2020概率论与数理统计期末复习ppt课件

1、第一章 随机事件与概率一、 随机试验和随机事件 1随机试验2样本空间3随机事件二、事件的关系及其运算1事件的关系和运算（1包含 （2相等 （3和并） （4积交） （5差 （6互不相容互斥） （7对立互逆） （8完全备事件组 ;.ABABABABABABAAB2事件运算的性质（1交换律 （2结合律 （3分配律（4对偶律De.Morgan律 ）（5差积转换律 设 随 机 试 验 E满 足 下 列 条 件 ：1 1. .概概 率率 的的 古古 典典 定定 义义1,12),n 2n （ ）试验的样本空间只有有限个样本点，即，； （ ）每个样本点的发生是等可能的，即 P()=P()=P(则称此试验为，也

2、成为古典概型中事件的概率成为在 中，若事件 包含 个样本点，则有 1=1=2 2古古典典概概型型等等可可能能概概型型. . 古古典典概概率率. . Ak Akk k P(A)=. P(A)=. n n三、事件的概率及其性质 2.( ).GAGGGGP A 设样本空间是一个有限区域 。若样本点落在内的任何区域 中的事件 的概率与区域 的测度（或长度、或面积、或体积等）成正比，则区域 内任意一点落在区域 的概率为区域 的测度与区域 的测度的比值，即的测度 的测度概概率率的的几几何何定定义义12113.,( ),.( )(1)()( )0;(2)()( )1;(3)(),()(),(iiiiEEFA

3、P AAFP AP APA APAP AP 设 是一个随机试验， 为它的样本空间以 中所有随机事件组成的集合 为定义域对于任一随机事件规定一个实值函数如果满足下列三个公理： 非负性 规范性 可列可加性 如果事件两两互不相容，那么 则称概概率率的的公公理理化化定定义义 )AA是事件 的概率。()( )( )(),()( )( )( )()()()().P ABP AP BP ABP ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC(1) -加加法法公公式式 (3)( )1( )(4) ()( )()()( )( )P AP AP ABP AP ABBAP ABP AP B 求逆公式 求

4、差公式特别的，当时，有5. 概率的基本性质 四、 条件概率与乘法公式1.( )0,()(|)( )ABP BP ABP A BP BBA 设 与 是两个随机事件，其中规定 为在事件 发生的条件下事件 发生的。 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质。条条件件概概率率的的定定义义 条条件件概概率率()( ) (|)( ) (|),()( ) (|) (|)., ,()( ) ( ) ( )P ABP A P B AP B P A BP ABCP A P B A P C ABA B CP ABCP A P B P C当相互独立时，2.2.乘乘法法公公式式 五、全概率公式和Bayes公式12112

5、1.,(1);(2)(, ,1,2,).,nniiijnA AAAA Aij i jnA AA 如果事件组满足， 则称事件组，构成了 的一个划分。1212.,( )() (|)nniiiA AABP BP A P B A定理 如果事件组，构成 的一个划分，则对任一事件 有 该公式称为全概率公式.1213.,( ( ) 0),() (|) (|)(1,2,)() (|).nijjjniiiA AAB P BBAP A P B AP ABjnP A P B A定理 如果事件组，构成的一个划分，则对任一事件在事件 发生条件下事件 发生的条件概率为该公式为贝叶斯公式六 、事件的独立性与伯努利Berno

6、ulli概率12121. , ()( ) ( )., ()() ()(; ,1,).,.nijijijnA BP ABP A P BABA AAA AP A AP A P Aij i jnA AA随机事件的相互独立定义 如果随机事件满足称事件 和 相互独立 如果事件组满足对任意两个事件有则称事件组两两相互独立11121212 ,(1),1, ()()(),kknniiiinA AAkkniiinP AAP AP AA AA 如果事件组，对任意有成立，则称事件组相互独立。2 2独立事件的性质独立事件的性质1)( )0( )0),(1) ()( ) ( );(2)0( )1, ( )0 (|)(|

7、);(3)0( )1,0( )1(|)( |)1P AP BABP ABP A P BP AP BP B AP B AP AP BP B AP B A如果或则事件 和事件 相互独立的充分必要条件是下面三个之一。当时，当时， 2)(1) (2)(3) .ABABABAB 若事件 和 相互独立，则事件 与事件 也相互独立事件 与事件 也相互独立；事件 与事件 也相互独立121213),nnniiA AAP A AAP A若相互独立 则1211nniiP AAAP A 4伯努利Bemoulli概型0110,1,2.,Appnp Aknkk kC ppknn 在一次试验中事件 发生的概率为，则在 次独

8、立重复试验中发生 次(AB)(AB)_.化简5A,BP(A)=0.4,P(AB)=0.7, 1)ABP(B)=_; 2)ABP(B)=_.( ) 设为随机事件，那么若 与 互不相容，则若 与 相互独立，则一、填空题(1)设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有两个发生表示为_.(2)随即事件A与B互不相容，且A=B，则P(A)=_.(3)两封信随机投入四个邮筒，则前两个邮筒没有信的概率为_，第一个邮筒只有一封信的概率为_. 6A BP A0 7 P A B03P AB( ) 设 , 为随机事件, ( )= . , ( - )= .,则 ()= _.（7） 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次

9、，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_.（8） 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16，则事件A,B,C全不发生的概率为_.（9） 三人独立的去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，则三人中至少有一个人能将此密码译出的概率为_.（10假设每次试验成功的概率为p(0p1)，求n次独立重复试验至少有一次成功的概率为 _.1ABCA P CP A) P B1B P CP AP B1C P CP ABD P CP AB（ ）设事件 与 同时发生时，事件 必发生，则( ).( ) ( )(+

10、( )- ( ) ( )( )+ ( )-( ) ( )= () ( ) ( )= ()1 234123234123234(2)AAAAA A ,A ,A(B)A ,A ,AC A ,A ,A(D)A ,A ,A将一枚硬币独立的掷两次，引进事件：掷第一次出现正面 ，掷第二次出现正面 ，正、反面各出现一次 ，正面出现两次 ，则事件（ ）( )相互独立相互独立( )两两独立两两独立2.选择题(3)假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ ） （A2/3 （B1/3 （C3/5 （D2/5n-1nmnmn+m-1nnmn-1

11、n-1m-1n+mn+m-1(4)pnmA Cp (1p)(B)p (1p)( )Cp (1p)()Cp(1p)CD做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 ，则在第 次成功之前恰失败 次的概率( ).( )(5),0( )1, ( )0,(|)(|),().( ) (|)(|)( ) (|)(|)( ) ()( ) ( )() ()( ) ( )A BP AP BP B AP B AA P A BP A BB P A BP A BC P ABP A P BD P ABP A P B设是两个随机事件,且则必有3计算与证明题(1),01,:(|)(|).A BAP B AP B AAB设是任意两个

12、随机事件,其中 的概率不等于 和 证明是随机事件 与 独立的充要条件(2)某单位招工需要经过四项考核，设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.91，0.95，且各项考核是独立的，每个应招者都要经过全部四项考核，只要有一项不通过即被淘汰，试求这项招工的淘汰率；虽通过第一、三项考核，但仍被淘汰的概率；设考核按顺序进行，应考者一旦某项不合格即被淘汰，不再参加后面项目的考核，求这种情况下的淘汰率。(3)10把钥匙中有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率。(4)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6及0.7，每人投篮3次，求两人进球数相等的概率P1;甲比乙进球多的概率P2。

13、(5)某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9。已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.6；如果有三个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.9。求仪器的不合格率；如果以发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。(6)假设一口袋中装有四个球，其中白球一个，红球一个，黄球一个，另一球涂有白、红、黄三种颜色。记事件A为“从袋中任取一个球，该球涂有白色”，事件B为“从袋中任取一个球，该球涂有红色”，事件C为

14、“从袋中任取一个球，该球涂有黄色”，求P(A),P(B),P(C), P(AB),P(AC),P(BC),P(ABC).(7)某店内有四名售货员，据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟，问该店配置几台秤较为合理？第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、随机变量及其分布函数一、随机变量及其分布函数. ,( ), ( ),( ).Exx 随机变量的定义设为随机试验 的样本空间是定义在 上的单值实函数如果对任一实数是一随机事件则称为随机变量一般地,常用希腊字母 , , 表示随机变量.1 0(,),( )(), (),()1()1( ),()()()( )( ),()lim()

15、( )(0).xF xPxa b abPaPaF aP abPbPaF bF aPxP xxF xF x 2.随机变量的分布函数设 是样本空间 上的随机变量,对任意的称为随机变量 的分布函数. 对于任意实数有 12123:( ),1( ),( )();2 0( )1,(,);3()lim( )0,()lim( )1;4( ),(0)( )xxF xF xxxF xF xF xxFF xFF xF xxF xF x .分布函数的性质定理设随机变量 的分布函数为则单调不减 即对任意有为右连续函数 即对任意的实数有 .,反之 具有以上四个性质的函数 一定是某个随机变量的分布函数. ,二、离散型随机变

16、量二、离散型随机变量 定义定义 设设X是一个离散型随机变量，它是一个离散型随机变量，它可能取值为可能取值为 并且取各个值的对应概并且取各个值的对应概率为率为 即即 ,21kxxx,21kppp), 2 , 1()(kpxXPkk则称上式为离散型随机变量则称上式为离散型随机变量X X的概率分布，又的概率分布，又称分布律。称分布律。分布律也可以通过列表表示：分布律也可以通过列表表示： 其中第一行表示随机变量所有可能的取其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。值，第二行表示这些取值所对应的概率。 X kxxx21P kppp210kp且且11kkp则该数列可以定义为某离

17、散型随机变量的分则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律。布律。分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp规范性反过来，假如有一列数反过来，假如有一列数 满足满足 kp三、连续型随机变量三、连续型随机变量1.定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得xttfxFxd)()(其中F ( x )是它的分布函数则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度2.密度函数密度函数f ( x )的性质的性质0)(xf(2) 1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为

18、连续性随机变量的密度函数，(3) 在 f ( x ) 的连续点处，)()(xFxff ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率(1)上述上述(1)(1)与与(2)(2)是概率密度的特征性质是概率密度的特征性质, ,如果如果一个函数一个函数f(x)f(x)不满足不满足(1)(1)与与(2),(2),则它必不是则它必不是概率密度概率密度. .若若f(x)f(x)满足满足(1)(1)与与(2),(2),则可作为描则可作为描述某一连续型随机变量的概率密度函数述某一连续型随机变量的概率密度函数, ,是该连续型随机变量的分布函数是该连续型随机变量的分布函数. .xttfxFxd)()(

19、 “”,00f xxxf xxP xxxx xxf xxP 反映了概率 在处的 密集程度 。当充分小时，有，说明落在上的概率近似的等于特别地，对于连续型随机变量 ，它取任何特定值得概率等于 ，即。01P abP abP abP ab这表明，一个事件的概率为 ，此事件不一定是不可能事件；同样地，某事件的概率为，该事件也不一定是必然事件，因此11.(0,1),(0)(0),2()2( ) 1,()2(1( ).XNP XP XaaP Xaa 设22.( ,),(0,1),()(),()()().XXNNbP XbbaP axb 设则且四、常见的重要分布四、常见的重要分布(),1,2,iiP Xxp

20、 i，)Pij（y=y）=P(g(x)=y()().ijig xyP Xx则Y=g(X)的分布律为五、随机变量函数的分布五、随机变量函数的分布 设设X为随机变量，随机变量为随机变量，随机变量Y为为X的函数；的函数；Y=g(X)，其中，其中g(X)为连续函数或分段函数，为连续函数或分段函数，现要求现要求Y的的 概率分布，分三种情形。概率分布，分三种情形。1.X为离散型：设为离散型：设X的分布律为的分布律为 ( )|( )|,( )0,XYfh yh yfy,y其他，1. X1. X为连续型：设为连续型：设X X的密度函数为的密度函数为fX(x)fX(x)，则，则Y Y的密度函数可按下列两种方法求

21、得：的密度函数可按下列两种方法求得：(1)(1)公式法：若公式法：若y=g(x)y=g(x)严格单调，其反函数严格单调，其反函数x=h(y)x=h(y)有一阶连续导数，则有一阶连续导数，则y=g(x)y=g(x)也是连续型也是连续型随机变量，且密度函数为随机变量，且密度函数为 其中,为y=g(x)的值域.( )()YFyP Yy()( ()( ).Xg XyP g Xyfx dx( ) ( ).YYfyFy2.分布函数法：先按分布函数的定义求得y的分布函数，再通过求导得到密度函数，即 1P!1,2,0,_.kkAkkA设随机变量 的概率分布为则常数 22,0;20,0,A_,_.xAx exf

22、 xxF x设随机变量 的概率密度为则的分布函数为 ,0;30,0.1_.2xexf xxcPc若随机变量 的概率密度为则时，有填空题 2 ,01;40,.12_.2xxf xP设随机变量 的概率密度为其他对 进行三次独立重复观察，用 表示事件出现的次数，则 25,_.Nefy 设随机变量则的概率密度为 6 B 2,3,51,1_.9pBpPP设随机变量若则 272,P 240.3,0_.NP若随机变量，且则 281,6 ,10_.Utt 设随机变量则方程有实根的概率是 29,1,_,( )_.cf xxxcF x 已知随机变量 的概率密度为则的分布函数10,_.prkk在独立重复试验中，每次

23、试验成功的概率均为设第 次成功恰好出现在第次试验 则 的分布律为2.选择题 001,()11221aaf xfxf xF xaA Faf x dx B Faf x dxC Faf aD FaF a 设随机变量 的概率密度为且是 的分布函数，则对任意的实数 有。 2212121212122,4,5,4,5,().NNPpPpAppB ppC ppDpp设记则对任意实数 有只对 的个别值才有 23111arctan1211,0;20,0,1xxA F xB F xxxexC F xxD F xf t dtf t dt下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（）。其中 1212124,.,().3222,55331313( ),(),2222F xFxF xaF xbFxA abB abC abD ab 设 ，是随机变量，它们的分布函数分别为为使是某一随机变量的分布函数 在下列给出的各组数中应取0,0( ) ( )ln(1),01xA F xxxx0,0;( ) ( )1,0.xxB F xex0,0;1,01;3( ) ( )1,12;21,