系重点）三、不相关与独立的关系重点）四、随机变量的另几个数字特征四、随机变量的另几个数字特征第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 随机变量另几个数字特征随机变量另几个数字特征一、协方差重点）一、协方差重点）1 1、引入背景、引入背景二维随机变量二维随机变量( X,Y )的相互关系如何描述？的相互关系如何描述？n 维变量间的关系维变量间的关系举例：举例：（1不同地区气温间的关系；不同地区气温间的关系；（2人的身高、体重间的关系；人的身高、体重间的关系；

2、（3不同股票收益率间的关系；不同股票收益率间的关系；（4公司经营业绩与资本结构间的关系。公司经营业绩与资本结构间的关系。(X, Y)为二维随机变量，则称下式为为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差的协方差 协方差为协方差为X,Y离差离差 X-E(X) 与与Y-E(Y) 乘积的数学期望乘积的数学期望(3) 当当X，Y相同时，相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).2 2、协方差的定义、协方差的定义阐明：阐明：(,)()( )(4) :ijijijCOV X YxE XyE Yp 离离散散型型 (, )(:)( ) ( , )COV X YxE XyE Y f x y dxdy

3、连连续续型型 (2) Cov(X,Y)0，正相关；，正相关；Cov(X,Y)0, 负相关。负相关。=0，不相关，不相关Cov( , )( )( )X YE XE XYEY (4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) (2) 对称性：对称性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X)(3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数是常数3 3、协方差的主要性质、协方差的主要性质 Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法最常用计算方法)(5) D(XY)= D(X)+D(Y) 2Cov(X, Y)11()

4、()2(,)nniiijijiiDXD XCov XX 推推广广: : (6) 若若X与与Y独立，独立， Cov(X,Y)= 0 . 不相关不相关证证: (1) Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)(3) Cov(aX, bY) =EaX-E(aX)bY-E(bY) = ab cov(X, Y)=Eab X-E(X)Y-E(Y) (4) Cov(X1+X2, Y)=EX1+X2 -E(X1+X2)Y-E(Y) =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) =EX1 -E(X1)Y-

5、E(Y) +E X2-E(X2) Y-E(Y) 2(5) D()()()E XYXYE XY2()()() E XYE XE Y22()( )()(2)E XE XE XYE YE XEYE Y()( ) 2( , )D XDYCOV X Y(6) X与与Y独立独立 E(XY) =E(X)E(Y) Cov(X,Y)= 0 .83,) 00.5, 00, 正相关；正相关；D( Y )，并不表明，并不表明X的波幅比的波幅比Y大大(取值大小差异悬殊取值大小差异悬殊)例例4 X 表示某种同龄树的高度表示某种同龄树的高度(单位：米单位：米)，Y 表示某年龄儿童表示某年龄儿童的身高单位：米）。比较随机变量

6、的身高单位：米）。比较随机变量X、Y的波幅大小。其中的波幅大小。其中E(X)=10，D(X)=1, E(Y)=1, D(Y)=0.04。()()()VXCXE X 110()0.04()0.2()1VYCYE Y ()(), .VVCXCYYX因因此此的的波波幅幅比比的的波波幅幅大大3 3、分位数重点）、分位数重点）( ), ( ), (01()( ) ) . xF xfXF xf xx dxx 设设连连续续型型 的的分分布布函函数数为为密密度度函函数数对对任任意意的的正正数数, ,称称下下 分分位位满满足足条条件件 布布数数的的为为该该分分阐明：阐明：背景：数理统计、计量经济学、统计学中大量

7、使用。背景：数理统计、计量经济学、统计学中大量使用。1()( ) (0 1)xF xf x dxx 对对任任意意的的正正数数, ,称称满满足足条条件件上上 的的为为该该分分布布分分位位数数. .11 xxxx上上下下侧侧分分位位数数互互换换: : 0.50.50.50.5()()0.5F xxF x 中中位位数数: : 时时， 1 0: ( )0 0 xexF xx解解分分布布函函数数0.50.5xe0.50.25(1),0.25 .Xexx例例5 5( (P P9 91 1- -例例) ) 随随机机变变量量 服服从从指指数数分分布布求求中中位位数数上上分分位位数数0.5 = ln 0.50.

8、69x中中位位数数0.50.5 ()10.5xF xe中中位位数数满满足足：0.250.250.25 ()1 0(91.75xF xeP上上分分位位数数满满足足：错错）0.250.25xe0.25 = ln0.251.386x上上分分位位数数本节重点总结本节重点总结1、协方差、相关系数的定义、性质及计算。、协方差、相关系数的定义、性质及计算。2、不相关与独立间的关系。、不相关与独立间的关系。3、分位数的定义。、分位数的定义。, ,.例例3 3( (考考研研题题目目) ) 将将一一枚枚硬硬币币重重复复抛抛n n次次, , 以以分分别别表表示示正正面面向向上上 反反面面向向上上的的次次数数求求的的

9、协协方方差差及及相相关关系系数数X YX Y( , ), .( ,1) Xb n pYbpnp解解1 1: : 设设正正面面向向上上的的概概率率为为则则 (), ()E XnpD Xnpq( ), ()E YnqD Xnpq (1, 0,1,2,., )iin inP XiC p qqpin令令 ( 0,1,2,., )jnjjnP YjC pqjn , ( ,0,1,2,., ) 0 iin inP Xi Yji jnijC p qijnn00()ijnnijEXYijp 0()niin iniC pi nqi2()()nE XE X2*()n npnpnpq2n pqnpq(,)()()(

10、)Cov X YE XYE X E Y2* ()n pqnpqnp nqnpq负负相相关关 (,)()()XYCov X YD XD Y 1npqnpqnpq : , (,),2()YnXCov X YCov X nX此此解解因因(, )(,)Cov X nCov X X()D Xnpq 112212121,1, ,. (),( ),. 备备例例 设设有有一一笔笔资资金金1 10 00 0万万元元, , 投投资资于于甲甲乙乙两两种种资资产产, ,投投资资比比例例分分别别为为. . 甲甲资资产产的的收收益益率率为为乙乙资资产产的的收收益益率率为为均均为为随随机机变变量量 已已知知甲甲乙乙两两资资产产的的预预期期收收益益率率, , 方方差差( (风风险险) )分分别别为为和和的的相相关关系系数数为为试试求求使使投投资资风风险险最最小小的的投投资资比比例例xxXYX YE XE YXYx 222211121112(1)2(1)xxxx 111122( )()(1)iiiE PxE rxx 组组合合预预期期收收益益率率 11(1) , Px Xx Y 解解: :组组合合收收益益率率 随随机机变变量量221111( )()(1)( )2(1)(,)D Px D XxD Yx